Setze den Punkt $P(-2|\mathrm{2,8})$ in die Gleichung der Parabel $p$ ein.

Setze den Punkt $Q(7|1)$ in die Gleichung der Parabel $p$ ein.

Setze $b=\mathrm{0,8}$ in die erste Gleichung ein.

Setze $b=\mathrm{0,8}$ und $c=\mathrm{5,2}$ in die Gleichung der Parabel $p$ ein.

$\Rightarrow y=-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}$

Einzeichnen der Trapeze$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$und$A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ in das Koordinatensystem.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes lautet:

$A_{\text{Trapez}}={\displaystyle \frac{\text{a}+\text{c}}{2}}\cdot \text{h}$

$\text{a}=\overline{{\text{A}}_{\text{n}}{\text{B}}_{\text{n}}}\text{c}=\overline{{\text{C}}_{\text{n}}{\text{D}}_{\text{n}}}\text{h}=3\text{LE}$

$\overline{{\text{A}}_{\text{n}}{\text{B}}_{\text{n}}}(x)=(-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}-(-\mathrm{0,2}x-1))\text{LE}x\in ℝ;x\in ]-\mathrm{3,60};\mathrm{8,60}[$

$\overline{{\text{A}}_{\text{n}}{\text{B}}_{\text{n}}}(x)=(-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}+\mathrm{0,2}x+1)\text{LE}$

$\overline{{\text{A}}_{\text{n}}{\text{B}}_{\text{n}}}(x)=(-\mathrm{0,2}{x}^2+x+\mathrm{6,2})\text{LE}$

$\overline{{\text{C}}_{\text{n}}{\text{D}}_{\text{n}}}=4\text{LE}$

$A(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-\mathrm{0,2}{x}^2+x+\mathrm{6,2}+4)\cdot 3\text{FE}x\in ℝ;x\in ]-\mathrm{3,60};\mathrm{8,60}[$

$\underline{\underline{A(x)=(-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3})\text{FE}}}$

Bestimmen des maximalen Flächeninhalts dieser Trapeze, sowie den zugehörigen Wert für x.

Siehe: Extremwertaufgabe mittels quadratischer Ergänzung lösen

$\underline{\text{1. Lösungsmöglichkeit:}}$

Umwandeln der Funktion$\text{A(x)}$in die Scheitelform

mithilfe der quadratischen Ergänzung.

$A(x)=(-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3})\text{FE}$

$A(x)=-\mathrm{0,3}\cdot (x^2-5x-51)\text{FE}$

$A(x)=-\mathrm{0,3}\cdot [x^2-5x+{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-51]\text{FE}$

$A(x)=-\mathrm{0,3}\cdot [{(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-51]\text{FE}$

$A(x)=-\mathrm{0,3}\cdot \left[\right(x-\mathrm{2,5}{)}^2-\mathrm{6,25}-51]\text{FE}$

$A(x)=(-\mathrm{0,3}\cdot (x-\mathrm{2,5}{)}^2+\mathrm{17,175})\text{FE}$

$S(\mathrm{2,5}|\mathrm{17,18})\Rightarrow$ für $x=\mathrm{2,5}$ ist ${\text{A}}_{\text{max}}=\mathrm{17,18}\text{FE}$

$\underline{\text{2. Lösungsmöglichkeit:}}$

Bestimmen des Scheitelpunktes mithilfe der Formel für den Scheitelpunkt.

Die Formel für den Scheitelpunkt lautet:

$S(-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}|c-{\displaystyle \frac{b^2}{4\cdot a}})$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{2\cdot (-\mathrm{0,3})}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{2,5}$

${\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=c-{\displaystyle \frac{b^2}{4\cdot a}}\Rightarrow {\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{15,3}-{\displaystyle \frac{(\mathrm{1,5}{)}^2}{4\cdot (-\mathrm{0,3})}}$

${\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{17,18}$

Für $\text{x=2,5}$hat das Trapez den maximalen Flächeninhalt:${\text{A}}_{\text{max}}=\mathrm{17,18}\text{FE}$

$\text{A(x)}=-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}$

$\mathrm{16,5}=-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}\text{x}\in ℝ;\text{x}\in ]-\mathrm{3,60};\mathrm{8,60}[$

$-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}=\mathrm{16,5}$

$-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}-\mathrm{16,5}=0$

$-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x-\mathrm{1,2}=0$

Löse die quadratische Gleichung entweder mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder der pq-Formel.

Hier erfolgt die Lösung mit der abc-Formel:

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,5}\pm \sqrt{\mathrm{2,25}-\mathrm{1,44}}}{-\mathrm{0,6}}}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,5}\pm \mathrm{0,9}}{-\mathrm{0,6}}}$

Damit folgt$x_1=1$und$x_2=4𝕃=\{1;4\}$

$y_{A_n}=-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}$

Da die Punkte${\text{D}}_{\text{n}}$auch auf der Parabel$\text{p}$ liegen, aber eine um $3$ größere Abszisse als die Punkte${\text{A}}_{\text{n}}$ haben gilt:

$y_{D_n}=-\mathrm{0,2}\cdot (x+3{)}^2+\mathrm{0,8}\cdot (x+3)+\mathrm{5,2}\text{x}\in ℝ;\text{x}\in ]-\mathrm{3,60};8;60[$

$y_{D_n}=-\mathrm{0,2}\cdot (x^2+6x+9)+\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,4}+\mathrm{5,2}$

$y_{D_n}=-\mathrm{0,2}{x}^2-\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,8}+\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,4}+\mathrm{5,2}$

$y_{D_n}=-\mathrm{0,2}{x}^2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{5,8}$

Im Trapez${\mathrm{A}}_5{\mathrm{B}}_5{\mathrm{C}}_5{\mathrm{D}}_5$gilt:${\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}_5}={\mathrm{y}}_{{\mathrm{D}}_5}$

${\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}_5}=-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}$

${\mathrm{y}}_{{\mathrm{D}}_5}=-\mathrm{0,2}{x}^2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{5,8}$

$-\mathrm{0,2}{x}^2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,2}=-\mathrm{0,2}{x}^2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{5,8}\text{x}\in ℝ;\text{x}\in ]-\mathrm{3,60};\mathrm{8,60}[$

$\mathrm{1,2}x=\mathrm{0,6}$

$x=\mathrm{0,5}𝕃=\{\mathrm{0,5}\}$

Berechnung des Flächeninhaltes des Trapezes${\mathrm{A}}_5{\mathrm{B}}_5{\mathrm{C}}_5{\mathrm{D}}_5$

$x=\mathrm{0,5}$eingesetzt in:

$A(x)=-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,3}\Rightarrow A(\mathrm{0,5})=-\mathrm{0,3}\cdot {\mathrm{0,5}}^2+\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{15,3}$

$\begin{array}{l}A(\mathrm{0,5})=-\mathrm{0,075}+\mathrm{0,75}+\mathrm{15,3}\\ A(\mathrm{0,5})=\mathrm{15,975}\end{array}$

Der Flächeninhalt des Trapezes ${\mathrm{A}}_5{\mathrm{B}}_5{\mathrm{C}}_5{\mathrm{D}}_5$beträgt: $\mathrm{15,98}\text{FE}$