Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x) - 6;$ $(𝔾 = ℝ x ℝ)$
1. Die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = - 9$ schneidet den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $P$ . Ermitteln Sie rechnerisch die $x$ -Koordinate des Punktes $P$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  geg.: Funktionsgleichung $f : y = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x) - 6 𝔾 = ℝ \times ℝ$
  Gerade $g : y = - 9$
  ges.: $x -$ Koordinate des Schnittpunktes $P$
  Ansatz und Rechnung:
  Gleichsetzen der Funktion $g$ mit Funktion $f$ , Auflösen nach $x$
  $- 9 = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x) - 6$ | $+ 6$
  $- 3 = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x)$ | $: (- 1,5)$
  $2 = \log_{2} (1 - x)$ | Logarithmus in Potenz umwandeln $𝐱 = \log_{𝐚} (𝐲) \leftrightarrow 𝐲 = 𝐚^{𝐱}$
  $\Rightarrow$ $𝟏 - 𝐱 = 𝟐^{𝟐}$ $1 - x = 4 1 - 4 = x 𝐱 = - 𝟑$
  $𝐏 (- 𝟑 | - 𝟗)$ , die $x$ -Koordinate ist also $- 3$ .
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  Gleichsetzungsverfahren von Geradengleichung mit Logarithmusgleichung anwenden
2. Der Graph der Funktion $f_{0}$ mit der Gleichung $y = a \cdot \log_{2} (b - x) - c$ mit
  $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ und $a, b, c \in ℝ$ wird durch Achsenspiegelung an der x–Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f$ abgebildet. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion $f_{0}$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung von Funktionsgraphen
  geg.: Die mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$ verschobene und an der x-Achse gespiegelte Funktion
  $f :$ $y = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x) - 6$ gemäß Aufgabe A 1.a
  ges.: Ausgangsfunktion $f_{0} : y = a \cdot \log_{2} (b - x) - c$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Rück-Verschiebung von $f$ durch Addition mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$ : $y^{''} \Rightarrow y^{'}$
  $(\begin{array}{c} x^{''} \\ - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - x^{''}) - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 𝟐 \\ - 𝟑 \end{array})$ $𝔾 = ℝ \times ℝ; x^{''} \in ℝ; x^{''} < - 1$
  $x^{''} = x^{'} + 2$ einsetzen in $y^{'}$ :
  $y^{'} = - 1,5 \cdot \log_{2} (1 - (x^{'} + 2)) - 6 + 3$ | zusammenfassen
  $𝐲^{'} = - 𝟏,𝟓 \cdot \log_{𝟐} (- 𝟏 - 𝐱^{'}) - 𝟑$ $\begin{array}{l} 𝔾 = ℝ \times ℝ \end{array}$
  2. Rückspiegelung an $x -$ Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1:
  $y^{'} \Rightarrow y$ $≙ f_{0}$
  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} x^{'} \\ - 1,5 \cdot \log_{2} (- 1 - x^{'}) - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - 𝐲 \end{array}) 𝔾 = ℝ \times ℝ; x^{'} \in ℝ; x^{'} < - 1 \end{array}$ $x^{'} = x$ einsetzen in $y$ :
  $- y = - 1,5 \cdot \log_{2} (- 1 - x) - 3$ | $\cdot (- 1)$
  $\Rightarrow 𝐲 = 𝟏,𝟓 \cdot \log_{𝟐} (- 𝟏 - 𝐱) + 𝟑 ≙ 𝐟_{𝟎}$
  Die Funktion $f_{0}$ hat also die Gleichung $𝐲 = 𝟏,𝟓 \cdot \log_{𝟐} (- 𝟏 - 𝐱) + 𝟑$
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  Berechnung der Ausgangsfunktion $f_{0}$ durch Rück-Verschiebung und Rück–Spiegelung der Funktion $f$
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A2
Die Diagonalen [ $A C$ ] und [ $B D$ ] des Drachenvierecks $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ . Das Drachenviereck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe [MS] .
