Nachtermin Teil B

Setze den Punkt $P(-2|\mathrm{2,8})$ in die Gleichung der Parabel $p$ ein.

Setze den Punkt $Q(7|1)$ in die Gleichung der Parabel $p$ ein.

Setze $b=\mathrm{0,8}$ in die erste Gleichung ein.

Setze $b=\mathrm{0,8}$ und $c=\mathrm{5,2}$ in die Gleichung der Parabel $p$ ein.

$\Rightarrow y=-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}$

Einzeichnen der Trapeze$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$und$A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ in das Koordinatensystem.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes lautet:

$A_{\text{Trapez}}={\displaystyle \frac{\text{a}+\text{c}}{2}}\cdot \text{h}$

$\text{a}=\overline{{\text{A}}_{\text{n}}{\text{B}}_{\text{n}}}\text{c}=\overline{{\text{C}}_{\text{n}}{\text{D}}_{\text{n}}}\text{h}=3\text{LE}$

$\overline{{\text{A}}_{\text{n}}{\text{B}}_{\text{n}}}(x)=(-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}-(-\mathrm{0,2}x-1))\text{LE}x\in ℝ;x\in ]-\mathrm{3,60};\mathrm{8,60}[$

$\overline{{\text{A}}_{\text{n}}{\text{B}}_{\text{n}}}(x)=(-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}+\mathrm{0,2}x+1)\text{LE}$

$\overline{{\text{A}}_{\text{n}}{\text{B}}_{\text{n}}}(x)=(-\mathrm{0,2}{x}^2+x+\mathrm{6,2})\text{LE}$

$\overline{{\text{C}}_{\text{n}}{\text{D}}_{\text{n}}}=4\text{LE}$

$A(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-\mathrm{0,2}{x}^2+x+\mathrm{6,2}+4)\cdot 3\text{FE}x\in ℝ;x\in ]-\mathrm{3,60};\mathrm{8,60}[$

$\underline{\underline{A(x)=(-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3})\text{FE}}}$

Bestimmen des maximalen Flächeninhalts dieser Trapeze, sowie den zugehörigen Wert für x.

Siehe: Extremwertaufgabe mittels quadratischer Ergänzung lösen

$\underline{\text{1. Lösungsmöglichkeit:}}$

Umwandeln der Funktion$\text{A(x)}$in die Scheitelform

mithilfe der quadratischen Ergänzung.

$A(x)=(-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3})\text{FE}$

$A(x)=-\mathrm{0,3}\cdot (x^2-5x-51)\text{FE}$

$A(x)=-\mathrm{0,3}\cdot [x^2-5x+{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-51]\text{FE}$

$A(x)=-\mathrm{0,3}\cdot [{(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-51]\text{FE}$

$A(x)=-\mathrm{0,3}\cdot \left[\right(x-\mathrm{2,5}{)}^2-\mathrm{6,25}-51]\text{FE}$

$A(x)=(-\mathrm{0,3}\cdot (x-\mathrm{2,5}{)}^2+\mathrm{17,175})\text{FE}$

$S(\mathrm{2,5}|\mathrm{17,18})\Rightarrow$ für $x=\mathrm{2,5}$ ist ${\text{A}}_{\text{max}}=\mathrm{17,18}\text{FE}$

$\underline{\text{2. Lösungsmöglichkeit:}}$

Bestimmen des Scheitelpunktes mithilfe der Formel für den Scheitelpunkt.

Die Formel für den Scheitelpunkt lautet:

$S(-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}|c-{\displaystyle \frac{b^2}{4\cdot a}})$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{2\cdot (-\mathrm{0,3})}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{2,5}$

${\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=c-{\displaystyle \frac{b^2}{4\cdot a}}\Rightarrow {\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{15,3}-{\displaystyle \frac{(\mathrm{1,5}{)}^2}{4\cdot (-\mathrm{0,3})}}$

${\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{17,18}$

Für $\text{x=2,5}$hat das Trapez den maximalen Flächeninhalt:${\text{A}}_{\text{max}}=\mathrm{17,18}\text{FE}$

$\text{A(x)}=-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}$

$\mathrm{16,5}=-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}\text{x}\in ℝ;\text{x}\in ]-\mathrm{3,60};\mathrm{8,60}[$

$-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}=\mathrm{16,5}$

$-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}-\mathrm{16,5}=0$

$-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x-\mathrm{1,2}=0$

Löse die quadratische Gleichung entweder mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder der pq-Formel.

