geg.: Schrägbild der Pyramide $ABCDS$, Parameterwerte zu $ABCDS$ und Parameterwerte zu Pyramide $AQ_1R_1S$

ges.: Zeichnung der Pyramide $AQ_1R_1S$ und Strecke $[SP_1]$

Ansatz und Rechnung:

ges.: obere Intervallgrenze von $\varphi$ (siehe Bild in A 2.a)

Nachweis:

Für $\varphi$ muss gelten: $\mathbf{\varphi< \sphericalangle MSC}$

$\mathbf{{tan\sphericalangle MSC }}=\frac{GK}{AK}=\frac{\overline{AC}-\overline{AM}}{\overline{MS}}=\frac{10cm-2{,}5cm}{8cm}=\frac{7{,}5cm}{8cm}=\mathbf{0{,}9375}$

$\mathbf{\Rightarrow\:\sphericalangle MSC=43{,}15^\circ}$, also $\mathbf{\varphi<43{,}15^\circ}$

geg.: Schrägbild einer Pyramide gemäß Bild in A 2.a

ges.: $[MP_n](\varphi)]$, $[Q_nR_n](\varphi)$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung $[MP_n](\varphi)]$:

${\tan\varphi}=\frac{GK}{AK}=\frac{\overline{MP_n}}{\overline{MS}}=\frac{\overline{MP_n}}{8cm}$

$\mathbf{\Rightarrow \overline {MP_n}(\varphi)=8cm\cdot tan(\varphi)}\qquad \varphi \in[0°;43{,}15°]$

2. Berechnung $[Q_nR_n](\varphi)$:

mithilfe Strahlensatz, siehe rot-grüne Markierung in Zeichnung von Bild A 2.a

$\frac{\textcolor {green}{\overline{Q_nR_n}}}{\textcolor {red}{\overline {BD}}}=\frac{\textcolor {green}{\overline{AC}-{\overline{AM}}-{\overline{MP}}}}{\textcolor {red}{{\overline {AC}}-{\overline {AM}}}}=\frac{\textcolor {green}{{10cm}-{{2{,}5cm}}{{-8cm\cdot \tan\varphi}}}}{\textcolor {red}{{{10cm}}-{{2{,}5cm}}}}$

$\frac{{\overline{Q_nR_n}}}{{\overline {10cm}}}=\frac{{7{,}5cm-8cm \cdot \tan\varphi}}{{10cm}}\qquad \textcolor{blue}{|\cdot 10cm}$

${\overline{Q_nR_n}}=\frac{{10cm\cdot (7{,}5cm-8cm \cdot \tan\varphi)}}{{7{,}5cm}}=\frac{{75cm^2-80cm^2 \cdot \tan\varphi}}{{7{,}5cm}}$

$\mathbf{\Rightarrow {\overline{Q_nR_n}(\varphi)}=(10-10{,}67\cdot \tan\varphi)\: cm}$

geg.: Schrägbild der Pyramiden $AQ_nR_nS$

ges.: Volumina $V_{AQ_nR_nS}(\varphi)$ und $V_{AQ_1R_1S}(\varphi=30°)$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung Volumen $V_{AQ_nR_nS}(\varphi)$:

$V_{Pyr}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$ mit $G=\frac{1}{2}\cdot \overline {Q_nR_n}\cdot \overline {AP_n}$ und und $h=\overline{MS}$

$\mathbf{\Rightarrow \mathbf{V_{\text{Pyr}}}\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \overline{Q_nR_n}\cdot\overline {AP_n}\cdot\overline{MS}}$

$\qquad$mit $Q_nR_n=(10-10{,}67\cdot \tan\varphi)\:cm$

$\qquad$mit $\overline{AP_n}=\overline{AM}+\overline{MP_n}(\varphi)=2{,}5cm + 8cm\cdot \tan\varphi$

$\qquad$mit $\overline {MS}=8cm$ und für $\varphi=30°$

$\Rightarrow V_{\text{Pyr}}(\varphi)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot(10-10{,}67\cdot \tan\varphi)cm \cdot (2{,}5+ 8\cdot \tan\varphi)cm\cdot8cm$

$V_{\text{Pyr}}(\varphi)=1{,}333cm\cdot (10-10{,}67\cdot \tan\varphi)cm \cdot (2{,}5+ 8\cdot \tan\varphi)cm$

$V_{\text{Pyr}}(\varphi)=(13{,}333-14{,}23\cdot \tan\varphi)\cdot (2{,}5+ 8\cdot \tan\varphi)\;cm^3$

$V_{\text{Pyr}}(\varphi)=33{,}3325+106{,}666\cdot \tan\varphi-35{,}575\cdot \tan\varphi-113{,}84\cdot \tan^2(\varphi)$

$V_{\text{Pyr}}(\varphi)=33{,}3325+71{,}091\cdot \tan\varphi-113{,}84\cdot \tan^2(\varphi)$

$\mathbf{V_{\text{Pyr}}(\varphi)=-113{,}84\cdot \tan^2(\varphi)+71{,}10\cdot tan\varphi +33{,}33}$ (zwei Nachkommastellen)

2. Berechnung Volumen $V_{AQ_1R_1S}(\varphi=30^\circ)$, siehe Aufgabe A 2.a

$V_{AQ_1R_1S(\varphi=30^\circ)}= -113{,}84\cdot \tan^2(30^\circ)+71{,}10\cdot \tan(30^\circ)+33{,}33$

$\mathbf {V_{AQ_1R_1S(\varphi=30^\circ)}}=-37{,}95+41{,}05+33{,}33=\mathbf {36{,}43\: cm^3}$