Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=-1{,}5\cdot \log_2(1-x)-6;$ $(\mathbb{G}= \mathbb{R} x \mathbb{R})$
1. Die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = - 9$ schneidet den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $P$ . Ermitteln Sie rechnerisch die $x$ -Koordinate des Punktes $P$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  geg.: Funktionsgleichung $f: y=−1{,}5\cdot\log_{2}{(1-x)-6}\qquad\mathbb{G=R\times R}$
  Gerade $g : y = - 9$
  ges.: $x -$ Koordinate des Schnittpunktes $P$
  Ansatz und Rechnung:
  Gleichsetzen der Funktion $g$ mit Funktion $f$ , Auflösen nach $x$
  $−9=−1{,}5\cdot\log_{2}{(1-x)-6}\qquad\:$ | $\textcolor {blue} {+6}$
  $−3=−1{,}5\cdot \log_{2}{(1-x)}\qquad\qquad$ | $\textcolor {blue} {:(-1{,}5)}$
  $2=\log_{2}{(1-x)}\qquad$ | Logarithmus in Potenz umwandeln $\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$
  $\Rightarrow$ $\mathbf{\textcolor {blue}{1-x}=\textcolor{green}{2} \textcolor{red}{^2}}$ $\qquad1-x=4\qquad 1-4=x\qquad \mathbf {x=-3}$
  $\mathbf {P(-3|-9)}$ , die $x$ -Koordinate ist also $- 3$ .
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  Gleichsetzungsverfahren von Geradengleichung mit Logarithmusgleichung anwenden
2. Der Graph der Funktion $f_{0}$ mit der Gleichung $y=a\cdot \log_2(b-x)-c$ mit
  $(\mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R})$ und $a,b,c\in\mathbb{R}$ wird durch Achsenspiegelung an der x–Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f$ abgebildet. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion $f_{0}$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung von Funktionsgraphen
  geg.: Die mit $\vec{v}=\begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix}$ verschobene und an der x-Achse gespiegelte Funktion
  $f :$ $y=-1{,}5\cdot \log_{2}{(1-x)-6}\quad$ gemäß Aufgabe A 1.a
  ges.: Ausgangsfunktion $f_0: y=a\cdot \log_{2}{(b-x)-c}$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Rück-Verschiebung von $f$ durch Addition mit $\color {purple} \vec{v}=\begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix}$ : $y''\Rightarrow y'$
  $\begin{pmatrix} x{''}\\-1{,}5\cdot \log_{2}{(1-x{''})-6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x{'}\\y{'} \end{pmatrix} ⊕ \color {purple}\bold {\begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}}$ $\qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R};\quad x''\in \mathbb{R}; \quad x''<-1$
  $x^{''} = x^{'} + 2$ einsetzen in $y^{'}$ :
  $y'=-1{,}5\cdot \log_{2}{(1-(x'+2))-6+3}$ $\qquad$ | zusammenfassen
  $\mathbf{y'=-1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x')-3}}$ $\qquad \qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\\$
  2. Rückspiegelung an $x -$ Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1:
  $y'\Rightarrow y$ $≘ f_{0}$
  $\begin{pmatrix} x{'}\\-1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x{'})-3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ \bold {\color {red} {-y}} \end{pmatrix}\qquad \qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R};\quad x{'}\in \mathbb{R}; \quad x{'}<-1\\$ $x^{'} = x$ einsetzen in $y$ :
  $-y=-1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x)-3}\qquad\qquad$ | $\color {blue}\cdot(-1)$
  $\Rightarrow \mathbf{ y=1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x)+3}}\quad \mathbf{≙f_0}$
  Die Funktion $f_{0}$ hat also die Gleichung $\mathbf{ y=1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x)+3}}$
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  Berechnung der Ausgangsfunktion $f_{0}$ durch Rück-Verschiebung und Rück–Spiegelung der Funktion $f$
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A2
Die Diagonalen [ $A C$ ] und [ $B D$ ] des Drachenvierecks $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ . Das Drachenviereck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe [MS] .
