Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B2

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit einer Gleichung der Form

$y=\log_2(x+b)+1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}; b\in \mathbb{R})$ .

Der Graph zu $f_{1}$ schneidet die y-Achse im Punkt $P (0 ∣ 3)$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{1}$ die Gleichung $y=\log_2(x+4)+1$ besitzt.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in [- 3{,}5;6]$ in ein Koordinatensystem.
(3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $-6\le x\le6$ ; $-2\le y\le5$
geg.: $f_1:y=\log_{2}{(x+\mathbf{b)}}+1$ , $f_1\:\cap y$ -Achse in $P (0 ∣ 3)$
ges.: Parameter $b$ in $f_{1}$ ; Zeichnung Graph zu $f_{1}$
Berechnung Parameter $b$ : Einsetzen von $P (0 ∣ 3)$ in $f_{1}$ und Auflösen nach $b$
$3=\log_{2}{(0+b)}+1\qquad \Rightarrow 3-1=\log_{2}{(b)}\qquad \Rightarrow \log_{2}{(b)}=2\qquad b\in\mathbb{R}$
Logarithmus-Regel: $x=\log_{a}{y}\quad \Leftrightarrow \quad y=a^{x}$ anwenden:
$\log_{2}{b}=2\quad \Leftrightarrow\quad b=2^{2}=4\quad\Rightarrow \mathbb{L}=\left\{4\right\}$
$\mathbf {\Rightarrow f_1:\quad y=\log_{2}{(x+4)}+1\qquad \mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R}}$
Einzeichnen des Graphen $f_{1}$ für $x\in[-3{,}5;6]$
Berechnung von Wertepaaren:
$f_1(-3{,}5):\quad y=\log_{2}{(-3{,}5+4)}+1=(-1)+1=0\\ f_1(-3):\quad y=\log_{2}{(-3+4)}+1=0+1=1\\ f_1(0):\quad y=\log_{2}{(0+4)}+1=2+1=3\\ f_1(6):\quad y=\log_{2}{(6+4)}+1=3{,}32+1=4{,}32$
Wertepaare von $f_{1}$
Graph zu $f_{1}$
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Berechne den Parameter $b$ der Logarithmusfunktion $f_{1}$ ;
Zeichne den Graphen von $f_{1}$ .
Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ auf den Graphen der
Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y=-\log_2(x+6)+2$ mit $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ besitzt.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in[-5{,}5;6]$ in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. (3 P)
geg.: Funktionsgraph $f_{1}$ ; Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}$
ges.: $f_{2}$ (=gespiegelte +parallel verschobene $f_{1}$ ); Zeichnung der Graphen
Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-(\log_{2}{(x+4)}+1)\end{pmatrix}\qquad\qquad \mathbb{G} =\mathbb{R}x \mathbb{R}; \quad x\in\mathbb{R}; \quad x>-4$
$x'=x\\ y'=-\log_{2}{(x'+4)-1}$
$\Rightarrow \mathbf{f_{1(gespiegelt)}: \quad y=-\log_{2}{(x+4)-1}}$
Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-(\log_{2}{(x+4)}-1)\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}\qquad\qquad \mathbb{G} =\mathbb{R}x \mathbb{R}; \quad x\in\mathbb{R}; \quad x>-4$
$x''=x-2 \quad \Rightarrow x=x''+2$ einsetzen in $y^{''}$
$y''=-\log_{2}{(x''+2+4)-1+3}=\log_{2}{(x''+6)+2}\qquad \mathbb{G} =\mathbb{R}x \mathbb{R}$
$\Rightarrow \mathbf{f_{2(gespiegelt\: und\: verschoben)}: \quad y=-\log_{2}{(x+6)+2}}$
Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-5{,}5;6]$
Berechnung von Werten:
$f_2 (-5{,}5): y=-\log_{2}{(-5{,}5+6)} +2=-(−1)+2=3\\ f_2 (0): y=-\log_{2}{(0+6)}+2=-2{,}58+2=−0{,}58\\ f_2 (2): y=-\log_{2}{(2+6)}+2=-3+2=−1\\ f_2 (6): y=-\log_{2}{(6+6)}+2=-3{,}58+2=-1{,}58$
Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$
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Spiegle $f_{1}$ an der $x -$ Achse und führe eine Parallelverschiebung mit dem Verschiebungsvektor $v$ auf $f_{2}$ aus;
Zeichne den gespiegelten und parallel verschobenen Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ .
