geg.: Funktionsgleichung $f: y=−1{,}5\cdot\log_{2}{(1-x)-6}\qquad\mathbb{G=R\times R}$

Gerade $g: y=−9$

ges.: $x-$Koordinate des Schnittpunktes $P$

Ansatz und Rechnung:

Gleichsetzen der Funktion $g$ mit Funktion $f$, Auflösen nach $x$

$−9=−1{,}5\cdot\log_{2}{(1-x)-6}\qquad\:$|$\textcolor {blue} {+6}$

$−3=−1{,}5\cdot \log_{2}{(1-x)}\qquad\qquad$|$\textcolor {blue} {:(-1{,}5)}$

$2=\log_{2}{(1-x)}\qquad$| Logarithmus in Potenz umwandeln $\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$

$\Rightarrow$$\mathbf{\textcolor {blue}{1-x}=\textcolor{green}{2} \textcolor{red}{^2}}$ $\qquad1-x=4\qquad 1-4=x\qquad \mathbf {x=-3}$

$\mathbf {P(-3|-9)}$, die $x$-Koordinate ist also $-3$.

geg.: Die mit $\vec{v}=\begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix}$ verschobene und an der x-Achse gespiegelte Funktion

$f:$ $y=-1{,}5\cdot \log_{2}{(1-x)-6}\quad$ gemäß Aufgabe A 1.a

ges.: Ausgangsfunktion $f_0: y=a\cdot \log_{2}{(b-x)-c}$

Ansatz und Rechnung:

1. Rück-Verschiebung von $f$ durch Addition mit $\color {purple} \vec{v}=\begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix}$: $y''\Rightarrow y'$

$\begin{pmatrix} x{''}\\-1{,}5\cdot \log_{2}{(1-x{''})-6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x{'}\\y{'} \end{pmatrix} ⊕ \color {purple}\bold {\begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}}$ $\qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R};\quad x''\in \mathbb{R}; \quad x''<-1$

$x{''}=x{'}+2$ einsetzen in $y'$:

$y'=-1{,}5\cdot \log_{2}{(1-(x'+2))-6+3}$ $\qquad$| zusammenfassen

$\mathbf{y'=-1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x')-3}}$ $\qquad \qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\\$

2. Rückspiegelung an $x-$Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1:

$y'\Rightarrow y$ $≙ f_0$

$\begin{pmatrix} x{'}\\-1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x{'})-3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ \bold {\color {red} {-y}} \end{pmatrix}\qquad \qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R};\quad x{'}\in \mathbb{R}; \quad x{'}<-1\\$$x{'}=x$ einsetzen in $y$:

$-y=-1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x)-3}\qquad\qquad$|$\color {blue}\cdot(-1)$

$\Rightarrow \mathbf{ y=1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x)+3}}\quad \mathbf{≙f_0}$

Die Funktion $f_0$ hat also die Gleichung $\mathbf{ y=1{,}5\cdot \log_{2}{(-1-x)+3}}$