Es gilt: $\overline{AC}= 10$ cm; $\overline{AM}= 2{,}5$ cm; $\overline{BD}= 10$ cm; $\overline{MS}= 8$ cm.
Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ .
In der Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45°$ ; [ $A C$ ] liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke [ $M C]$ . Die Winkel $M S P_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit
  $\varphi\in[0°;43{,}15°[$ .
  Parallelen zur Strecke $[B D]$ durch die Punkte $P_{n}$ schneiden die Strecke [ $B C$ ] in Punkten $Q_{n}$ und die Strecke [ $C D$ ] in Punkten $R_{n}$ . Die Dreiecke $A Q_{n} R_{n}$ sind die Grundflächen von Pyramiden $A Q_{n} R_{n} S$ mit der Höhe [ $M S$ ].
  Zeichnen Sie die Strecke $[S P_{1}]$ sowie die Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ für $\varphi=30°$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  geg.: Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , Parameterwerte zu $A B C D S$ und Parameterwerte zu Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$
  ges.: Zeichnung der Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ und Strecke $[S P_{1}]$
  Ansatz und Rechnung:
  Pyramide $A B C D S$ , Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ und Strecke $[S P_{1}]$
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  Einzeichnen der gegebenen Werte für die Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ und der Strecke $[S P_{1}]$
2. Begründen Sie rechnerisch die obere Intervallgrenze von $\varphi$ . (1 P)
  
  ges.: obere Intervallgrenze von $\varphi$ (siehe Bild in A 2.a)
  Nachweis:
  Für $\varphi$ muss gelten: $\mathbf{\varphi< \sphericalangle MSC}$
  $\mathbf{{tan\sphericalangle MSC }}=\frac{GK}{AK}=\frac{\overline{AC}-\overline{AM}}{\overline{MS}}=\frac{10cm-2{,}5cm}{8cm}=\frac{7{,}5cm}{8cm}=\mathbf{0{,}9375}$
  $\mathbf{\Rightarrow\:\sphericalangle MSC=43{,}15^\circ}$ , also $\mathbf{\varphi<43{,}15^\circ}$
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  Ermittlung der Intervallgrenzen von $\varphi$
3. Berechnen Sie die Längen der Strecken $[M P_{n}]$ und $[Q_{n} R_{n}]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ . (3 P)
  [Ergebnisse: $\overline{MP}(\varphi)=8\cdot \tan \varphi$ cm ; $\overline {Q_nR_n}(\varphi)=(10-10{,}67\cdot \tan \varphi)$ cm].
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangens
  geg.: Schrägbild einer Pyramide gemäß Bild in A 2.a
  ges.: $[MP_n](\varphi)]$ , $[Q_nR_n](\varphi)$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung $[MP_n](\varphi)]$ :
  ${\tan\varphi}=\frac{GK}{AK}=\frac{\overline{MP_n}}{\overline{MS}}=\frac{\overline{MP_n}}{8cm}$
  $\mathbf{\Rightarrow \overline {MP_n}(\varphi)=8cm\cdot tan(\varphi)}\qquad \varphi \in[0°;43{,}15°]$
  2. Berechnung $[Q_nR_n](\varphi)$ :
  mithilfe Strahlensatz, siehe rot-grüne Markierung in Zeichnung von Bild A 2.a
  $\frac{\textcolor {green}{\overline{Q_nR_n}}}{\textcolor {red}{\overline {BD}}}=\frac{\textcolor {green}{\overline{AC}-{\overline{AM}}-{\overline{MP}}}}{\textcolor {red}{{\overline {AC}}-{\overline {AM}}}}=\frac{\textcolor {green}{{10cm}-{{2{,}5cm}}{{-8cm\cdot \tan\varphi}}}}{\textcolor {red}{{{10cm}}-{{2{,}5cm}}}}$
  $\frac{{\overline{Q_nR_n}}}{{\overline {10cm}}}=\frac{{7{,}5cm-8cm \cdot \tan\varphi}}{{10cm}}\qquad \textcolor{blue}{|\cdot 10cm}$
  ${\overline{Q_nR_n}}=\frac{{10cm\cdot (7{,}5cm-8cm \cdot \tan\varphi)}}{{7{,}5cm}}=\frac{{75cm^2-80cm^2 \cdot \tan\varphi}}{{7{,}5cm}}$
  $\mathbf{\Rightarrow {\overline{Q_nR_n}(\varphi)}=(10-10{,}67\cdot \tan\varphi)\: cm}$
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  Berechnung $[MP_n](\varphi)]$ mit $\tan(\varphi)$ und Berechnung $[Q_nR_n](\varphi)$ mithilfe Strahlensatz
4. Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A Q_{n} R_{n} S$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=(-113{,}81\cdot \tan^2 \varphi+71{,}10\cdot \tan \varphi+33{,}33)$ $c m^{3}$ .
