Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide$\ \text{ABCDS}$

Wenn du nicht mehr weißt, wie man Schrägbilder zeichnet,

dann schau dir noch einmal den Artikel Schrägbilder zeichnen

an.

Schrägbild der Pyramide$\ \text{ABCDS}$

Berechnung der Länge der Strecke$\ \text{[CS]}\ :$

$\ \overline{\text{CS}}=\sqrt{{\overline{\text{{MC}}}}^2+{\overline{\text{{MS}}}}^2}$ Satz des Pythagoras

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{(6\;\mathrm{cm)}^2+(8\;\mathrm{cm)}^2}$

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{36\;\mathrm{cm}^2+64\;\mathrm{cm}^2}\ \Rightarrow\ \overline{\text{CS}}=\sqrt{100\;\mathrm{cm}^2}$

$\ \boxed{\overline{\text{CS}}=10\;\mathrm{cm}}$

Berechnung des Maßes des Winkels$\ \text{MSC}\ :$

$\ \tan\sphericalangle\ {\text{MSC}}=\dfrac{\overline{\text{MC}}}{\overline{\text{MS}}}\Rightarrow\tan\sphericalangle\ {\text{MSC}}=\dfrac{6}{8};\ \ \tan\sphericalangle\ {\text{MSC}}=0{,}75$

$\ \boxed{\sphericalangle\ {\text{MSC}}=36{,}87^\circ}$

Einzeichnen der Strecke$\ \textcolor{red}{[P_1T]}$

Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $\ \mathrm{TSP_1}$

$\ \mathrm{A_{TSP_1}}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{SP_1}\cdot\overline{ST}\cdot\sin\sphericalangle\mathrm{{MSC}}$

$\ \mathrm{A_{TSP_1}}=\dfrac{1}{2}\cdot(8-2)\cdot3\cdot\sin36{,}87°\;\text{cm}^2$

$\ \mathrm{A_{TSP_1}}=9\cdot0{,}6000\ \mathrm{cm^2}$

$\ \boxed{\mathrm{A_{TSP_1}}=5{,}40\ \mathrm{cm^2}}$

Berechnung Maß des Winkels$\ \mathrm{{TP_1S}}$ mit dem Sinussatz:

$\ \dfrac{\mathrm{\sin\sphericalangle{TP_1S}}}{\overline{\mathrm{ST}}}=\dfrac{\mathrm{\sin\sphericalangle{MSC}}}{\overline{\mathrm{P_1T}}}$

Berechne zuerst die Seite$\ \mathrm{P_1T}$ mit dem Kosinussatz

$\ \mathrm{\overline{{P_1T}}}=\sqrt{(8-2)^2+3^2-2\cdot(8-2)\cdot3\cdot\cos36{,}87^\circ}\ \mathrm{cm}$

$\ \mathrm{\overline{{P_1T}}}=\sqrt{36+9-36\cdot0{,}80}\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad \underline{\mathrm{\overline{{P_1T}}}=4{,}02\ \mathrm{cm}}$

Berechne jetzt den Winkel$\ \mathrm{{TP_1S}}$

$\ \dfrac{\mathrm{\sin\sphericalangle{TP_1S}}}{3\mathrm\ \mathrm{cm}}=\dfrac{\mathrm{\sin36{,}87^\circ}}{{\mathrm{4{,}02\ \mathrm{cm}}}}\Rightarrow\sin\sphericalangle{\mathrm{TP_1S}}=\dfrac{3\ \mathrm{cm}\cdot\sin36{,}87^\circ}{4{,}02\ \mathrm{cm}}$

$\ \boxed{\sphericalangle{\mathrm{TP_1S}}=26{,}60^\circ}$

Einzeichnen der Strecke$\ \mathrm{[P_2T]}$

Hinweis:$\ \overline{\mathrm{MP_2}}\ \widehat{=}\ \mathrm{x}$

Berechnen der Strecke$\ \mathrm{x}$

$\ \cos\sphericalangle\mathrm{MSC}=\dfrac{\overline{\mathrm{ST}}}{\mathrm{8-x}}\hspace{40mm}\mathrm{x}\in\R^+_0;[0;8[$

$\ \cos36{,}87^\circ=\dfrac{3}{\mathrm{8-x}}\ \Rightarrow\mathrm{x}=\ 8-\dfrac{3}{\cos36{,}87^\circ}$

$\hspace{35mm}\mathrm{x}=8-3{,}75$

$\hspace{34mm}\boxed{\mathrm{x}=4{,}25}\hspace{20mm}\mathbb{L}=\{4{,}25\}$

Einzeichnen der Pyramide$\ \mathrm{Q_1R_1ST}\$und der Höhe$\ \mathrm{[HT]}$

Berechnung von$\ \mathrm{\overline{Q_nR_n}}$ :

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{Q_nR_n}(x)}{\overline{BD}}}=\mathrm{\dfrac{\left(\overline{SP_n}-x\right)}{\overline{MS}}}\ \Rightarrow\ \mathrm{{\overline{Q_nR_n}}(x)}=\mathrm{\dfrac{\overline{BD}\cdot\left(\overline{SP_n}-x\right)}{\overline{MS}}}$

$\ \mathrm{{\overline{Q_nR_n}}(x)}=\mathrm{\dfrac{10\ cm\cdot\left(8-x\right)cm}{8\ cm}}$

$\ \mathrm{{\overline{Q_nR_n}}(x)}=(10-1{,}25x)\ \text{cm}$

Berechnung von$\ \mathrm{\overline{HT}}$:

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{HT}}{\overline{MC}}}=\mathrm{\dfrac{\overline{ST}}{\overline{SC}}}\Rightarrow\ \mathrm{\overline{HT}=\dfrac{\overline{MC}\cdot{\overline{ST}}}{\overline{SC}}}$

$\mathrm{\overline{HT}}=\mathrm{\dfrac{6\ cm\cdot{3\ cm}}{10\ cm}}$

$\ \mathrm{\overline{HT}}=1{,}8\ \text{cm}$

Volumen der Pyramide $\ \mathrm{Q_nR_nST}$ in Abhängigkeit von x :

$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\overline{Q_nR_n}\cdot\overline{SP_n}\cdot\overline{HT}}$

$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(10-1{,}25x)\ cm\cdot(8-x)\ cm\cdot1{,}8\ cm}$

$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{6}\cdot1{,}8\cdot(10-1{,}25x)\cdot(8-x)\ cm^3}$

$\ \mathrm{V(x)=0{,}3\cdot(10-1{,}25x)\cdot(8-x)\ cm^3}$

$\ \mathrm{V(x)=0{,}3\cdot(1{,}25x^2-20x+80)\ cm^3}$

$\boxed{\ \mathrm{V(x)=(0{,}375x^2-6x+24)\ cm^3}}$

$\ \mathrm{V(x)=(0{,}375x^2-6x+24)\ cm^3\qquad\qquad\ x}\in\ \mathbb{R_0^+};\ [0;8[$

Die Pyramide$\ \mathrm{Q_3R_3ST}\$hat das maximale Volumen$\ \boxed{\mathrm{{V_{max}}=24\ cm^3}}\$wenn$\ \mathrm{x=0}$ ist.