Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B2

Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe [ $M S$ ], deren Grundfläche die Raute $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist.

Es gilt: $\overline{AC}=12\;\text{cm}$ ; $\overline{BD}=10\;\text{cm}$ ; $\overline{MS}=8\;\text{cm}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45°$ .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[C S]$ und das Maß des Winkels $M S C$ . (4 P)
$[$ Teilergebnisse: $\overline{CS}=10\;\text{cm}$ ; $\sphericalangle MSC=36{,}87°]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide $\ \text{ABCDS}$
Wenn du nicht mehr weißt, wie man Schrägbilder zeichnet,
dann schau dir noch einmal den Artikel Schrägbilder zeichnen
an.
Schrägbild der Pyramide $\ \text{ABCDS}$
Berechnung der Länge der Strecke $\ \text{[CS]}\ :$
$\ \overline{\text{CS}}=\sqrt{{\overline{\text{{MC}}}}^2+{\overline{\text{{MS}}}}^2}$ Satz des Pythagoras
$\overline{\text{CS}}=\sqrt{(6\;\mathrm{cm)}^2+(8\;\mathrm{cm)}^2}$
$\overline{\text{CS}}=\sqrt{36\;\mathrm{cm}^2+64\;\mathrm{cm}^2}\ \Rightarrow\ \overline{\text{CS}}=\sqrt{100\;\mathrm{cm}^2}$
$\ \boxed{\overline{\text{CS}}=10\;\mathrm{cm}}$
Berechnung des Maßes des Winkels $\ \text{MSC}\ :$
$\ \tan\sphericalangle\ {\text{MSC}}=\dfrac{\overline{\text{MC}}}{\overline{\text{MS}}}\Rightarrow\tan\sphericalangle\ {\text{MSC}}=\dfrac{6}{8};\ \ \tan\sphericalangle\ {\text{MSC}}=0{,}75$
$\ \boxed{\sphericalangle\ {\text{MSC}}=36{,}87^\circ}$
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Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $[C S]$ mit $\overline{ST}=3\;\text{cm}$ . Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[M S]$ mit $\overline{MP_n}=x\;\text{cm}$ ; $\left(x \in\mathbb{R_0}^+, x\in[0;8[\right)$ . Zusammen mit den Punkten $T$ und $S$ bilden sie Dreiecke $T S P_{n}$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[P_{1} T]$ für $x = 2$ in das Schrägbild zu 2a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch den Flächeninhalt des Dreiecks $T S P_{1}$ sowie das Maß des Winkels $T P_{1} S .$ (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Einzeichnen der Strecke $\ \textcolor{red}{[P_1T]}$
Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $\ \mathrm{TSP_1}$
$\ \mathrm{A_{TSP_1}}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{SP_1}\cdot\overline{ST}\cdot\sin\sphericalangle\mathrm{{MSC}}$
$\ \mathrm{A_{TSP_1}}=\dfrac{1}{2}\cdot(8-2)\cdot3\cdot\sin36{,}87°\;\text{cm}^2$
$\ \mathrm{A_{TSP_1}}=9\cdot0{,}6000\ \mathrm{cm^2}$
$\ \boxed{\mathrm{A_{TSP_1}}=5{,}40\ \mathrm{cm^2}}$
Berechnung Maß des Winkels $\ \mathrm{{TP_1S}}$ mit dem Sinussatz:
$\ \dfrac{\mathrm{\sin\sphericalangle{TP_1S}}}{\overline{\mathrm{ST}}}=\dfrac{\mathrm{\sin\sphericalangle{MSC}}}{\overline{\mathrm{P_1T}}}$
Berechne zuerst die Seite $\ \mathrm{P_1T}$ mit dem Kosinussatz
$\ \mathrm{\overline{{P_1T}}}=\sqrt{(8-2)^2+3^2-2\cdot(8-2)\cdot3\cdot\cos36{,}87^\circ}\ \mathrm{cm}$
$\ \mathrm{\overline{{P_1T}}}=\sqrt{36+9-36\cdot0{,}80}\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad \underline{\mathrm{\overline{{P_1T}}}=4{,}02\ \mathrm{cm}}$
Berechne jetzt den Winkel $\ \mathrm{{TP_1S}}$
$\ \dfrac{\mathrm{\sin\sphericalangle{TP_1S}}}{3\mathrm\ \mathrm{cm}}=\dfrac{\mathrm{\sin36{,}87^\circ}}{{\mathrm{4{,}02\ \mathrm{cm}}}}\Rightarrow\sin\sphericalangle{\mathrm{TP_1S}}=\dfrac{3\ \mathrm{cm}\cdot\sin36{,}87^\circ}{4{,}02\ \mathrm{cm}}$
$\ \boxed{\sphericalangle{\mathrm{TP_1S}}=26{,}60^\circ}$
