geg.: Punkte $A(1|−2)$, $C(−1{,}5|3)$, Pfeile $\overrightarrow{AB_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 4\cdot \sin\varphi+3 \\ \dfrac{2}{\sin\varphi} \end{pmatrix}$

ges.: Dreieck$AB_1C$ zum Viereck $AB_1CD_1$ ergänzen; Punkte $D_n(\varphi)$ berechnen

Ansatz und Rechnung:

1. Zeichnung im Koordinatensystem ergänzen:

Abbildung $B_n$ durch Punktspiegelung an $O(0|0)$ auf $D_n$.

Ergänze das Dreieck $AB_1C$ zum Viereck $AB_1CD_1$.

Länge $OB_1 =$Länge $OD_1$

2. Rechnerischer Nachweis für $D_n$: Punkte $D_n(\varphi)$ berechnen

$\overrightarrow{OB_n}(\varphi)=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AB_n}$

$\overrightarrow{OB_n}=\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} 4 \cdot \sin\varphi +3\\\frac{2}{\sin\varphi} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \cdot \sin\varphi +4\\-2+\frac{2}{\sin\varphi} \end{pmatrix}\quad \varphi\in ]0^\circ;180^\circ[$

$\overrightarrow{OD_n}(\varphi)$ ist dann punktgespiegelt an $O$, also $\color {red}\mathbf{-\overrightarrow{OB_n}(\varphi)}$

$\overrightarrow{OD_n}(\varphi)= \begin{pmatrix}-(4\cdot \sin\varphi +4)\\-(-2+\frac{2}{\sin\varphi}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\cdot \sin\varphi -4)\\2-\frac{2}{\sin\varphi}) \end{pmatrix}$

$\mathbf {\Rightarrow D_n(-4\cdot \sin\varphi-4\: |\: 2-\frac{2}{\sin\varphi})}$

Check:

$\overrightarrow{OB_1}=\begin{pmatrix} 4 \cdot \sin(30°) +4\\-2+\frac{2}{\sin(30°)} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \cdot 0{,}5 +4\\-2+\frac{2}{0{,}5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \cdot 0{,}5 +4\\-2+\frac{2}{0{,}5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OD_n}(\varphi) =\begin{pmatrix}-4\cdot \sin(30°)-4)\\2-\frac{2}{\sin(30°}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\cdot 0{,}5 -4)\\2-\frac{2}{0{,}5}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6\\-2 \end{pmatrix}$

siehe Zeichnung!

Im Parallelogramm $AB_nCD_n$ ist der Punkt $O(0|0)$ Mittelpunkt von $[B_nD_n]$.

Damit das auch der Mittelpunkt von $[AC]$ ist müssen $C$ und $A$ symmetrisch zum Ursprung liegen, also muss $C$ die Koordinaten $(-1|2)$ haben. Hier ist aber $C(-1{,}5|3)$. Daher ist unter den Vierecken $AB_nCD_n$ kein Parallelogramm!