Nachtermin Teil B

Setze den Punkt $P(-2|2{,}8)$ in die Gleichung der Parabel $p$ ein.

Setze den Punkt $Q(7|1)$ in die Gleichung der Parabel $p$ ein.

Setze $b=0{,}8$ in die erste Gleichung ein.

Setze $b=0{,}8$ und $c=5{,}2$ in die Gleichung der Parabel $p$ ein.

$\Rightarrow y=-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2$

Einzeichnen der Trapeze$\ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\$und$\ A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}\$ in das Koordinatensystem.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes lautet:

$\ A_{\text{Trapez}}=\dfrac{\text{a}+\text{c}}{2}\cdot \text{h}$

$\ \text{a}=\overline{\text{A}_{\text{n}}\text{B}_{\text{n}}}\qquad \text{c}=\overline{\text{C}_{\text{n}}\text{D}_{\text{n}}}\qquad \text{h}=3\ \text{LE}$

$\ \overline{\text{A}_{\text{n}}\text{B}_{\text{n}}}(x)=\left(-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2-(-0{,}2x-1)\right)\text{LE}\hspace{4mm} x\in\mathbb {R};x\in\ ]-3{,}60;8{,}60[$

$\ \overline{\text{A}_{\text{n}}\text{B}_{\text{n}}}(x)=(-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2+0{,}2x+1)\text{LE}$

$\ \boxed {\overline{\text{A}_{\text{n}}\text{B}_{\text{n}}}(x)=(-0{,}2x^2+x+6{,}2)\ \text{LE}}$

$\ \boxed {\overline{\text{C}_{\text{n}}\text{D}_{\text{n}}}=4\ \text{LE}}$

$\ A(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(-0{,}2x^2+x+6{,}2+4)\cdot3\ \text{FE}\hspace{4mm} x\in\mathbb {R};x\in\ ]-3{,}60;8{,}60[$

$\underline{\underline{\ A(x)=(-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3)\ \text{FE}}}$

Bestimmen des maximalen Flächeninhalts dieser Trapeze, sowie den zugehörigen Wert für x.

Siehe: Extremwertaufgabe mittels quadratischer Ergänzung lösen

$\ \underline{\text{1. Lösungsmöglichkeit:}}$

Umwandeln der Funktion$\ \text{A(x)}\$in die Scheitelform

mithilfe der quadratischen Ergänzung.

$\ A(x)=(-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3)\ \text{FE}$

$\ A(x)=-0{,}3\cdot(x^2-5x-51)\ \text{FE}$

$\ A(x)=-0{,}3\cdot\Big[x^2-5x+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-51\Big]\ \text{FE}$

$\ A(x)=-0{,}3\cdot\Big[\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-51\Big]\ \text{FE}$

$\ A(x)=-0{,}3\cdot\Big[\Big(x-2{,}5\Big)^2-6{,}25-51\Big]\ \text{FE}$

$\ A(x)=\left(-0{,}3\cdot\Big(x-2{,}5\Big)^2+17{,}175\right)\ \text{FE}$

$S(2{,}5|17{,}18)\;\Rightarrow$ für $x=2{,}5$ ist $\text{A}_{\text{max}}=17{,}18\ \text{FE}$

$\ \underline{\text{2. Lösungsmöglichkeit:}}\$

Bestimmen des Scheitelpunktes mithilfe der Formel für den Scheitelpunkt.

Die Formel für den Scheitelpunkt lautet:

$S\left(-\dfrac b{2~\cdot~ a}\left|c-\dfrac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\right.\right)\$

$\mathrm{x_{s}}=-\dfrac b{2~\cdot~ a}\ \Rightarrow\ \mathrm{x_{s}}=-\dfrac {1{,}5}{2~\cdot~ (-0{,}3)}$

$\boxed{\mathrm{x_{s}}=2{,}5}$

$\mathrm{y_{s}}=c-\dfrac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\ \Rightarrow\ \mathrm{y_{s}}=15{,}3-\dfrac{(1{,}5)^2}{4 ~\cdot(-0{,}3)}\$

$\boxed{\mathrm{y_{s}}=17{,}18}\$

Für $\text{x=2{,}5}\$hat das Trapez den maximalen Flächeninhalt:$\ \text{A}_{\text{max}}=17{,}18\ \text{FE}$

$\text{A(x)}=-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3$

$\ 16{,}5=-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3\hspace{20mm}\text{x}\in\mathbb {R};\text{x}\in\ ]-3{,}60;8{,}60[$

$\ -0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3=16{,}5$

$\ -0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3-16{,}5=0$

$\ -0{,}3x^2+1{,}5x-1{,}2=0$

Löse die quadratische Gleichung entweder mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder der pq-Formel.