Hier erfolgt die Lösung mit der abc-Formel:

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,5}\pm \sqrt{\mathrm{2,25}-\mathrm{1,44}}}{-\mathrm{0,6}}}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,5}\pm \mathrm{0,9}}{-\mathrm{0,6}}}$

Damit folgt$x_1=1$und$x_2=4𝕃=\{1;4\}$

$y_{A_n}=-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}$

Da die Punkte${\text{D}}_{\text{n}}$auch auf der Parabel$\text{p}$ liegen, aber eine um $3$ größere Abszisse als die Punkte${\text{A}}_{\text{n}}$ haben gilt:

$y_{D_n}=-\mathrm{0,2}\cdot (x+3{)}^2+\mathrm{0,8}\cdot (x+3)+\mathrm{5,2}\text{x}\in ℝ;\text{x}\in ]-\mathrm{3,60};8;60[$

$y_{D_n}=-\mathrm{0,2}\cdot (x^2+6x+9)+\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,4}+\mathrm{5,2}$

$y_{D_n}=-\mathrm{0,2}{x}^2-\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,8}+\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,4}+\mathrm{5,2}$

$y_{D_n}=-\mathrm{0,2}{x}^2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{5,8}$

Im Trapez${\mathrm{A}}_5{\mathrm{B}}_5{\mathrm{C}}_5{\mathrm{D}}_5$gilt:${\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}_5}={\mathrm{y}}_{{\mathrm{D}}_5}$

${\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}_5}=-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}$

${\mathrm{y}}_{{\mathrm{D}}_5}=-\mathrm{0,2}{x}^2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{5,8}$

$-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}=-\mathrm{0,2}{x}^2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{5,8}\text{x}\in ℝ;\text{x}\in ]-\mathrm{3,60};\mathrm{8,60}[$

$\mathrm{1,2}x=\mathrm{0,6}$

$x=\mathrm{0,5}𝕃=\{\mathrm{0,5}\}$

Berechnung des Flächeninhaltes des Trapezes${\mathrm{A}}_5{\mathrm{B}}_5{\mathrm{C}}_5{\mathrm{D}}_5$

$x=\mathrm{0,5}$eingesetzt in:

$A(x)=-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}\Rightarrow A(\mathrm{0,5})=-\mathrm{0,3}\cdot {\mathrm{0,5}}^2+\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{15,3}$

$\begin{array}{l}A(\mathrm{0,5})=-\mathrm{0,075}+\mathrm{0,75}+\mathrm{15,3}\\ A(\mathrm{0,5})=\mathrm{15,975}\end{array}$

Der Flächeninhalt des Trapezes ${\mathrm{A}}_5{\mathrm{B}}_5{\mathrm{C}}_5{\mathrm{D}}_5$beträgt: $\mathrm{15,98}\text{FE}$

Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide$\text{ABCDS}$

Wenn du nicht mehr weißt, wie man Schrägbilder zeichnet,

dann schau dir noch einmal den Artikel Schrägbilder zeichnen

an.

Schrägbild der Pyramide$\text{ABCDS}$

Berechnung der Länge der Strecke$\text{[CS]}:$

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{{\overline{\text{MC}}}^2+{\overline{\text{MS}}}^2}$ Satz des Pythagoras

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{(6{\mathrm{c}\mathrm{m})}^2+(8{\mathrm{c}\mathrm{m})}^2}$

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{36{\mathrm{cm}}^2+64{\mathrm{cm}}^2}\Rightarrow \overline{\text{CS}}=\sqrt{100{\mathrm{cm}}^2}$

$\overline{\text{CS}}=10\mathrm{cm}$

Berechnung des Maßes des Winkels$\text{MSC}:$

$\tan \sphericalangle \text{MSC}={\displaystyle \frac{\overline{\text{MC}}}{\overline{\text{MS}}}}\Rightarrow \tan \sphericalangle \text{MSC}={\displaystyle \frac{6}{8}};\tan \sphericalangle \text{MSC}=\mathrm{0,75}$

$\sphericalangle \text{MSC}={\mathrm{36,87}}^{\circ }$

Einzeichnen der Strecke$[P_{1}T]$

Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{S{P}_1}\cdot \overline{ST}\cdot \sin \sphericalangle \mathrm{MSC}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (8-2)\cdot 3\cdot \sin \mathrm{36,87}°{\text{cm}}^2$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1}=9\cdot \mathrm{0,6000}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{S}{\mathrm{P}}_1}=\mathrm{5,40}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Berechnung Maß des Winkels$\mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}$ mit dem Sinussatz:

