Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B1

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit einer Gleichung der Form

$y = \log_{2} (x + b) + 1$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ; b \in ℝ)$ .

Der Graph zu $f_{1}$ schneidet die y-Achse im Punkt $P (0 | 3)$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{1}$ die Gleichung $y = \log_{2} (x + 4) + 1$ besitzt.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 3,5; 6]$ in ein Koordinatensystem.
(3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $- 6 \leq x \leq 6$ ; $- 2 \leq y \leq 5$
geg.: $f_{1} : y = \log_{2} (x + 𝐛) + 1$ , $f_{1} \cap y$ -Achse in $P (0 | 3)$
ges.: Parameter $b$ in $f_{1}$ ; Zeichnung Graph zu $f_{1}$
Berechnung Parameter $b$ : Einsetzen von $P (0 | 3)$ in $f_{1}$ und Auflösen nach $b$
$3 = \log_{2} (0 + b) + 1 \Rightarrow 3 - 1 = \log_{2} (b) \Rightarrow \log_{2} (b) = 2 b \in ℝ$
Logarithmus-Regel: $x = \log_{a} y \Leftrightarrow y = a^{x}$ anwenden:
$\log_{2} b = 2 \Leftrightarrow b = 2^{2} = 4 \Rightarrow 𝕃 = {4}$
$\Rightarrow 𝐟_{𝟏} : 𝐲 = \log_{𝟐} (𝐱 + 𝟒) + 𝟏 𝔾 = ℝ \times ℝ$
Einzeichnen des Graphen $f_{1}$ für $x \in [- 3,5; 6]$
Berechnung von Wertepaaren:
$\begin{array}{l} f_{1} (- 3,5) : y = \log_{2} (- 3,5 + 4) + 1 = (- 1) + 1 = 0 \\ f_{1} (- 3) : y = \log_{2} (- 3 + 4) + 1 = 0 + 1 = 1 \\ f_{1} (0) : y = \log_{2} (0 + 4) + 1 = 2 + 1 = 3 \\ f_{1} (6) : y = \log_{2} (6 + 4) + 1 = 3,32 + 1 = 4,32 \end{array}$
Wertepaare von $f_{1}$
Graph zu $f_{1}$
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Berechne den Parameter $b$ der Logarithmusfunktion $f_{1}$ ;
Zeichne den Graphen von $f_{1}$ .
Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$ auf den Graphen der
Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y = - \log_{2} (x + 6) + 2$ mit $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ besitzt.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 5,5; 6]$ in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. (3 P)
geg.: Funktionsgraph $f_{1}$ ; Verschiebungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$
ges.: $f_{2}$ (=gespiegelte +parallel verschobene $f_{1}$ ); Zeichnung der Graphen
Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - (\log_{2} (x + 4) + 1) \end{array}) 𝔾 = ℝ x ℝ; x \in ℝ; x > - 4$
$\begin{array}{l} x^{'} = x \\ y^{'} = - \log_{2} (x^{'} + 4) - 1 \end{array}$
$\Rightarrow 𝐟_{𝟏 (𝐠 𝐞 𝐬 𝐩 𝐢 𝐞 𝐠 𝐞 𝐥 𝐭)} : 𝐲 = - \log_{𝟐} (𝐱 + 𝟒) - 𝟏$
Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$
$(\begin{array}{c} x^{''} \\ y^{''} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - (\log_{2} (x + 4) - 1) \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array}) 𝔾 = ℝ x ℝ; x \in ℝ; x > - 4$
$x^{''} = x - 2 \Rightarrow x = x^{''} + 2$ einsetzen in $y^{''}$
$y^{''} = - \log_{2} (x^{''} + 2 + 4) - 1 + 3 = \log_{2} (x^{''} + 6) + 2 𝔾 = ℝ x ℝ$
$\Rightarrow 𝐟_{𝟐 (𝐠 𝐞 𝐬 𝐩 𝐢 𝐞 𝐠 𝐞 𝐥 𝐭 𝐮 𝐧 𝐝 𝐯 𝐞 𝐫 𝐬 𝐜 𝐡 𝐨 𝐛 𝐞 𝐧)} : 𝐲 = - \log_{𝟐} (𝐱 + 𝟔) + 𝟐$
Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 5,5; 6]$
Berechnung von Werten:
$\begin{array}{l} f_{2} (- 5,5) : y = - \log_{2} (- 5,5 + 6) + 2 = - (- 1) + 2 = 3 \\ f_{2} (0) : y = - \log_{2} (0 + 6) + 2 = - 2,58 + 2 = - 0,58 \\ f_{2} (2) : y = - \log_{2} (2 + 6) + 2 = - 3 + 2 = - 1 \\ f_{2} (6) : y = - \log_{2} (6 + 6) + 2 = - 3,58 + 2 = - 1,58 \end{array}$
Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$
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Spiegle $f_{1}$ an der $x -$ Achse und führe eine Parallelverschiebung mit dem Verschiebungsvektor $v$ auf $f_{2}$ aus;
Zeichne den gespiegelten und parallel verschobenen Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ .
Punkte $A_{n} (x | \log_{2} (x + 4) + 1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_{n} (x | - \log_{2} (x + 6) + 2)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Zusammen mit Punkten $B_{n}$ sind sie für $x > - 3,26$ die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ mit den Hypotenusen $[B_{n} C_{n}]$ . Es gilt: $A_{n} B_{n} = 4 LE$ .
Zeichnen Sie in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5$ ein. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Eckpunkte von $△ 𝐀_{𝟏} 𝐁_{𝟏} 𝐂_{𝟏} für 𝐱 = - 𝟏$ berechnen:
$\begin{array}{l} A_{1} auf f_{1} : y = \log_{2} (x + 4) + 1 = \log_{2} (- 1 + 4) + 1 = \log_{2} (3) + 1 = 1,58 + 1 = 2,58 \\ \Rightarrow A_{1} (- 1 | 2,58) \end{array}$
$\begin{array}{l} B_{1} Eckpunkt des △ A_{1} B_{1} C_{1} mit A_{1} B_{1} = 4 L E \Rightarrow B_{1} (- 1 - 4 | 2,58) \\ \Rightarrow B_{1} (- 5 | 2,58) \end{array}$
$\begin{array}{l} C_{1} auf f_{2} : y = - \log_{2} (x + 6) + 2 = - \log_{2} (- 1 + 6) + 2 = - 2,32 + 2 = 0,32 \\ \Rightarrow C_{1} (- 1 | - 0,32) \end{array}$
Eckpunkte von $△ 𝐀_{𝟐} 𝐁_{𝟐} 𝐂_{𝟐} 𝐟 \ddot{𝐮} 𝐫 𝐱 = 𝟓$ berechnen:
$\begin{array}{l} A_{2} auf f_{1} : y = \log_{2} (x + 4) + 1 = \log_{2} (5 + 4) + 1 = \log_{2} (9) + 1 = 3,17 + 1 = 4,17 \\ \Rightarrow A_{2} (5 | 4,17) \end{array}$
$\begin{array}{l} B_{2} Eckpunkt des △ A_{2} B_{2} C_{2} mit A_{2} B_{2} = 4 L E \Rightarrow B_{2} (5 - 4 | 4,17) \\ \Rightarrow B_{2} (1 | 4,17) \end{array}$
$\begin{array}{l} C_{2} auf f_{2} : y = - \log_{2} (x + 6) + 2 = - \log_{2} (5 + 6) + 2 = - 3,46 + 2 = - 1,46 \\ \Rightarrow C_{2} (5 | - 1,46) \end{array}$
$△ 𝐀_{𝟏} 𝐁_{𝟏} 𝐂_{𝟏}$ und $△ 𝐀_{𝟐} 𝐁_{𝟐} 𝐂_{𝟐}$ einzeichnen: siehe Zeichnung zu Aufgabe (b)
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Berechne die Eckpunkte der Dreiecke und zeichne sie anschließend ins KOSY ein.
