geg.: Punkte $A(1|-2)$, $C(-\mathrm{1,5}|3)$, Pfeile $\overrightarrow{A{B}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}4\cdot \sin \phi +3\\ {\displaystyle \frac{2}{\sin \phi }}\end{array}\right)$

ges.: Dreieck$A{B}_{1}C$ zum Viereck $A{B}_{1}C{D}_1$ ergänzen; Punkte $D_n(\phi )$ berechnen

Ansatz und Rechnung:

1. Zeichnung im Koordinatensystem ergänzen:

Abbildung $B_n$ durch Punktspiegelung an $O(0|0)$ auf $D_n$.

Ergänze das Dreieck $A{B}_{1}C$ zum Viereck $A{B}_{1}C{D}_1$.

Länge $O{B}_1=$Länge $O{D}_1$

2. Rechnerischer Nachweis für $D_n$: Punkte $D_n(\phi )$ berechnen

$\overrightarrow{O{B}_n}(\phi )=\overrightarrow{OA}\oplus ︎\overrightarrow{A{B}_n}$

$\overrightarrow{O{B}_n}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\oplus ︎\left(\begin{array}{c}4\cdot \sin \phi +3\\ \frac{2}{\sin \phi }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot \sin \phi +4\\ -2+\frac{2}{\sin \phi }\end{array}\right)\phi \in ]0^{\circ };{180}^{\circ }[$

$\overrightarrow{O{D}_n}(\phi )$ ist dann punktgespiegelt an $O$, also $-\overrightarrow{𝐎{𝐁}_{𝐧}}(𝛗)$

$\overrightarrow{O{D}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}-(4\cdot \sin \phi +4)\\ -(-2+\frac{2}{\sin \phi })\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot \sin \phi -4)\\ 2-\frac{2}{\sin \phi })\end{array}\right)$

$\Rightarrow {𝐃}_{𝐧}(-\mathrm{𝟒}\cdot \sin 𝛗-\mathrm{𝟒}|\mathrm{𝟐}-\frac{\mathrm{𝟐}}{\sin 𝛗})$

Check:

$\overrightarrow{O{B}_1}=\left(\begin{array}{c}4\cdot \sin (30°)+4\\ -2+\frac{2}{\sin (30°)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot \mathrm{0,5}+4\\ -2+\frac{2}{\mathrm{0,5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot \mathrm{0,5}+4\\ -2+\frac{2}{\mathrm{0,5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{O{D}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}-4\cdot \sin (30°)-4)\\ 2-\frac{2}{\sin (30°})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot \mathrm{0,5}-4)\\ 2-\frac{2}{\mathrm{0,5}})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\end{array}\right)$

siehe Zeichnung!

Im Parallelogramm $A{B}_{n}C{D}_n$ ist der Punkt $O(0|0)$ Mittelpunkt von $[B_n{D}_n]$.

Damit das auch der Mittelpunkt von $[AC]$ ist müssen $C$ und $A$ symmetrisch zum Ursprung liegen, also muss $C$ die Koordinaten $(-1|2)$ haben. Hier ist aber $C(-\mathrm{1,5}|3)$. Daher ist unter den Vierecken $A{B}_{n}C{D}_n$ kein Parallelogramm!