Es gilt: $A C = 10$ cm; $A M = 2,5$ cm; $B D = 10$ cm; $M S = 8$ cm.
Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ .
In der Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}$ ; $ω = 45 °$ ; [ $A C$ ] liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke [ $M C]$ . Die Winkel $M S P_{n}$ haben das Maß $φ$ mit
  $φ \in [0 °; 43,15 ° [$ .
  Parallelen zur Strecke $[B D]$ durch die Punkte $P_{n}$ schneiden die Strecke [ $B C$ ] in Punkten $Q_{n}$ und die Strecke [ $C D$ ] in Punkten $R_{n}$ . Die Dreiecke $A Q_{n} R_{n}$ sind die Grundflächen von Pyramiden $A Q_{n} R_{n} S$ mit der Höhe [ $M S$ ].
  Zeichnen Sie die Strecke $[S P_{1}]$ sowie die Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ für $φ = 30 °$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  geg.: Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , Parameterwerte zu $A B C D S$ und Parameterwerte zu Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$
  ges.: Zeichnung der Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ und Strecke $[S P_{1}]$
  Ansatz und Rechnung:
  Pyramide $A B C D S$ , Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ und Strecke $[S P_{1}]$
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  Einzeichnen der gegebenen Werte für die Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ und der Strecke $[S P_{1}]$
2. Begründen Sie rechnerisch die obere Intervallgrenze von $φ$ . (1 P)
  
  ges.: obere Intervallgrenze von $φ$ (siehe Bild in A 2.a)
  Nachweis:
  Für $φ$ muss gelten: $𝛗 < ∢ 𝐌 𝐒 𝐂$
  $𝐭 𝐚 𝐧 ∢ 𝐌 𝐒 𝐂 = \frac{G K}{A K} = \frac{A C - A M}{M S} = \frac{10 c m - 2,5 c m}{8 c m} = \frac{7,5 c m}{8 c m} = 𝟎,𝟗𝟑𝟕𝟓$
  $\Rightarrow ∢ 𝐌 𝐒 𝐂 = {𝟒𝟑,𝟏𝟓}^{\circ}$ , also $𝛗 < {𝟒𝟑,𝟏𝟓}^{\circ}$
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  Ermittlung der Intervallgrenzen von $φ$
3. Berechnen Sie die Längen der Strecken $[M P_{n}]$ und $[Q_{n} R_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ . (3 P)
  [Ergebnisse: $M P (φ) = 8 \cdot \tan φ$ cm ; $Q_{n} R_{n} (φ) = (10 - 10,67 \cdot \tan φ)$ cm].
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangens
  geg.: Schrägbild einer Pyramide gemäß Bild in A 2.a
  ges.: $[M P_{n}] (φ)]$ , $[Q_{n} R_{n}] (φ)$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung $[M P_{n}] (φ)]$ :
  $\tan φ = \frac{G K}{A K} = \frac{M P_{n}}{M S} = \frac{M P_{n}}{8 c m}$
  $\Rightarrow 𝐌 𝐏_{𝐧} (𝛗) = 𝟖 𝐜 𝐦 \cdot 𝐭 𝐚 𝐧 (𝛗) φ \in [0 °; 43,15 °]$
  2. Berechnung $[Q_{n} R_{n}] (φ)$ :
  mithilfe Strahlensatz, siehe rot-grüne Markierung in Zeichnung von Bild A 2.a
  $\frac{Q_{n} R_{n}}{B D} = \frac{A C - A M - M P}{A C - A M} = \frac{10 c m - 2,5 c m - 8 c m \cdot \tan φ}{10 c m - 2,5 c m}$
  $\frac{Q_{n} R_{n}}{10 c m} = \frac{7,5 c m - 8 c m \cdot \tan φ}{10 c m} | \cdot 10 c m$
  $Q_{n} R_{n} = \frac{10 c m \cdot (7,5 c m - 8 c m \cdot \tan φ)}{7,5 c m} = \frac{75 c m^{2} - 80 c m^{2} \cdot \tan φ}{7,5 c m}$
  $\Rightarrow 𝐐_{𝐧} 𝐑_{𝐧} (𝛗) = (𝟏𝟎 - 𝟏𝟎,𝟔𝟕 \cdot \tan 𝛗) 𝐜 𝐦$
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  Berechnung $[M P_{n}] (φ)]$ mit $\tan (φ)$ und Berechnung $[Q_{n} R_{n}] (φ)$ mithilfe Strahlensatz
4. Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A Q_{n} R_{n} S$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $V (φ) = (- 113,81 \cdot \tan^{2} φ + 71,10 \cdot \tan φ + 33,33)$ $c m^{3}$ .
