Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A2

Die Diagonalen [ $A C$ ] und [ $B D$ ] des Drachenvierecks $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ . Das Drachenviereck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe [MS] .

Es gilt: $\overline{AC}= 10$ cm; $\overline{AM}= 2{,}5$ cm; $\overline{BD}= 10$ cm; $\overline{MS}= 8$ cm.

Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ .

In der Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45°$ ; [ $A C$ ] liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke [ $M C]$ . Die Winkel $M S P_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit
$\varphi\in[0°;43{,}15°[$ .
Parallelen zur Strecke $[B D]$ durch die Punkte $P_{n}$ schneiden die Strecke [ $B C$ ] in Punkten $Q_{n}$ und die Strecke [ $C D$ ] in Punkten $R_{n}$ . Die Dreiecke $A Q_{n} R_{n}$ sind die Grundflächen von Pyramiden $A Q_{n} R_{n} S$ mit der Höhe [ $M S$ ].
Zeichnen Sie die Strecke $[S P_{1}]$ sowie die Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ für $\varphi=30°$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
geg.: Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , Parameterwerte zu $A B C D S$ und Parameterwerte zu Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$
ges.: Zeichnung der Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ und Strecke $[S P_{1}]$
Ansatz und Rechnung:
Pyramide $A B C D S$ , Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ und Strecke $[S P_{1}]$
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Einzeichnen der gegebenen Werte für die Pyramide $A Q_{1} R_{1} S$ und der Strecke $[S P_{1}]$
Begründen Sie rechnerisch die obere Intervallgrenze von $\varphi$ . (1 P)

ges.: obere Intervallgrenze von $\varphi$ (siehe Bild in A 2.a)
Nachweis:
Für $\varphi$ muss gelten: $\mathbf{\varphi< \sphericalangle MSC}$
$\mathbf{{tan\sphericalangle MSC }}=\frac{GK}{AK}=\frac{\overline{AC}-\overline{AM}}{\overline{MS}}=\frac{10cm-2{,}5cm}{8cm}=\frac{7{,}5cm}{8cm}=\mathbf{0{,}9375}$
$\mathbf{\Rightarrow\:\sphericalangle MSC=43{,}15^\circ}$ , also $\mathbf{\varphi<43{,}15^\circ}$
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Ermittlung der Intervallgrenzen von $\varphi$
Berechnen Sie die Längen der Strecken $[M P_{n}]$ und $[Q_{n} R_{n}]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ . (3 P)
[Ergebnisse: $\overline{MP}(\varphi)=8\cdot \tan \varphi$ cm ; $\overline {Q_nR_n}(\varphi)=(10-10{,}67\cdot \tan \varphi)$ cm].