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A_{n} C_{n} (x) = [\log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1] LE$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
geg.: Punkte $A_{n}$ liegen auf dem Graphen von $f_{1}$ : $A_{n} (x) = \log_{2} (x + 4) + 1$
Punkte $C_{n}$ liegen auf dem Graphen von $f_{2}$ : $C_{n} (x) = - \log_{2} (x + 6) + 2$
ges.: $A_{n} C_{n} (x)$
Nachweis für $A_{n} C_{n} (x)$
$A_{n} C_{n} (x) = [\log_{2} (x + 4) + 1 - (- \log_{2} (x + 6) + 2)] L E x \in ℝ; x > - 3,26$
$A_{n} C_{n} (x) = [\log_{2} (x + 4) + 1 + \log_{2} (x + 6) - 2)]$
$A_{n} C_{n} (x) = [\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x + 6) - 1)]$
mit 1. Logarithmusgesetz $\log_{a} (x) + \log_{a} (y) = \log_{a} (x \cdot y)$ folgt:
$A_{n} C_{n} (x) = \log_{2} [(x + 4) \cdot (x + 6)] - 1$
$A_{n} C_{n} (x) = \log_{2} (x^{2} + 4 x + 6 x + 24) - 1$
$𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧} (𝐱) = [\log_{𝟐} (𝐱^{𝟐} + 𝟏𝟎 𝐱 + 𝟐𝟒) - 𝟏]$ LE q.e.d.
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Berechne $A_{n} C_{n} (x) = f_{1} - f_{2}$ und verwende die Logarithmusgesetze, um den Term zusammenzufassen.
Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ hat den Flächeninhalt $10 FE$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
geg.: $A_{n} C_{n} (x) = \log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1$
$A_{n} B_{n} = 4 L E$ ; $A_{△} = 10 F E$
ges.: $x$ -Koordinate von $A_{3}$ enthalten in $𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧} (𝐱)$
Berechnung x über die Dreiecksfläche:
$\begin{array}{l} 𝐀 (𝐱) = \frac{𝟏}{𝟐} \cdot 𝐀_{𝐧} 𝐁_{𝐧} \cdot 𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧} (𝐱) \end{array}$ $A (x) = 0,5 \cdot 4 \cdot [\log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1] F E x \in ℝ; x > - 3,26$
$A (x) = 2 \cdot [\log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1]$ | setze A(x) = 10 FE
$10 = 2 \cdot [\log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1]$ | :2 $x \in ℝ; x > - 3,26$ $5 = \log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1$ | +1
$6 = \log_{2} (x^{2} + 10 x + 24)$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
Es gilt: $𝐱 = \log_{𝐚} (𝐲) \Leftrightarrow 𝐲 = 𝐚^{𝐱}$
$x^{2} + 10 x + 24 = 2^{6}$ | quadratische Gleichung lösen
$x^{2} + 10 x + 24 = 64$ | -64
$x^{2} + 10 x - 40 = 0$ | a-b-c-Formel anwenden
Berechnung der Diskriminante D:
$𝐃 = 𝐛^{𝟐} - 𝟒 𝐚 𝐜 = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40) = 100 + 160 = 𝟐𝟔𝟎$
$\Rightarrow D > 0 \Leftrightarrow 2$ Lösungen
$𝐱_{𝟏,𝟐} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 10 \pm \sqrt{260}}{2} = \frac{- 𝟏𝟎 \pm 𝟏𝟔,𝟏𝟐}{𝟐}$
$𝐱_{𝟏} = \frac{- 10 + 16,12}{2} = \frac{6,12}{2} = 𝟑,𝟎𝟔$ $𝐱_{𝟐} = \frac{- 10 - 16,12}{2} = \frac{- 26,12}{2} = - 𝟏𝟑,𝟎𝟔$
Für Nullstellen gilt $x \in ℝ$ und $x > - 3,26$ : $\Rightarrow 𝕃 = {𝟑,𝟎𝟔}$
Die gesuchte $x$ -Koordinate von $A_{3}$ ist $x = 3,06$ .