  Bestimmen Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Pyramide $A Q_{1} R_{1} S .$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen Pyramide
  geg.: Schrägbild der Pyramiden $A Q_{n} R_{n} S$
  ges.: Volumina $V_{A Q_{n} R_{n} S} (φ)$ und $V_{A Q_{1} R_{1} S} (φ = 30 °)$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung Volumen $V_{A Q_{n} R_{n} S} (φ)$ :
  $V_{P y r} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ mit $G = \frac{1}{2} \cdot Q_{n} R_{n} \cdot A P_{n}$ und und $h = M S$
  $\Rightarrow 𝐕_{Pyr} \frac{𝟏}{𝟑} \cdot \frac{𝟏}{𝟐} \cdot 𝐐_{𝐧} 𝐑_{𝐧} \cdot 𝐀 𝐏_{𝐧} \cdot 𝐌 𝐒$
  mit $Q_{n} R_{n} = (10 - 10,67 \cdot \tan φ) c m$
  mit $A P_{n} = A M + M P_{n} (φ) = 2,5 c m + 8 c m \cdot \tan φ$
  mit $M S = 8 c m$ und für $φ = 30 °$
  $\Rightarrow V_{Pyr} (φ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (10 - 10,67 \cdot \tan φ) c m \cdot (2,5 + 8 \cdot \tan φ) c m \cdot 8 c m$
  $V_{Pyr} (φ) = 1,333 c m \cdot (10 - 10,67 \cdot \tan φ) c m \cdot (2,5 + 8 \cdot \tan φ) c m$
  $V_{Pyr} (φ) = (13,333 - 14,23 \cdot \tan φ) \cdot (2,5 + 8 \cdot \tan φ) c m^{3}$
  $V_{Pyr} (φ) = 33,3325 + 106,666 \cdot \tan φ - 35,575 \cdot \tan φ - 113,84 \cdot \tan^{2} (φ)$
  $V_{Pyr} (φ) = 33,3325 + 71,091 \cdot \tan φ - 113,84 \cdot \tan^{2} (φ)$
  $𝐕_{Pyr} (𝛗) = - 𝟏𝟏𝟑,𝟖𝟒 \cdot \tan^{𝟐} (𝛗) + 𝟕𝟏,𝟏𝟎 \cdot 𝐭 𝐚 𝐧 𝛗 + 𝟑𝟑,𝟑𝟑$ (zwei Nachkommastellen)
  2. Berechnung Volumen $V_{A Q_{1} R_{1} S} (φ = 30^{\circ})$ , siehe Aufgabe A 2.a
  $V_{A Q_{1} R_{1} S (φ = 30^{\circ})} = - 113,84 \cdot \tan^{2} (30^{\circ}) + 71,10 \cdot \tan (30^{\circ}) + 33,33$
  $𝐕_{𝐀 𝐐_{𝟏} 𝐑_{𝟏} 𝐒 (𝛗 = {𝟑𝟎}^{\circ})} = - 37,95 + 41,05 + 33,33 = 𝟑𝟔,𝟒𝟑 𝐜 𝐦^{𝟑}$
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  Berechnung Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von $∢ M S C$
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A3
Die Punkte $A (1 | - 2)$ und $C (- 1,5 | 3)$ legen für $φ \in] 0 °; 180 ° [$ zusammen mit
Pfeilen $\vec{A B_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 4 \sin φ + 3 \\ \frac{2}{\sin φ} \end{array})$ Dreiecke $A B_{n} C$ fest.