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangens
geg.: Schrägbild einer Pyramide gemäß Bild in A 2.a
ges.: $[MP_n](\varphi)]$ , $[Q_nR_n](\varphi)$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung $[MP_n](\varphi)]$ :
${\tan\varphi}=\frac{GK}{AK}=\frac{\overline{MP_n}}{\overline{MS}}=\frac{\overline{MP_n}}{8cm}$
$\mathbf{\Rightarrow \overline {MP_n}(\varphi)=8cm\cdot tan(\varphi)}\qquad \varphi \in[0°;43{,}15°]$
2. Berechnung $[Q_nR_n](\varphi)$ :
mithilfe Strahlensatz, siehe rot-grüne Markierung in Zeichnung von Bild A 2.a
$\frac{\textcolor {green}{\overline{Q_nR_n}}}{\textcolor {red}{\overline {BD}}}=\frac{\textcolor {green}{\overline{AC}-{\overline{AM}}-{\overline{MP}}}}{\textcolor {red}{{\overline {AC}}-{\overline {AM}}}}=\frac{\textcolor {green}{{10cm}-{{2{,}5cm}}{{-8cm\cdot \tan\varphi}}}}{\textcolor {red}{{{10cm}}-{{2{,}5cm}}}}$
$\frac{{\overline{Q_nR_n}}}{{\overline {10cm}}}=\frac{{7{,}5cm-8cm \cdot \tan\varphi}}{{10cm}}\qquad \textcolor{blue}{|\cdot 10cm}$
${\overline{Q_nR_n}}=\frac{{10cm\cdot (7{,}5cm-8cm \cdot \tan\varphi)}}{{7{,}5cm}}=\frac{{75cm^2-80cm^2 \cdot \tan\varphi}}{{7{,}5cm}}$
$\mathbf{\Rightarrow {\overline{Q_nR_n}(\varphi)}=(10-10{,}67\cdot \tan\varphi)\: cm}$
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Berechnung $[MP_n](\varphi)]$ mit $\tan(\varphi)$ und Berechnung $[Q_nR_n](\varphi)$ mithilfe Strahlensatz
Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A Q_{n} R_{n} S$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=(-113{,}81\cdot \tan^2 \varphi+71{,}10\cdot \tan \varphi+33{,}33)$ $c m^{3}$ .
Bestimmen Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Pyramide $A Q_{1} R_{1} S .$ (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen Pyramide
geg.: Schrägbild der Pyramiden $A Q_{n} R_{n} S$
ges.: Volumina $V_{AQ_nR_nS}(\varphi)$ und $V_{AQ_1R_1S}(\varphi=30°)$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung Volumen $V_{AQ_nR_nS}(\varphi)$ :
$V_{Pyr}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$ mit $G=\frac{1}{2}\cdot \overline {Q_nR_n}\cdot \overline {AP_n}$ und und $h=\overline{MS}$
$\mathbf{\Rightarrow \mathbf{V_{\text{Pyr}}}\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \overline{Q_nR_n}\cdot\overline {AP_n}\cdot\overline{MS}}$
$\qquad$ mit $Q_nR_n=(10-10{,}67\cdot \tan\varphi)\:cm$
$\qquad$ mit $\overline{AP_n}=\overline{AM}+\overline{MP_n}(\varphi)=2{,}5cm + 8cm\cdot \tan\varphi$
$\qquad$ mit $\overline {MS}=8cm$ und für $\varphi=30°$
$\Rightarrow V_{\text{Pyr}}(\varphi)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot(10-10{,}67\cdot \tan\varphi)cm \cdot (2{,}5+ 8\cdot \tan\varphi)cm\cdot8cm$
$V_{\text{Pyr}}(\varphi)=1{,}333cm\cdot (10-10{,}67\cdot \tan\varphi)cm \cdot (2{,}5+ 8\cdot \tan\varphi)cm$
$V_{\text{Pyr}}(\varphi)=(13{,}333-14{,}23\cdot \tan\varphi)\cdot (2{,}5+ 8\cdot \tan\varphi)\;cm^3$
$V_{\text{Pyr}}(\varphi)=33{,}3325+106{,}666\cdot \tan\varphi-35{,}575\cdot \tan\varphi-113{,}84\cdot \tan^2(\varphi)$
$V_{\text{Pyr}}(\varphi)=33{,}3325+71{,}091\cdot \tan\varphi-113{,}84\cdot \tan^2(\varphi)$
$\mathbf{V_{\text{Pyr}}(\varphi)=-113{,}84\cdot \tan^2(\varphi)+71{,}10\cdot tan\varphi +33{,}33}$ (zwei Nachkommastellen)
2. Berechnung Volumen $V_{AQ_1R_1S}(\varphi=30^\circ)$ , siehe Aufgabe A 2.a
$V_{AQ_1R_1S(\varphi=30^\circ)}= -113{,}84\cdot \tan^2(30^\circ)+71{,}10\cdot \tan(30^\circ)+33{,}33$
$\mathbf {V_{AQ_1R_1S(\varphi=30^\circ)}}=-37{,}95+41{,}05+33{,}33=\mathbf {36{,}43\: cm^3}$
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Berechnung Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von $∢ M S C$

Aufgabe A2

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