Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide$\text{ABCDS}$

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an.

Schrägbild der Pyramide$\text{ABCDS}$

Berechnung der Länge der Strecke$\text{[CS]}:$

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{{\overline{\text{MC}}}^2+{\overline{\text{MS}}}^2}$ Satz des Pythagoras

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{(6{\mathrm{c}\mathrm{m})}^2+(8{\mathrm{c}\mathrm{m})}^2}$

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{36{\mathrm{cm}}^2+64{\mathrm{cm}}^2}\Rightarrow \overline{\text{CS}}=\sqrt{100{\mathrm{cm}}^2}$

$\overline{\text{CS}}=10\mathrm{cm}$

Berechnung des Maßes des Winkels$\text{MSC}:$

$\tan \sphericalangle \text{MSC}={\displaystyle \frac{\overline{\text{MC}}}{\overline{\text{MS}}}}\Rightarrow \tan \sphericalangle \text{MSC}={\displaystyle \frac{6}{8}};\tan \sphericalangle \text{MSC}=\mathrm{0,75}$

$\sphericalangle \text{MSC}={\mathrm{36,87}}^{\circ }$

Einzeichnen der Strecke$[P_{1}T]$

Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{S{P}_1}\cdot \overline{ST}\cdot \sin \sphericalangle \mathrm{MSC}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (8-2)\cdot 3\cdot \sin \mathrm{36,87}°{\text{cm}}^2$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1}=9\cdot \mathrm{0,6000}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1}=\mathrm{5,40}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Berechnung Maß des Winkels$\mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}$ mit dem Sinussatz:

${\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle \mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}}{\overline{\mathrm{ST}}}}={\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle \mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{C}}{\overline{{\mathrm{P}}_1\mathrm{T}}}}$

Berechne zuerst die Seite${\mathrm{P}}_1\mathrm{T}$ mit dem Kosinussatz

$\overline{{\mathrm{P}}_1\mathrm{T}}=\sqrt{(8-2{)}^2+3^2-2\cdot (8-2)\cdot 3\cdot \cos {\mathrm{36,87}}^{\circ }}\mathrm{cm}$

$\overline{{\mathrm{P}}_1\mathrm{T}}=\sqrt{36+9-36\cdot \mathrm{0,80}}\mathrm{cm}\Rightarrow \underline{\overline{{\mathrm{P}}_1\mathrm{T}}=\mathrm{4,02}\mathrm{cm}}$

Berechne jetzt den Winkel$\mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}$

${\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle \mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}}{3\mathrm{cm}}}={\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{36,87}}^{\circ }}{\mathrm{4,02}\mathrm{cm}}}\Rightarrow \sin \sphericalangle \mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}={\displaystyle \frac{3\mathrm{cm}\cdot \sin {\mathrm{36,87}}^{\circ }}{\mathrm{4,02}\mathrm{cm}}}$

$\sphericalangle \mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}={\mathrm{26,60}}^{\circ }$

Einzeichnen der Strecke$[{\mathrm{P}}_2\mathrm{T}]$

Hinweis:$\overline{\mathrm{M}{\mathrm{P}}_2}\widehat{=}\mathrm{x}$

Berechnen der Strecke$\mathrm{x}$

$\cos \sphericalangle \mathrm{MSC}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{ST}}}{8-\mathrm{x}}}\mathrm{x}\in {ℝ}_0^{+};[0;8[$

$\cos {\mathrm{36,87}}^{\circ }={\displaystyle \frac{3}{8-\mathrm{x}}}\Rightarrow \mathrm{x}=8-{\displaystyle \frac{3}{\cos {\mathrm{36,87}}^{\circ }}}$

$\mathrm{x}=8-\mathrm{3,75}$

$\mathrm{x}=\mathrm{4,25}𝕃=\{\mathrm{4,25}\}$

Einzeichnen der Pyramide${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1\mathrm{S}\mathrm{T}$und der Höhe$[\mathrm{H}\mathrm{T}]$

Berechnung von$\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}$ :

${\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})}{\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}}}={\displaystyle \frac{(\overline{\mathrm{S}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}}-\mathrm{x})}{\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}}\Rightarrow \overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}\cdot (\overline{\mathrm{S}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}}-\mathrm{x})}{\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}}$

$\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{10\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot (8-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}}{8\mathrm{c}\mathrm{m}}}$

$\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(10-\mathrm{1,25}x)\text{cm}$

Berechnung von$\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}$:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{S}\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{S}\mathrm{C}}}}\Rightarrow \overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{S}\mathrm{C}}}}$

$\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}={\displaystyle \frac{6\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 3\mathrm{c}\mathrm{m}}{10\mathrm{c}\mathrm{m}}}$

$\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}=\mathrm{1,8}\text{cm}$

Volumen der Pyramide ${\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{S}\mathrm{T}$ in Abhängigkeit von x :

$\mathrm{V}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{\mathrm{S}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (10-\mathrm{1,25}\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot (8-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{1,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot \mathrm{1,8}\cdot (10-\mathrm{1,25}\mathrm{x})\cdot (8-\mathrm{x})\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{0,3}\cdot (10-\mathrm{1,25}\mathrm{x})\cdot (8-\mathrm{x})\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{0,3}\cdot (\mathrm{1,25}{\mathrm{x}}^2-20\mathrm{x}+80)\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=(\mathrm{0,375}{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+24)\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=(\mathrm{0,375}{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+24)\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\mathrm{x}\in {ℝ}_{\mathrm{𝟘}}^{+};[0;8[$

Die Pyramide${\mathrm{Q}}_3{\mathrm{R}}_3\mathrm{S}\mathrm{T}$hat das maximale Volumen${\mathrm{V}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=24\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$wenn$\mathrm{x}=0$ ist.