Punkte $A_n(x|\log_2(x+4)+1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_n(x|-\log_2(x+6)+2)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Zusammen mit Punkten $B_{n}$ sind sie für $x \gt -3{,}26$ die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ mit den Hypotenusen $[B_{n} C_{n}]$ . Es gilt: $\overline{A_nB_n}=4\;\text{LE}$ .
Zeichnen Sie in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5$ ein. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_1B_1C_1\: \text{für}\: x=−1}$ berechnen:
$A_1\: \text{auf} \:f_1: y=\log_{2}{(x+4)}+1=\log_{2}{(-1+4)} +1=\log_{2}{(3)}+1=1{,}58+1=2{,}58\\ \Rightarrow A_1(−1|2{,}58)$
$B_1\: \text{Eckpunkt}\: \text{des}\: \triangle {A_1B_1C_1}\: \text{mit} \:A_1B_1=4LE \Rightarrow B_1(−1−4|2{,}58)\\ \Rightarrow B_1(−5|2{,}58)$
$C_1\: \text{auf}\:f_2: y=-\log_{2}{(x+6)} +2=-\log_{2}{(-1+6)} +2=-2{,}32+2=0{,}32\\ \Rightarrow C_1(−1|−0{,}32)$
Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_2B_2C_2\: für\: x=5}$ berechnen:
$A_2\: \text{auf }f_1: y=\log_{2}{(x+4)}+1=\log_{2}{(5+4)}+1=\log_{2}{(9)}+1=3{,}17+1=4{,}17\\ \Rightarrow A_2(5|4{,}17)$
$B_2\: \text{Eckpunkt des}\: \triangle A_2B_2C_2\: \text{mit}\: A_2B_2=4LE \Rightarrow B_2(5−4|4{,}17)\\ \Rightarrow B_2(1|4{,}17)$
$C_2 \:\text{ auf}\:f_2:\quad y=-\log_{2}{(x+6)}+2=-\log_{2}{(5+6)}+2= -3{,}46+2= -1{,}46\\ \Rightarrow C_2(5|−1{,}46)$
$\mathbf {\triangle A_1B_1C_1}$ und $\mathbf {\triangle A_2B_2C_2}$ einzeichnen: siehe Zeichnung zu Aufgabe (b)
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Berechne die Eckpunkte der Dreiecke und zeichne sie anschließend ins KOSY ein.
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline {A_nC_n}(x)=[\log_2(x^2+10x+24)-1]\;\text{LE}$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
geg.: Punkte $A_{n}$ liegen auf dem Graphen von $f_{1}$ : $A_n(x)=\log_{2}{(x+4)}+1$
Punkte $C_{n}$ liegen auf dem Graphen von $f_{2}$ : $C_n(x)=-\log_{2}{(x+6)}+2$
ges.: $\overline {A_nC_n}(x)$
Nachweis für $\overline {A_nC_n}(x)$
$\overline {A_nC_n}(x)=[\log_{2}{(x+4)}+1-(-\log_{2}{(x+6)}+2)]\: LE\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$
$\overline {A_nC_n}(x)=[\log_{2}{(x+4)}+1+\log_{2}{(x+6)}-2)]$
$\overline {A_nC_n}(x)=[\log_{2}{(x+4)}+\log_{2}{(x+6)}-1)]$
mit 1. Logarithmusgesetz $\log_{a}{(x)}+\log_{a}{(y)}=\log_{a}{(x\cdot y)}$ folgt:
$\overline {A_nC_n}(x)=\log_{2}[{(x+4)}\cdot {(x+6)}]-1$
$\overline {A_nC_n}(x)= \log_{2}({x^2+4x+6x+24)}-1$
$\mathbf{\overline {A_nC_n}(x)= [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]$ LE q.e.d.
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Berechne $\overline {A_nC_n}(x)=f_1-f_2$ und verwende die Logarithmusgesetze, um den Term zusammenzufassen.
Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ hat den Flächeninhalt $10\;\text{FE}$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
geg.: $\overline {A_nC_n}(x)= \log_{2}({x^2+10x+24)}-1$
$\qquad \overline {A_nB_n}=4\:LE$ ; $A_\triangle =10\: FE$
ges.: $x$ -Koordinate von $A_{3}$ enthalten in $\mathbf{\overline {A_nC_n}(x)}$
Berechnung x über die Dreiecksfläche:
$\mathbf{{A}(x)=\frac{1}{2}\cdot\overline {A_nB_n}\cdot \overline {A_nC_n}(x)}\\$ ${{A}(x)=0{,}5\cdot4\cdot [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]\: FE\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$
${{A}(x)=2\cdot [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]$ | setze A(x) = 10 FE