Im Koordinatensystem ist das Dreieck $A B_{1} C$ für $φ = 30 °$ eingezeichnet.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Die Punkte $B_{n}$ werden durch Punktspiegelung an $O (0 | 0)$ auf Punkte $D_{n}$ abgebildet. Dadurch entstehen Vierecke $A B_{n} C D_{n}$ .
  Ergänzen Sie im Koordinatensystem zu A3.0 das Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$ .
  Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
  $D_{n} (- 4 \sin φ - 4 | 2 - \frac{2}{\sin φ}) .$ (3 P)
  
  geg.: Punkte $A (1 | - 2)$ , $C (- 1,5 | 3)$ , Pfeile $\vec{A B_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin φ + 3 \\ \frac{2}{\sin φ} \end{array})$
  ges.: Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$ ergänzen; Punkte $D_{n} (φ)$ berechnen
  Ansatz und Rechnung:
  1. Zeichnung im Koordinatensystem ergänzen:
  Abbildung $B_{n}$ durch Punktspiegelung an $O (0 | 0)$ auf $D_{n}$ .
  Ergänze das Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$ .
  Länge $O B_{1} =$ Länge $O D_{1}$
  Ergänzung Dreieck $A B_{1} C$ zum Viereck $A B_{1} C D_{1}$
  2. Rechnerischer Nachweis für $D_{n}$ : Punkte $D_{n} (φ)$ berechnen
  $\vec{O B_{n}} (φ) = \vec{O A} \oplus︎ \vec{A B_{n}}$
  $\vec{O B_{n}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin φ + 3 \\ \frac{2}{\sin φ} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin φ + 4 \\ - 2 + \frac{2}{\sin φ} \end{array}) φ \in] 0^{\circ}; 180^{\circ} [$
  $\vec{O D_{n}} (φ)$ ist dann punktgespiegelt an $O$ , also $- \vec{𝐎 𝐁_{𝐧}} (𝛗)$
  $\vec{O D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} - (4 \cdot \sin φ + 4) \\ - (- 2 + \frac{2}{\sin φ}) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \cdot \sin φ - 4) \\ 2 - \frac{2}{\sin φ}) \end{array})$
  $\Rightarrow 𝐃_{𝐧} (- 𝟒 \cdot \sin 𝛗 - 𝟒 | 𝟐 - \frac{𝟐}{\sin 𝛗})$
  Check:
  $\vec{O B_{1}} = (\begin{array}{c} 4 \cdot \sin (30 °) + 4 \\ - 2 + \frac{2}{\sin (30 °)} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \cdot 0,5 + 4 \\ - 2 + \frac{2}{0,5} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \cdot 0,5 + 4 \\ - 2 + \frac{2}{0,5} \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array})$
  $\vec{O D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} - 4 \cdot \sin (30 °) - 4) \\ 2 - \frac{2}{\sin (30 °}) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \cdot 0,5 - 4) \\ 2 - \frac{2}{0,5}) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 2 \end{array})$
  siehe Zeichnung!
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  Dreieck $A B_{1} C$ an $O$ spiegeln, Koordinaten der Punkte $D_{n} (φ)$ berechnen
2. Begründen Sie, weshalb es unter den Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ kein Parallelogramm gibt. (2 P)
  
  Im Parallelogramm $A B_{n} C D_{n}$ ist der Punkt $O (0 | 0)$ Mittelpunkt von $[B_{n} D_{n}]$ .
  Damit das auch der Mittelpunkt von $[A C]$ ist müssen $C$ und $A$ symmetrisch zum Ursprung liegen, also muss $C$ die Koordinaten $(- 1 | 2)$ haben. Hier ist aber $C (- 1,5 | 3)$ . Daher ist unter den Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ kein Parallelogramm!
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  Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig