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Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe A1

    Gegeben ist die Funktion ff mit der Gleichung y=1,5log2(1x)6;y=-1{,}5\cdot \log_2(1-x)-6; (G=RxR)(\mathbb{G}= \mathbb{R} x \mathbb{R})

    1. Die Gerade gg mit der Gleichung y=9y=-9 schneidet den Graphen der Funktion ff im Punkt PP. Ermitteln Sie rechnerisch die xx-Koordinate des Punktes PP. (2 P)

    2. Der Graph der Funktion f0f_0 mit der Gleichung y=alog2(bx)cy=a\cdot \log_2(b-x)-c mit

      (G=R×R)(\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R}) und a,b,cRa,b,c\in\mathbb{R} wird durch Achsenspiegelung an der x–Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(23)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix} auf den Graphen der Funktion ffabgebildet. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f0f_0. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe A2

    Die Diagonalen [ACAC] und [BDBD] des Drachenvierecks ABCDABCD schneiden sich im Punkt MM. Das Drachenviereck ABCDABCD ist die Grundfläche der Pyramide ABCDSABCDS mit der Höhe [MS] .

    Es gilt: AC=10\overline{AC}= 10 cm; AM=2,5\overline{AM}= 2{,}5 cm; BD=10\overline{BD}= 10 cm; MS=8\overline{MS}= 8 cm.

    Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS.

    In der Zeichnung gilt: q=12q=\dfrac{1}{2} ; ω=45°\omega=45°; [ACAC] liegt auf der Schrägbildachse.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [MC]MC]. Die Winkel MSPnMSP_n haben das Maß φ\varphi mit

      φ[0°;43,15°[\varphi\in[0°;43{,}15°[.

      Parallelen zur Strecke [BD][BD] durch die Punkte PnP_n schneiden die Strecke [BCBC ] in Punkten QnQ_n und die Strecke [CDCD] in Punkten RnR_n. Die Dreiecke AQnRnAQ_nR_n sind die Grundflächen von Pyramiden AQnRnSAQ_nR_nS mit der Höhe [MSMS].

      Zeichnen Sie die Strecke [SP1][SP_1] sowie die Pyramide AQ1R1SAQ_1R_1S für φ=30°\varphi=30° in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

    2. Begründen Sie rechnerisch die obere Intervallgrenze von φ\varphi. (1 P)

    3. Berechnen Sie die Längen der Strecken [MPn][MP_n] und [QnRn][Q_nR_n] in Abhängigkeit von φ\varphi. (3 P)

      [Ergebnisse: MP(φ)=8tanφ\overline{MP}(\varphi)=8\cdot \tan \varphi cm ; QnRn(φ)=(1010,67)tanφ\overline {Q_nR_n}(\varphi)=(10-10{,}67)\cdot \tan \varphi cm].


    4. Zeigen Sie, dass für das Volumen VVder Pyramiden AQnRnSAQ_nR_nS in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: V(φ)=(113,81tan2φ+71,10tanφ+33,33)V(\varphi)=(-113{,}81\cdot \tan^2 \varphi+71{,}10\cdot \tan \varphi+33{,}33) cm3cm^3.

      Bestimmen Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Pyramide AQ1R1S.AQ_1R_1S. (3 P)

  3. 3

    Aufgabe A3

    Die Punkte A(12)A(1|-2) und C(1,53)C(-1{,}5|3) legen für φ]0°;180°[\varphi\in]0°;180°[ zusammen mit

    Pfeilen ABn(φ)=(4sinφ+32sinφ)\overrightarrow{AB_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 4\sin\varphi+3 \\ \dfrac{2}{\sin\varphi} \end{pmatrix} Dreiecke ABnCAB_n C fest.

    Im Koordinatensystem ist das Dreieck AB1CAB_1 C für φ=30°\varphi=30°eingezeichnet.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Die Punkte BnB_n werden durch Punktspiegelung an O(00)O(0|0) auf Punkte DnD_n abgebildet. Dadurch entstehen Vierecke ABnCDnAB_nCD_n.

      Ergänzen Sie im Koordinatensystem zu A3.0 das Dreieck AB1CAB_1C zum Viereck AB1CD1AB_1CD_1.

      Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      Dn(4sinφ422sinφ).D_n(-4\sin\varphi-4|2-\dfrac{2}{\sin\varphi}). (3 P)


    2. Begründen Sie, weshalb es unter den Vierecken ABnCDnAB_nCD_n kein Parallelogramm gibt. (2 P)


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