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Für den Winkel $S T P_{2}$ gilt: $\sphericalangle STP_2=90°$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[P_{2} T]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Einzeichnen der Strecke $\ \mathrm{[P_2T]}$
Hinweis: $\ \overline{\mathrm{MP_2}}\ \widehat{=}\ \mathrm{x}$
Berechnen der Strecke $\ \mathrm{x}$
$\ \cos\sphericalangle\mathrm{MSC}=\dfrac{\overline{\mathrm{ST}}}{\mathrm{8-x}}\hspace{40mm}\mathrm{x}\in\R^+_0;[0;8[$
$\ \cos36{,}87^\circ=\dfrac{3}{\mathrm{8-x}}\ \Rightarrow\mathrm{x}=\ 8-\dfrac{3}{\cos36{,}87^\circ}$
$\hspace{35mm}\mathrm{x}=8-3{,}75$
$\hspace{34mm}\boxed{\mathrm{x}=4{,}25}\hspace{20mm}\mathbb{L}=\{4{,}25\}$
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Die Punkte $P_{n}$ sind Mittelpunkte von Strecken $[Q_{n} R_{n}]$ , wobei gilt: $Q_n\in [BS]$ , $R_n\in [DS]$ und $[Q_nR_n]\Vert [BD]$ . Die Dreiecke $Q_{n} R_{n} S$ sind Grundflächen von Pyramiden $Q_{n} R_{n} S T$ , wobei $T$ die Spitze der Pyramiden mit dem Höhenfußpunkt $H\in [MS]$ ist.
Zeichnen Sie die Pyramide $Q_{1} R_{1} S T$ und die Pyramidenhöhe $[H T]$ in das Schrägbild zu 2a) ein. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Einzeichnen der Pyramide $\ \mathrm{Q_1R_1ST}\$ und der Höhe $\ \mathrm{[HT]}$
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Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $Q_{n} R_{n} S T$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V(x)=(0{,}375x^2-6x+24)\;\text{cm}^3$ . (4 P)
$[$ Zwischenergebnis: $\overline{Q_nR_N}(x)=(10- 1{,}25x)\;\text{cm}]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechnung von $\ \mathrm{\overline{Q_nR_n}}$ :
$\ \mathrm{\dfrac{\overline{Q_nR_n}(x)}{\overline{BD}}}=\mathrm{\dfrac{\left(\overline{SP_n}-x\right)}{\overline{MS}}}\ \Rightarrow\ \mathrm{{\overline{Q_nR_n}}(x)}=\mathrm{\dfrac{\overline{BD}\cdot\left(\overline{SP_n}-x\right)}{\overline{MS}}}$
$\ \mathrm{{\overline{Q_nR_n}}(x)}=\mathrm{\dfrac{10\ cm\cdot\left(8-x\right)cm}{8\ cm}}$
$\ \mathrm{{\overline{Q_nR_n}}(x)}=(10-1{,}25x)\ \text{cm}$
Berechnung von $\ \mathrm{\overline{HT}}$ :
$\ \mathrm{\dfrac{\overline{HT}}{\overline{MC}}}=\mathrm{\dfrac{\overline{ST}}{\overline{SC}}}\Rightarrow\ \mathrm{\overline{HT}=\dfrac{\overline{MC}\cdot{\overline{ST}}}{\overline{SC}}}$
$\mathrm{\overline{HT}}=\mathrm{\dfrac{6\ cm\cdot{3\ cm}}{10\ cm}}$
$\ \mathrm{\overline{HT}}=1{,}8\ \text{cm}$
Volumen der Pyramide $\ \mathrm{Q_nR_nST}$ in Abhängigkeit von x :
$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\overline{Q_nR_n}\cdot\overline{SP_n}\cdot\overline{HT}}$
$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(10-1{,}25x)\ cm\cdot(8-x)\ cm\cdot1{,}8\ cm}$
$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{6}\cdot1{,}8\cdot(10-1{,}25x)\cdot(8-x)\ cm^3}$
$\ \mathrm{V(x)=0{,}3\cdot(10-1{,}25x)\cdot(8-x)\ cm^3}$
$\ \mathrm{V(x)=0{,}3\cdot(1{,}25x^2-20x+80)\ cm^3}$
$\boxed{\ \mathrm{V(x)=(0{,}375x^2-6x+24)\ cm^3}}$
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Berechne zuerst $\mathrm{\overline{Q_nR_n}}\$ und $\ \mathrm{\overline{HT}}$ mithilfe des Strahlensatzes.
Unter den Pyramiden $Q_{n} R_{n} S T$ hat die Pyramide $Q_{3} R_{3} S T$ das maximale Volumen.
Geben Sie den zugehörigen Wert für $x$ und das maximale Volumen an. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
$\ \mathrm{V(x)=(0{,}375x^2-6x+24)\ cm^3\qquad\qquad\ x}\in\ \mathbb{R_0^+};\ [0;8[$
Die Pyramide $\ \mathrm{Q_3R_3ST}\$ hat das maximale Volumen $\ \boxed{\mathrm{{V_{max}}=24\ cm^3}}\$ wenn $\ \mathrm{x=0}$ ist.
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Aufgabe B2

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