${10=2\cdot [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]$ | :2 $\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$ ${5=\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}$ | +1
${6=\log_{2}({x^2+10x+24)}}$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
Es gilt: $\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$
$\textcolor{blue}{x^2+10x+24}= \textcolor{green}{2}^{\textcolor{red}6}$ | quadratische Gleichung lösen
$x^{2} + 10 x + 24 = 64$ | -64
$x^{2} + 10 x - 40 = 0$ | a-b-c-Formel anwenden
Berechnung der Diskriminante D:
$\mathbf{D=b^2-4ac}=10^2-4\cdot1\cdot(-40)=100+160=\textbf{260}$
$\Rightarrow D>0\Leftrightarrow 2$ Lösungen
$\mathbf{x_{1{,}2}}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{260}}{2}=\mathbf{\frac{-10\pm16{,}12}{2}}$
$\mathbf{x_{1}}=\frac{-10+16{,}12}{2}=\frac{6{,}12}{2}=\mathbf{3{,}06}$ $\mathbf{x_{2}}=\frac{-10-16{,}12}{2}=\frac{-26{,}12}{2}=\mathbf{-13{,}06}$
Für Nullstellen gilt $x \in\mathbb{R}$ und $x > - 3, 26$ : $\Rightarrow \mathbf{ \mathbb{L}=\{3{,}06\}}$
Die gesuchte $x$ -Koordinate von $A_{3}$ ist $x = 3, 06$ .
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Berechne $x$ über die Dreiecksfläche.
Berechne dazu die Nullstellen der quadratischen Funktion aus (d) mithilfe der a-b-c-Formel.
Der Eckpunkt $B_{4}$ des Dreiecks $A_{4} B_{4} C_{4}$ liegt auf dem Graphen zu $f_{2}$ .
Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Punktes $B_{4} .$ (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
geg.: $f_1: y=\log_{2}{(x+4)}+1\\$ $\qquad f_2: y=-\log_{2}{(x+6)}+2$
$\qquad$ Es gilt: $B_n[ (\mathbf{x-4)}|\log_{2}{(x+4)}+1]\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$
ges.: $x$ -Koordinate von $A_{4}$ enthalten in $\overline {A_nC_n}(x)$
$\qquad$ $\Rightarrow$ $x$ -Koordinate von $B_{4}$ : $\mathbf{x_{B_{4}}=x_{A_4}-4}$
Gleichsetzen der Funktionswerte
$\log_{2}{(x+4)+1}=-\log_{2}{(x+2)}+2$
Hierbei wurde im Term von $f_{2}$ $x$ durch $x - 4$ ersetzt (siehe geg.).
$\log_{2}{(x+4)+1}+\log_{2}{(x+2)}+2=0$
$\log_{2}{(x+4)}+\log_{2}{(x+2)}-1=0$ | 1. Logarithmusgesetz anwenden
$\textcolor {blue}{\mathbf {\log_{a}{(x)}+\log_{a}{(y)}=\log_{a}{(x\cdot y)}}}$
$\log_{2}[{(x+4)\cdot(x+2)}]-1=0$
$\log_{2}[x^2+6x+8]=1$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
$\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$
$\textcolor{blue}{x^2+6x+8}= \textcolor{green}{2}^{\textcolor{red}1}$ | quadratische Gleichung lösen
$x^{2} + 6 x + 8 = 2$ | $\textcolor {blue}{-2}$
$x^{2} + 6 x + 6 = 0$ |a-b-c-Formel anwenden
$\mathbf{D=b^2-4ac}=6^2-4\cdot1\cdot6=36-24=\mathbf{12}$
$\Rightarrow D>0\Leftrightarrow$ 2 Lösungen
$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{12}}{2\cdot{1}}=\frac{-6\pm3{,}46}{2}$
$x_{1}=\frac{-6+3{,}46}{2}=\frac{2{,}54}{2}=-1{,}27$ $x_{2}=\frac{-6-3{,}46}{2}=\frac{-9{,}46}{2}=-4{,}73$
Nullstellen sind: { $-4{,}73; \mathbf{-1{,}27}$ }
Es gilt $x \in\mathbb{R}$ und $x > - 3, 26$
Also ist die Lösung $x = - 1, 27$ $\mathbb{L}=\{-1{,}27\}$
$\Rightarrow \mathbf{{x_{B_{4}}=x_{A_4}-4=-1{,}27-4=-5{,}27}}$
Check:
$x=−5{,}27 \Rightarrow y=-\log_{2}{(-5{,}27)} +6)+2$
$y=-\log_{2}{(0{,}73)} +2$
$\mathbf{y=}-(-0{,}45)+2=\mathbf{2{,}45}$
$\textcolor{orange}{\mathbf {△ A_4B_4C_4}}$ einzeichnen in die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$
Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ mit $\textcolor{red}{\mathbf {△ A_4B_4C_4}}$
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Setze $f_{1} = f_{2}$ gleich. Ersetze $x$ durch $x - 4$ in $f_{2}$ und bestimme die Nullstellen mithilfe a-b-c-Formel.