${\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle \mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}}{\overline{\mathrm{ST}}}}={\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle \mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{C}}{\overline{{\mathrm{P}}_1\mathrm{T}}}}$

Berechne zuerst die Seite${\mathrm{P}}_1\mathrm{T}$ mit dem Kosinussatz

$\overline{{\mathrm{P}}_1\mathrm{T}}=\sqrt{(8-2{)}^2+3^2-2\cdot (8-2)\cdot 3\cdot \cos {\mathrm{36,87}}^{\circ }}\mathrm{cm}$

$\overline{{\mathrm{P}}_1\mathrm{T}}=\sqrt{36+9-36\cdot \mathrm{0,80}}\mathrm{cm}\Rightarrow \underline{\overline{{\mathrm{P}}_1\mathrm{T}}=\mathrm{4,02}\mathrm{cm}}$

Berechne jetzt den Winkel$\mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}$

${\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle \mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}}{3\mathrm{cm}}}={\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{36,87}}^{\circ }}{\mathrm{4,02}\mathrm{cm}}}\Rightarrow \sin \sphericalangle \mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}={\displaystyle \frac{3\mathrm{cm}\cdot \sin {\mathrm{36,87}}^{\circ }}{\mathrm{4,02}\mathrm{cm}}}$

$\sphericalangle \mathrm{T}{\mathrm{P}}_1\mathrm{S}={\mathrm{26,60}}^{\circ }$

Einzeichnen der Strecke$[{\mathrm{P}}_2\mathrm{T}]$

Hinweis:$\overline{\mathrm{M}{\mathrm{P}}_2}\widehat{=}\mathrm{x}$

Berechnen der Strecke$\mathrm{x}$

$\cos \sphericalangle \mathrm{MSC}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{ST}}}{8-\mathrm{x}}}\mathrm{x}\in {ℝ}_0^{+};[0;8[$

$\cos {\mathrm{36,87}}^{\circ }={\displaystyle \frac{3}{8-\mathrm{x}}}\Rightarrow \mathrm{x}=8-{\displaystyle \frac{3}{\cos {\mathrm{36,87}}^{\circ }}}$

$\mathrm{x}=8-\mathrm{3,75}$

$\mathrm{x}=\mathrm{4,25}𝕃=\{\mathrm{4,25}\}$

Einzeichnen der Pyramide${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1\mathrm{S}\mathrm{T}$und der Höhe$[\mathrm{H}\mathrm{T}]$

Berechnung von$\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}$ :

${\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})}{\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}}}={\displaystyle \frac{(\overline{\mathrm{S}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}}-\mathrm{x})}{\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}}\Rightarrow \overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}\cdot (\overline{\mathrm{S}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}}-\mathrm{x})}{\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}}$

$\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{10\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot (8-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}}{8\mathrm{c}\mathrm{m}}}$

$\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(10-\mathrm{1,25}x)\text{cm}$

Berechnung von$\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}$:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{S}\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{S}\mathrm{C}}}}\Rightarrow \overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{S}\mathrm{C}}}}$

$\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}={\displaystyle \frac{6\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 3\mathrm{c}\mathrm{m}}{10\mathrm{c}\mathrm{m}}}$

$\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}=\mathrm{1,8}\text{cm}$

Volumen der Pyramide ${\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{S}\mathrm{T}$ in Abhängigkeit von x :

$\mathrm{V}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{\mathrm{S}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (10-\mathrm{1,25}\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot (8-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{1,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot \mathrm{1,8}\cdot (10-\mathrm{1,25}\mathrm{x})\cdot (8-\mathrm{x})\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{0,3}\cdot (10-\mathrm{1,25}\mathrm{x})\cdot (8-\mathrm{x})\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{0,3}\cdot (\mathrm{1,25}{\mathrm{x}}^2-20\mathrm{x}+80)\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=(\mathrm{0,375}{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+24)\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=(\mathrm{0,375}{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+24)\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\mathrm{x}\in {ℝ}_{\mathrm{𝟘}}^{+};[0;8[$

Die Pyramide${\mathrm{Q}}_3{\mathrm{R}}_3\mathrm{S}\mathrm{T}$hat das maximale Volumen${\mathrm{V}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=24\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$wenn$\mathrm{x}=0$ ist.