Hier erfolgt die Lösung mit der abc-Formel:

$\ x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x_{1{,}2}=\dfrac{-1{,}5\pm\sqrt{2{,}25-1{,}44}}{-0{,}6}\Rightarrow x_{1{,}2}=\dfrac{-1{,}5\pm 0{,}9}{-0{,}6}$

Damit folgt$\ x_1=1\$und$\ x_2 =4\ \hspace{26mm}\mathbb{L}=\{1;4\}$

$\ y_{A_n}=-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2$

Da die Punkte$\ \text{D}_\text{n}\$auch auf der Parabel$\ \text{p}$ liegen, aber eine um $3$ größere Abszisse als die Punkte$\ \text{A}_\text{n}$ haben gilt:

$\ y_{D_n}=-0{,}2\cdot(x+3)^2+0{,}8\cdot(x+3)+5{,}2\hspace{10mm}\text{x}\in\R;\ \text{x}\in\ ]-3{,}60;\ 8;60[$

$\ y_{D_n}=-0{,}2\cdot(x^2+6x+9)+0{,}8x+2{,}4+5{,}2$

$\ y_{D_n}=-0{,}2x^2-1{,}2x-1{,}8+0{,}8x+2{,}4+5{,}2$

$\ \boxed{\ y_{D_n}=-0{,}2x^2-0{,}4x+5{,}8}$

Im Trapez$\ \mathrm{A_5B_5C_5D_5}\$gilt:$\ \mathrm{y_{A_5}=y_{D_5}}$

$\ \mathrm{y_{A_5}}=-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2$

$\ \mathrm{y_{D_5}}=-0{,}2x^2-0{,}4x+5{,}8$

$-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2=-0{,}2x^2-0{,}4x+5{,}8\ \hspace{10mm}\text{x}\in\R;\ \text{x}\in\ ]-3{,}60;\ 8{,}60[$

$\hspace{25mm}1{,}2x=0{,}6$

$\hspace{30mm}x=0{,}5\hspace{38mm}\ \mathbb{L}=\{0{,}5\}$

Berechnung des Flächeninhaltes des Trapezes$\ \mathrm{A_5B_5C_5D_5}$

$\ \boxed{x=0{,}5}\$eingesetzt in:

$A(x)=-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3\ \Rightarrow A(0{,}5)=-0{,}3\cdot0{,}5^2+1{,}5\cdot0{,}5+15{,}3$

$\hspace{50mm}\ A(0{,}5)=-0{,}075+0{,}75+15{,}3\\\hspace{51mm}A(0{,}5)=15{,}975\$

Der Flächeninhalt des Trapezes $\mathrm{A_5B_5C_5D_5}\$beträgt: $\boxed{15{,}98\ \text{FE}}$

Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide$\ \text{ABCDS}$

Wenn du nicht mehr weißt, wie man Schrägbilder zeichnet,

dann schau dir noch einmal den Artikel Schrägbilder zeichnen

an.

Schrägbild der Pyramide$\ \text{ABCDS}$

Berechnung der Länge der Strecke$\ \text{[CS]}\ :$

$\ \overline{\text{CS}}=\sqrt{{\overline{\text{{MC}}}}^2+{\overline{\text{{MS}}}}^2}$ Satz des Pythagoras

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{(6\;\mathrm{cm)}^2+(8\;\mathrm{cm)}^2}$

$\overline{\text{CS}}=\sqrt{36\;\mathrm{cm}^2+64\;\mathrm{cm}^2}\ \Rightarrow\ \overline{\text{CS}}=\sqrt{100\;\mathrm{cm}^2}$

$\ \boxed{\overline{\text{CS}}=10\;\mathrm{cm}}$

Berechnung des Maßes des Winkels$\ \text{MSC}\ :$

$\ \tan\sphericalangle\ {\text{MSC}}=\dfrac{\overline{\text{MC}}}{\overline{\text{MS}}}\Rightarrow\tan\sphericalangle\ {\text{MSC}}=\dfrac{6}{8};\ \ \tan\sphericalangle\ {\text{MSC}}=0{,}75$

$\ \boxed{\sphericalangle\ {\text{MSC}}=36{,}87^\circ}$

Einzeichnen der Strecke$\ \textcolor{red}{[P_1T]}$

Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $\ \mathrm{TSP_1}$

$\ \mathrm{A_{TSP_1}}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{SP_1}\cdot\overline{ST}\cdot\sin\sphericalangle\mathrm{{MSC}}$

$\ \mathrm{A_{TSP_1}}=\dfrac{1}{2}\cdot(8-2)\cdot3\cdot\sin36{,}87°\;\text{cm}^2$

$\ \mathrm{A_{TSP_1}}=9\cdot0{,}6000\ \mathrm{cm^2}$

$\ \boxed{\mathrm{A_{TSP_1}}=5{,}40\ \mathrm{cm^2}}$

Berechnung Maß des Winkels$\ \mathrm{{TP_1S}}$ mit dem Sinussatz:

$\ \dfrac{\mathrm{\sin\sphericalangle{TP_1S}}}{\overline{\mathrm{ST}}}=\dfrac{\mathrm{\sin\sphericalangle{MSC}}}{\overline{\mathrm{P_1T}}}$