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Berechne $x$ über die Dreiecksfläche.
Berechne dazu die Nullstellen der quadratischen Funktion aus (d) mithilfe der a-b-c-Formel.
Der Eckpunkt $B_{4}$ des Dreiecks $A_{4} B_{4} C_{4}$ liegt auf dem Graphen zu $f_{2}$ .
Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Punktes $B_{4} .$ (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
geg.: $\begin{array}{l} f_{1} : y = \log_{2} (x + 4) + 1 \end{array}$ $f_{2} : y = - \log_{2} (x + 6) + 2$
Es gilt: $B_{n} [(𝐱 - 𝟒) | \log_{2} (x + 4) + 1] x \in ℝ; x > - 3,26$
ges.: $x$ -Koordinate von $A_{4}$ enthalten in $A_{n} C_{n} (x)$
$\Rightarrow$ $x$ -Koordinate von $B_{4}$ : $𝐱_{𝐁_{𝟒}} = 𝐱_{𝐀_{𝟒}} - 𝟒$
Gleichsetzen der Funktionswerte
$\log_{2} (x + 4) + 1 = - \log_{2} (x + 2) + 2$
Hierbei wurde im Term von $f_{2}$ $x$ durch $x - 4$ ersetzt (siehe geg.).
$\log_{2} (x + 4) + 1 + \log_{2} (x + 2) + 2 = 0$
$\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x + 2) - 1 = 0$ | 1. Logarithmusgesetz anwenden
$\log_{𝐚} (𝐱) + \log_{𝐚} (𝐲) = \log_{𝐚} (𝐱 \cdot 𝐲)$
$\log_{2} [(x + 4) \cdot (x + 2)] - 1 = 0$
$\log_{2} [x^{2} + 6 x + 8] = 1$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
$𝐱 = \log_{𝐚} (𝐲) \Leftrightarrow 𝐲 = 𝐚^{𝐱}$
$x^{2} + 6 x + 8 = 2^{1}$ | quadratische Gleichung lösen
$x^{2} + 6 x + 8 = 2$ | $- 2$
$x^{2} + 6 x + 6 = 0$ |a-b-c-Formel anwenden
$𝐃 = 𝐛^{𝟐} - 𝟒 𝐚 𝐜 = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 𝟏𝟐$
$\Rightarrow D > 0 \Leftrightarrow$ 2 Lösungen
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 \pm 3,46}{2}$
$x_{1} = \frac{- 6 + 3,46}{2} = \frac{2,54}{2} = - 1,27$ $x_{2} = \frac{- 6 - 3,46}{2} = \frac{- 9,46}{2} = - 4,73$
Nullstellen sind: { $- 4,73; - 𝟏,𝟐𝟕$ }
Es gilt $x \in ℝ$ und $x > - 3,26$
Also ist die Lösung $x = - 1,27$ $𝕃 = {- 1,27}$
$\Rightarrow 𝐱_{𝐁_{𝟒}} = 𝐱_{𝐀_{𝟒}} - 𝟒 = - 𝟏,𝟐𝟕 - 𝟒 = - 𝟓,𝟐𝟕$
Check:
$x = - 5,27 \Rightarrow y = - \log_{2} (- 5,27) + 6) + 2$
$y = - \log_{2} (0,73) + 2$
$𝐲 = - (- 0,45) + 2 = 𝟐,𝟒𝟓$
$△ 𝐀_{𝟒} 𝐁_{𝟒} 𝐂_{𝟒}$ einzeichnen in die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$
Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ mit $△ 𝐀_{𝟒} 𝐁_{𝟒} 𝐂_{𝟒}$
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Setze $f_{1} = f_{2}$ gleich. Ersetze $x$ durch $x - 4$ in $f_{2}$ und bestimme die Nullstellen mithilfe a-b-c-Formel.