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Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe B1

    Die Parabel pp verläuft durch die Punkte P(22,8)P(-2|2{,}8) und Q(71)Q(7|1). Sie hat eine Gleichung der Form y=0,2x2+bx+cy=-0{,}2x^2+bx+c mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R} und b,cRb,c\in\mathbb{R}. Die Gerade gg hat die Gleichung y=0,2x1y=-0{,}2x-1 mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für bb und cc, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,2x2+0,8x+5,2y=-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2 hat.

      Zeichnen Sie sodann die Parabel pp und die Gerade gg für x[4;9]x\in[-4; 9] in ein Koordinatensystem ein. (4 P)

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1  cm1\;\text{cm}; 4x9-4\le x\le 9; 4y7-4 \le y \le 7

    2. Punkte An(x0,2x2+0,8x+5,2)A_n(x|-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2) auf der Parabel pp und Punkte

      Bn(x0,2x1)B_n(x|-0{,}2x-1) auf der Geraden gg haben dieselbe Abszisse xx. Punkte DnD_n liegen auch auf der Parabel pp und haben eine um drei größere Abszisse als die Punkte AnA_n. Zusammen mit Punkten CnC_n entstehen für x]3,60;8,60[x\in]-3{,}60;8{,}60[ Trapeze AnBnCnDn.A_nB_nC_nD_n.

      Es gilt: [AnBn][CnDn][A_nB_n]\Vert [C_nD_n] und CnDn=4  LE\overline{C_nD_n}=4\;\text{LE}.

      Zeichnen Sie die Trapeze A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=1x=-1 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=3x=3 in das Koordinatensystem zu 1) ein. (2 P)

    3. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: A(x)=(0,3x2+1,5x+15,3)  FEA(x)=(-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3)\;\text{FE}.

      Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt dieser Trapeze sowie den zugehörigen Wert für x.x. (4 P)

    4. Der Flächeninhalt der Trapeze A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 und A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 beträgt jeweils 16,5  FE16{,}5\;\text{FE}. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte für x. (2 P)

    5. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die y-Koordinate der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: yDn=0,2x20,4x+5,8y_{D_n}=-0{,}2x^2-0{,}4x+5{,}8. (2 P)

    6. Die Strecke [A5D5][A_5D_5] im Trapez A5B5C5D5A_5B_5C_5D_5 ist parallel zur x-Achse.

      Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes. (3 P)

      [[Zwischenergebnis: xA5=0,5]x_{A_5}=0{,}5]

  2. 2

    Aufgabe B2

    Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS mit der Höhe [MSMS], deren Grundfläche die Raute ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist.

    Es gilt: AC=12  cm\overline{AC}=12\;\text{cm}; BD=10  cm\overline{BD}=10\;\text{cm}; MS=8  cm\overline{MS}=8\;\text{cm}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12q=\dfrac{1}{2}; ω=45°\omega=45°.

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [CS][CS] und das Maß des Winkels MSCMSC. (4 P)

      [[Teilergebnisse: CS=10  cm\overline{CS}=10\;\text{cm}; MSC=36,87°]\sphericalangle MSC=36{,}87°]

    2. Der Punkt TT liegt auf der Strecke [CS][CS] mit ST=3  cm\overline{ST}=3\;\text{cm}. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [MS][MS] mit MPn=x  cm\overline{MP_n}=x\;\text{cm}; (xR0+,x[0;8[)\left(x \in\mathbb{R_0}^+, x\in[0;8[\right). Zusammen mit den Punkten TT und SS bilden sie Dreiecke TSPnTSP_n.

      Zeichnen Sie die Strecke [P1T][P_1T] für x=2x=2 in das Schrägbild zu 2a) ein.

      Ermitteln Sie sodann rechnerisch den Flächeninhalt des Dreiecks TSP1TSP_1 sowie das Maß des Winkels TP1S.TP_1S. (4 P)

    3. Für den Winkel STP2STP_2 gilt: STP2=90°\sphericalangle STP_2=90°.

      Zeichnen Sie die Strecke [P2T][P_2T] in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie den zugehörigen Wert für xx. (2 P)

    4. Die Punkte PnP_n sind Mittelpunkte von Strecken [QnRn][Q_nR_n], wobei gilt: Qn[BS]Q_n\in [BS], Rn[DS]R_n\in [DS] und [QnRn][BD][Q_nR_n]\Vert [BD]. Die Dreiecke QnRnSQ_nR_nS sind Grundflächen von Pyramiden QnRnSTQ_nR_nST, wobei TT die Spitze der Pyramiden mit dem Höhenfußpunkt H[MS]H\in [MS] ist.

      Zeichnen Sie die Pyramide Q1R1STQ_1R_1ST und die Pyramidenhöhe [HT][HT] in das Schrägbild zu 2a) ein. (1 P)

    5. Zeigen Sie, dass für das Volumen VVder Pyramiden QnRnSTQ_nR_nST in Abhängigkeit von xx gilt: V(x)=(0,375x26x+24)  cm3V(x)=(0{,}375x^2-6x+24)\;\text{cm}^3. (4 P)

      [[Zwischenergebnis: QnRN(x)=(101,25x)  cm]\overline{Q_nR_N}(x)=(10- 1{,}25x)\;\text{cm}]

    6. Unter den Pyramiden QnRnSTQ_nR_nST hat die Pyramide Q3R3STQ_3R_3STdas maximale Volumen.

      Geben Sie den zugehörigen Wert für xx und das maximale Volumen an. (2 P)


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