Berechne zuerst die Seite$\ \mathrm{P_1T}$ mit dem Kosinussatz

$\ \mathrm{\overline{{P_1T}}}=\sqrt{(8-2)^2+3^2-2\cdot(8-2)\cdot3\cdot\cos36{,}87^\circ}\ \mathrm{cm}$

$\ \mathrm{\overline{{P_1T}}}=\sqrt{36+9-36\cdot0{,}80}\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad \underline{\mathrm{\overline{{P_1T}}}=4{,}02\ \mathrm{cm}}$

Berechne jetzt den Winkel$\ \mathrm{{TP_1S}}$

$\ \dfrac{\mathrm{\sin\sphericalangle{TP_1S}}}{3\mathrm\ \mathrm{cm}}=\dfrac{\mathrm{\sin36{,}87^\circ}}{{\mathrm{4{,}02\ \mathrm{cm}}}}\Rightarrow\sin\sphericalangle{\mathrm{TP_1S}}=\dfrac{3\ \mathrm{cm}\cdot\sin36{,}87^\circ}{4{,}02\ \mathrm{cm}}$

$\ \boxed{\sphericalangle{\mathrm{TP_1S}}=26{,}60^\circ}$

Einzeichnen der Strecke$\ \mathrm{[P_2T]}$

Hinweis:$\ \overline{\mathrm{MP_2}}\ \widehat{=}\ \mathrm{x}$

Berechnen der Strecke$\ \mathrm{x}$

$\ \cos\sphericalangle\mathrm{MSC}=\dfrac{\overline{\mathrm{ST}}}{\mathrm{8-x}}\hspace{40mm}\mathrm{x}\in\R^+_0;[0;8[$

$\ \cos36{,}87^\circ=\dfrac{3}{\mathrm{8-x}}\ \Rightarrow\mathrm{x}=\ 8-\dfrac{3}{\cos36{,}87^\circ}$

$\hspace{35mm}\mathrm{x}=8-3{,}75$

$\hspace{34mm}\boxed{\mathrm{x}=4{,}25}\hspace{20mm}\mathbb{L}=\{4{,}25\}$

Einzeichnen der Pyramide$\ \mathrm{Q_1R_1ST}\$und der Höhe$\ \mathrm{[HT]}$

Berechnung von$\ \mathrm{\overline{Q_nR_n}}$ :

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{Q_nR_n}(x)}{\overline{BD}}}=\mathrm{\dfrac{\left(\overline{SP_n}-x\right)}{\overline{MS}}}\ \Rightarrow\ \mathrm{{\overline{Q_nR_n}}(x)}=\mathrm{\dfrac{\overline{BD}\cdot\left(\overline{SP_n}-x\right)}{\overline{MS}}}$

$\ \mathrm{{\overline{Q_nR_n}}(x)}=\mathrm{\dfrac{10\ cm\cdot\left(8-x\right)cm}{8\ cm}}$

$\ \mathrm{{\overline{Q_nR_n}}(x)}=(10-1{,}25x)\ \text{cm}$

Berechnung von$\ \mathrm{\overline{HT}}$:

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{HT}}{\overline{MC}}}=\mathrm{\dfrac{\overline{ST}}{\overline{SC}}}\Rightarrow\ \mathrm{\overline{HT}=\dfrac{\overline{MC}\cdot{\overline{ST}}}{\overline{SC}}}$

$\mathrm{\overline{HT}}=\mathrm{\dfrac{6\ cm\cdot{3\ cm}}{10\ cm}}$

$\ \mathrm{\overline{HT}}=1{,}8\ \text{cm}$

Volumen der Pyramide $\ \mathrm{Q_nR_nST}$ in Abhängigkeit von x :

$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\overline{Q_nR_n}\cdot\overline{SP_n}\cdot\overline{HT}}$

$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(10-1{,}25x)\ cm\cdot(8-x)\ cm\cdot1{,}8\ cm}$

$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{6}\cdot1{,}8\cdot(10-1{,}25x)\cdot(8-x)\ cm^3}$

$\ \mathrm{V(x)=0{,}3\cdot(10-1{,}25x)\cdot(8-x)\ cm^3}$

$\ \mathrm{V(x)=0{,}3\cdot(1{,}25x^2-20x+80)\ cm^3}$

$\boxed{\ \mathrm{V(x)=(0{,}375x^2-6x+24)\ cm^3}}$

$\ \mathrm{V(x)=(0{,}375x^2-6x+24)\ cm^3\qquad\qquad\ x}\in\ \mathbb{R_0^+};\ [0;8[$

Die Pyramide$\ \mathrm{Q_3R_3ST}\$hat das maximale Volumen$\ \boxed{\mathrm{{V_{max}}=24\ cm^3}}\$wenn$\ \mathrm{x=0}$ ist.