geg.: Schrägbild der Pyramide $ABCDS$, Parameterwerte zu $ABCDS$ und Parameterwerte zu Pyramide $A{Q}_1{R}_{1}S$

ges.: Zeichnung der Pyramide $A{Q}_1{R}_{1}S$ und Strecke $[S{P}_1]$

Ansatz und Rechnung:

ges.: obere Intervallgrenze von $\phi$ (siehe Bild in A 2.a)

Nachweis:

Für $\phi$ muss gelten: $𝛗<\sphericalangle 𝐌𝐒𝐂$

$𝐭𝐚𝐧\sphericalangle 𝐌𝐒𝐂=\frac{GK}{AK}=\frac{\overline{AC}-\overline{AM}}{\overline{MS}}=\frac{10cm-\mathrm{2,5}cm}{8cm}=\frac{\mathrm{7,5}cm}{8cm}=\mathrm{𝟎,𝟗𝟑𝟕𝟓}$

$\Rightarrow \sphericalangle 𝐌𝐒𝐂={\mathrm{𝟒𝟑,𝟏𝟓}}^{\circ }$, also $𝛗<{\mathrm{𝟒𝟑,𝟏𝟓}}^{\circ }$

geg.: Schrägbild einer Pyramide gemäß Bild in A 2.a

ges.: $[M{P}_n](\phi )]$, $[Q_n{R}_n](\phi )$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung $[M{P}_n](\phi )]$:

$\tan \phi =\frac{GK}{AK}=\frac{\overline{M{P}_n}}{\overline{MS}}=\frac{\overline{M{P}_n}}{8cm}$

$\Rightarrow \overline{𝐌{𝐏}_{𝐧}}(𝛗)=\mathrm{𝟖}𝐜𝐦\cdot 𝐭𝐚𝐧(𝛗)\phi \in [0°;\mathrm{43,15}°]$

2. Berechnung $[Q_n{R}_n](\phi )$:

mithilfe Strahlensatz, siehe rot-grüne Markierung in Zeichnung von Bild A 2.a

$\frac{\overline{Q_n{R}_n}}{\overline{BD}}=\frac{\overline{AC}-\overline{AM}-\overline{MP}}{\overline{AC}-\overline{AM}}=\frac{10cm-\mathrm{2,5}cm-8cm\cdot \tan \phi }{10cm-\mathrm{2,5}cm}$

$\frac{\overline{Q_n{R}_n}}{\overline{10cm}}=\frac{\mathrm{7,5}cm-8cm\cdot \tan \phi }{10cm}|\cdot 10cm$

$\overline{Q_n{R}_n}=\frac{10cm\cdot (\mathrm{7,5}cm-8cm\cdot \tan \phi )}{\mathrm{7,5}cm}=\frac{75c{m}^2-80c{m}^2\cdot \tan \phi }{\mathrm{7,5}cm}$

$\Rightarrow \overline{{𝐐}_{𝐧}{𝐑}_{𝐧}}(𝛗)=(\mathrm{𝟏𝟎}-\mathrm{𝟏𝟎,𝟔𝟕}\cdot \tan 𝛗)𝐜𝐦$

geg.: Schrägbild der Pyramiden $A{Q}_n{R}_{n}S$

ges.: Volumina $V_{A{Q}_n{R}_{n}S}(\phi )$ und $V_{A{Q}_1{R}_{1}S}(\phi =30°)$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung Volumen $V_{A{Q}_n{R}_{n}S}(\phi )$:

$V_{Pyr}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$ mit $G=\frac{1}{2}\cdot \overline{Q_n{R}_n}\cdot \overline{A{P}_n}$ und und $h=\overline{MS}$

$\Rightarrow {𝐕}_{\text{Pyr}}\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot \frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot \overline{{𝐐}_{𝐧}{𝐑}_{𝐧}}\cdot \overline{𝐀{𝐏}_{𝐧}}\cdot \overline{𝐌𝐒}$

$$mit $Q_n{R}_n=(10-\mathrm{10,67}\cdot \tan \phi )cm$

$$mit $\overline{A{P}_n}=\overline{AM}+\overline{M{P}_n}(\phi )=\mathrm{2,5}cm+8cm\cdot \tan \phi$

$$mit $\overline{MS}=8cm$ und für $\phi =30°$

$\Rightarrow V_{\text{Pyr}}(\phi )=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot (10-\mathrm{10,67}\cdot \tan \phi )cm\cdot (\mathrm{2,5}+8\cdot \tan \phi )cm\cdot 8cm$

$V_{\text{Pyr}}(\phi )=\mathrm{1,333}cm\cdot (10-\mathrm{10,67}\cdot \tan \phi )cm\cdot (\mathrm{2,5}+8\cdot \tan \phi )cm$

$V_{\text{Pyr}}(\phi )=(\mathrm{13,333}-\mathrm{14,23}\cdot \tan \phi )\cdot (\mathrm{2,5}+8\cdot \tan \phi )c{m}^3$

$V_{\text{Pyr}}(\phi )=\mathrm{33,3325}+\mathrm{106,666}\cdot \tan \phi -\mathrm{35,575}\cdot \tan \phi -\mathrm{113,84}\cdot {\tan }^2(\phi )$

$V_{\text{Pyr}}(\phi )=\mathrm{33,3325}+\mathrm{71,091}\cdot \tan \phi -\mathrm{113,84}\cdot {\tan }^2(\phi )$

${𝐕}_{\text{Pyr}}(𝛗)=-\mathrm{𝟏𝟏𝟑,𝟖𝟒}\cdot {\tan }^{\mathrm{𝟐}}(𝛗)+\mathrm{𝟕𝟏,𝟏𝟎}\cdot 𝐭𝐚𝐧𝛗+\mathrm{𝟑𝟑,𝟑𝟑}$ (zwei Nachkommastellen)

2. Berechnung Volumen $V_{A{Q}_1{R}_{1}S}(\phi ={30}^{\circ })$, siehe Aufgabe A 2.a

$V_{A{Q}_1{R}_{1}S(\phi ={30}^{\circ })}=-\mathrm{113,84}\cdot {\tan }^2({30}^{\circ })+\mathrm{71,10}\cdot \tan ({30}^{\circ })+\mathrm{33,33}$

${𝐕}_{𝐀{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}{𝐑}_{\mathrm{𝟏}}𝐒(𝛗={\mathrm{𝟑𝟎}}^{\circ })}=-\mathrm{37,95}+\mathrm{41,05}+\mathrm{33,33}=\mathrm{𝟑𝟔,𝟒𝟑}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$