  Bestimmen Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Pyramide $A Q_{1} R_{1} S .$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen Pyramide
  geg.: Schrägbild der Pyramiden $A Q_{n} R_{n} S$
  ges.: Volumina $V_{AQ_nR_nS}(\varphi)$ und $V_{AQ_1R_1S}(\varphi=30°)$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung Volumen $V_{AQ_nR_nS}(\varphi)$ :
  $V_{Pyr}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$ mit $G=\frac{1}{2}\cdot \overline {Q_nR_n}\cdot \overline {AP_n}$ und und $h=\overline{MS}$
  $\mathbf{\Rightarrow \mathbf{V_{\text{Pyr}}}\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \overline{Q_nR_n}\cdot\overline {AP_n}\cdot\overline{MS}}$
  $\qquad$ mit $Q_nR_n=(10-10{,}67\cdot \tan\varphi)\:cm$
  $\qquad$ mit $\overline{AP_n}=\overline{AM}+\overline{MP_n}(\varphi)=2{,}5cm + 8cm\cdot \tan\varphi$
  $\qquad$ mit $\overline {MS}=8cm$ und für $\varphi=30°$
  $\Rightarrow V_{\text{Pyr}}(\varphi)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot(10-10{,}67\cdot \tan\varphi)cm \cdot (2{,}5+ 8\cdot \tan\varphi)cm\cdot8cm$
  $V_{\text{Pyr}}(\varphi)=1{,}333cm\cdot (10-10{,}67\cdot \tan\varphi)cm \cdot (2{,}5+ 8\cdot \tan\varphi)cm$
  $V_{\text{Pyr}}(\varphi)=(13{,}333-14{,}23\cdot \tan\varphi)\cdot (2{,}5+ 8\cdot \tan\varphi)\;cm^3$
  $V_{\text{Pyr}}(\varphi)=33{,}3325+106{,}666\cdot \tan\varphi-35{,}575\cdot \tan\varphi-113{,}84\cdot \tan^2(\varphi)$
  $V_{\text{Pyr}}(\varphi)=33{,}3325+71{,}091\cdot \tan\varphi-113{,}84\cdot \tan^2(\varphi)$
  $\mathbf{V_{\text{Pyr}}(\varphi)=-113{,}84\cdot \tan^2(\varphi)+71{,}10\cdot tan\varphi +33{,}33}$ (zwei Nachkommastellen)
  2. Berechnung Volumen $V_{AQ_1R_1S}(\varphi=30^\circ)$ , siehe Aufgabe A 2.a
  $V_{AQ_1R_1S(\varphi=30^\circ)}= -113{,}84\cdot \tan^2(30^\circ)+71{,}10\cdot \tan(30^\circ)+33{,}33$
  $\mathbf {V_{AQ_1R_1S(\varphi=30^\circ)}}=-37{,}95+41{,}05+33{,}33=\mathbf {36{,}43\: cm^3}$
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  Berechnung Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von $∢ M S C$
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A3
Die Punkte $A (1 ∣ - 2)$ und $C (- 1, 5 ∣ 3)$ legen für $\varphi\in]0°;180°[$ zusammen mit
Pfeilen $\overrightarrow{AB_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 4\sin\varphi+3 \\ \dfrac{2}{\sin\varphi} \end{pmatrix}$ Dreiecke $A B_{n} C$ fest.