Aufgabe B2

Berechnung Parameter bbb: Einsetzen von P(0∣3)P(0|3)P(0∣3) in f1f_1f1​ und Auflösen nach bbb

Einzeichnen des Graphen f1f_1f1​ für x∈[−3,5;6]x\in[-3{,}5;6]x∈[−3,5;6]

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Spiegelung f1f_1 f1​ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1

Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit v⃗=(−23)\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}v=(−23​)

Einzeichnen des Graphen zu f2f_2f2​ für x∈[−5,5;6]x\in[-5{,}5;6]x∈[−5,5;6]

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Eckpunkte von △A1B1C1 fu¨r x=−1\mathbf{\triangle A_1B_1C_1\: \text{für}\: x=−1}△A1​B1​C1​fu¨rx=−1 berechnen:

Eckpunkte von △A2B2C2 fu¨r x=5\mathbf{\triangle A_2B_2C_2\: für\: x=5}△A2​B2​C2​fu¨rx=5 berechnen:

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Nachweis für AnCn‾(x)\overline {A_nC_n}(x)An​Cn​​(x)

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Berechnung x über die Dreiecksfläche:

Berechnung der Diskriminante D:

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Gleichsetzen der Funktionswerte

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Berechnung Parameter $b$ : Einsetzen von $P (0 ∣ 3)$ in $f_{1}$ und Auflösen nach $b$

Einzeichnen des Graphen $f_{1}$ für $x\in[-3{,}5;6]$

Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1

Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}$

Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-5{,}5;6]$

Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_1B_1C_1\: \text{für}\: x=−1}$ berechnen:

Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_2B_2C_2\: für\: x=5}$ berechnen:

Nachweis für $\overline {A_nC_n}(x)$