Im Koordinatensystem ist das Dreieck $A B_{1} C$ für $\varphi=30°$ eingezeichnet.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Die Punkte $B_{n}$ werden durch Punktspiegelung an $O (0 ∣ 0)$ auf Punkte $D_{n}$ abgebildet. Dadurch entstehen Vierecke $A B_{n} C D_{n}$ .
  Ergänzen Sie im Koordinatensystem zu A3.0 das Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$ .
  Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
  $D_n(-4\sin\varphi-4|2-\dfrac{2}{\sin\varphi}).$ (3 P)
  
  geg.: Punkte $A (1 ∣ - 2)$ , $C (- 1, 5 ∣ 3)$ , Pfeile $\overrightarrow{AB_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 4\cdot \sin\varphi+3 \\ \dfrac{2}{\sin\varphi} \end{pmatrix}$
  ges.: Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$ ergänzen; Punkte $D_n(\varphi)$ berechnen
  Ansatz und Rechnung:
  1. Zeichnung im Koordinatensystem ergänzen:
  Abbildung $B_{n}$ durch Punktspiegelung an $O (0 ∣ 0)$ auf $D_{n}$ .
  Ergänze das Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$ .
  Länge $O B_{1} =$ Länge $O D_{1}$
  Ergänzung Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$
  2. Rechnerischer Nachweis für $D_{n}$ : Punkte $D_n(\varphi)$ berechnen
  $\overrightarrow{OB_n}(\varphi)=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AB_n}$
  $\overrightarrow{OB_n}=\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} 4 \cdot \sin\varphi +3\\\frac{2}{\sin\varphi} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \cdot \sin\varphi +4\\-2+\frac{2}{\sin\varphi} \end{pmatrix}\quad \varphi\in ]0^\circ;180^\circ[$
  $\overrightarrow{OD_n}(\varphi)$ ist dann punktgespiegelt an $O$ , also $\color {red}\mathbf{-\overrightarrow{OB_n}(\varphi)}$
  $\overrightarrow{OD_n}(\varphi)= \begin{pmatrix}-(4\cdot \sin\varphi +4)\\-(-2+\frac{2}{\sin\varphi}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\cdot \sin\varphi -4)\\2-\frac{2}{\sin\varphi}) \end{pmatrix}$
  $\mathbf {\Rightarrow D_n(-4\cdot \sin\varphi-4\: |\: 2-\frac{2}{\sin\varphi})}$
  Check:
  $\overrightarrow{OB_1}=\begin{pmatrix} 4 \cdot \sin(30°) +4\\-2+\frac{2}{\sin(30°)} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \cdot 0{,}5 +4\\-2+\frac{2}{0{,}5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \cdot 0{,}5 +4\\-2+\frac{2}{0{,}5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\2 \end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{OD_n}(\varphi) =\begin{pmatrix}-4\cdot \sin(30°)-4)\\2-\frac{2}{\sin(30°}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\cdot 0{,}5 -4)\\2-\frac{2}{0{,}5}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6\\-2 \end{pmatrix}$
  siehe Zeichnung!
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  Dreieck $A B_{1} C$ an $O$ spiegeln, Koordinaten der Punkte $D_n(\varphi)$ berechnen
2. Begründen Sie, weshalb es unter den Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ kein Parallelogramm gibt. (2 P)
  
  Im Parallelogramm $A B_{n} C D_{n}$ ist der Punkt $O (0 ∣ 0)$ Mittelpunkt von $[B_{n} D_{n}]$ .
  Damit das auch der Mittelpunkt von $[A C]$ ist müssen $C$ und $A$ symmetrisch zum Ursprung liegen, also muss $C$ die Koordinaten $(- 1 ∣ 2)$ haben. Hier ist aber $C (- 1, 5 ∣ 3)$ . Daher ist unter den Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ kein Parallelogramm!
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  Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig