Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B1

Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P (- 2 ∣ 2, 8)$ und $Q (7 ∣ 1)$ . Sie hat eine Gleichung der Form $y=-0{,}2x^2+bx+c$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ und $b,c\in\mathbb{R}$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = - 0, 2 x - 1$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $b$ und $c$ , dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2$ hat.

Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x\in[-4; 9]$ in ein Koordinatensystem ein. (4 P)

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ ; $-4\le x\le 9$ ; $-4 \le y \le 7$

Punkte $A_n(x|-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2)$ auf der Parabel $p$ und Punkte
$B_n(x|-0{,}2x-1)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Punkte $D_{n}$ liegen auch auf der Parabel $p$ und haben eine um drei größere Abszisse als die Punkte $A_{n}$ . Zusammen mit Punkten $C_{n}$ entstehen für $x\in]-3{,}60;8{,}60[$ Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} .$
Es gilt: $[A_nB_n]\Vert [C_nD_n]$ und $\overline{C_nD_n}=4\;\text{LE}$ .
Zeichnen Sie die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ in das Koordinatensystem zu 1) ein. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalte und Volumen im kartesischen Koordinatensystem
Einzeichnen der Trapeze $\ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\$ und $\ A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}\$ in das Koordinatensystem.
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Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A(x)=(-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3)\;\text{FE}$ .
Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt dieser Trapeze sowie den zugehörigen Wert für $x .$ (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalte und Volumen im kartesischen Koordinatensystem
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes lautet:
$\ A_{\text{Trapez}}=\dfrac{\text{a}+\text{c}}{2}\cdot \text{h}$
$\ \text{a}=\overline{\text{A}_{\text{n}}\text{B}_{\text{n}}}\qquad \text{c}=\overline{\text{C}_{\text{n}}\text{D}_{\text{n}}}\qquad \text{h}=3\ \text{LE}$
$\ \overline{\text{A}_{\text{n}}\text{B}_{\text{n}}}(x)=\left(-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2-(-0{,}2x-1)\right)\text{LE}\hspace{4mm} x\in\mathbb {R};x\in\ ]-3{,}60;8{,}60[$
$\ \overline{\text{A}_{\text{n}}\text{B}_{\text{n}}}(x)=(-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2+0{,}2x+1)\text{LE}$
$\ \boxed {\overline{\text{A}_{\text{n}}\text{B}_{\text{n}}}(x)=(-0{,}2x^2+x+6{,}2)\ \text{LE}}$
$\ \boxed {\overline{\text{C}_{\text{n}}\text{D}_{\text{n}}}=4\ \text{LE}}$
$\ A(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(-0{,}2x^2+x+6{,}2+4)\cdot3\ \text{FE}\hspace{4mm} x\in\mathbb {R};x\in\ ]-3{,}60;8{,}60[$
$\underline{\underline{\ A(x)=(-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3)\ \text{FE}}}$
Bestimmen des maximalen Flächeninhalts dieser Trapeze, sowie den zugehörigen Wert für x.
Siehe: Extremwertaufgabe mittels quadratischer Ergänzung lösen
$\ \underline{\text{1. Lösungsmöglichkeit:}}$
Umwandeln der Funktion $\ \text{A(x)}\$ in die Scheitelform
mithilfe der quadratischen Ergänzung.
$\ A(x)=(-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3)\ \text{FE}$
$\ A(x)=-0{,}3\cdot(x^2-5x-51)\ \text{FE}$
$\ A(x)=-0{,}3\cdot\Big[x^2-5x+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-51\Big]\ \text{FE}$
$\ A(x)=-0{,}3\cdot\Big[\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-51\Big]\ \text{FE}$
$\ A(x)=-0{,}3\cdot\Big[\Big(x-2{,}5\Big)^2-6{,}25-51\Big]\ \text{FE}$
$\ A(x)=\left(-0{,}3\cdot\Big(x-2{,}5\Big)^2+17{,}175\right)\ \text{FE}$
$S(2{,}5|17{,}18)\;\Rightarrow$ für $x = 2, 5$ ist $\text{A}_{\text{max}}=17{,}18\ \text{FE}$
$\ \underline{\text{2. Lösungsmöglichkeit:}}\$
Bestimmen des Scheitelpunktes mithilfe der Formel für den Scheitelpunkt.
Die Formel für den Scheitelpunkt lautet:
$S\left(-\dfrac b{2~\cdot~ a}\left|c-\dfrac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\right.\right)\$
$\mathrm{x_{s}}=-\dfrac b{2~\cdot~ a}\ \Rightarrow\ \mathrm{x_{s}}=-\dfrac {1{,}5}{2~\cdot~ (-0{,}3)}$
$\boxed{\mathrm{x_{s}}=2{,}5}$
$\mathrm{y_{s}}=c-\dfrac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\ \Rightarrow\ \mathrm{y_{s}}=15{,}3-\dfrac{(1{,}5)^2}{4 ~\cdot(-0{,}3)}\$
$\boxed{\mathrm{y_{s}}=17{,}18}\$
Für $\text{x=2{,}5}\$ hat das Trapez den maximalen Flächeninhalt: $\ \text{A}_{\text{max}}=17{,}18\ \text{FE}$
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Der Flächeninhalt der Trapeze $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ beträgt jeweils $16{,}5\;\text{FE}$ . Ermitteln Sie die zugehörigen Werte für x. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
$\text{A(x)}=-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3$
$\ 16{,}5=-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3\hspace{20mm}\text{x}\in\mathbb {R};\text{x}\in\ ]-3{,}60;8{,}60[$
$\ -0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3=16{,}5$
$\ -0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3-16{,}5=0$
$\ -0{,}3x^2+1{,}5x-1{,}2=0$
Löse die quadratische Gleichung entweder mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder der pq-Formel.
Hier erfolgt die Lösung mit der abc-Formel:
$\ x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x_{1{,}2}=\dfrac{-1{,}5\pm\sqrt{2{,}25-1{,}44}}{-0{,}6}\Rightarrow x_{1{,}2}=\dfrac{-1{,}5\pm 0{,}9}{-0{,}6}$
Damit folgt $\ x_1=1\$ und $\ x_2 =4\ \hspace{26mm}\mathbb{L}=\{1;4\}$
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Setze $\ \mathrm{A(x)=16{,}5}\$ und löse die quadratische Gleichung.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die y-Koordinate der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $y_{D_n}=-0{,}2x^2-0{,}4x+5{,}8$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
$\ y_{A_n}=-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2$
Da die Punkte $\ \text{D}_\text{n}\$ auch auf der Parabel $\ \text{p}$ liegen, aber eine um $3$ größere Abszisse als die Punkte $\ \text{A}_\text{n}$ haben gilt:
$\ y_{D_n}=-0{,}2\cdot(x+3)^2+0{,}8\cdot(x+3)+5{,}2\hspace{10mm}\text{x}\in\R;\ \text{x}\in\ ]-3{,}60;\ 8;60[$
$\ y_{D_n}=-0{,}2\cdot(x^2+6x+9)+0{,}8x+2{,}4+5{,}2$
$\ y_{D_n}=-0{,}2x^2-1{,}2x-1{,}8+0{,}8x+2{,}4+5{,}2$
$\ \boxed{\ y_{D_n}=-0{,}2x^2-0{,}4x+5{,}8}$
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Die Strecke $[A_{5} D_{5}]$ im Trapez $A_{5} B_{5} C_{5} D_{5}$ ist parallel zur x-Achse.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes. (3 P)
$[$ Zwischenergebnis: $x_{A_5}=0{,}5]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Im Trapez $\ \mathrm{A_5B_5C_5D_5}\$ gilt: $\ \mathrm{y_{A_5}=y_{D_5}}$
$\ \mathrm{y_{A_5}}=-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2$
$\ \mathrm{y_{D_5}}=-0{,}2x^2-0{,}4x+5{,}8$
$-0{,}2x^2+0{,}8x+5{,}2=-0{,}2x^2-0{,}4x+5{,}8\ \hspace{10mm}\text{x}\in\R;\ \text{x}\in\ ]-3{,}60;\ 8{,}60[$
$\hspace{25mm}1{,}2x=0{,}6$
$\hspace{30mm}x=0{,}5\hspace{38mm}\ \mathbb{L}=\{0{,}5\}$
Berechnung des Flächeninhaltes des Trapezes $\ \mathrm{A_5B_5C_5D_5}$
$\ \boxed{x=0{,}5}\$ eingesetzt in:
$A(x)=-0{,}3x^2+1{,}5x+15{,}3\ \Rightarrow A(0{,}5)=-0{,}3\cdot0{,}5^2+1{,}5\cdot0{,}5+15{,}3$
$\hspace{50mm}\ A(0{,}5)=-0{,}075+0{,}75+15{,}3\\\hspace{51mm}A(0{,}5)=15{,}975\$
Der Flächeninhalt des Trapezes $\mathrm{A_5B_5C_5D_5}\$ beträgt: $\boxed{15{,}98\ \text{FE}}$
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$\displaystyle 2{,}8$	$=$	$\displaystyle -0{,}2\cdot\left(-2\right)^2+b\cdot(-2)+c$
	↓	Rechne die Klammern aus.
$\displaystyle 2{,}8$	$=$	$\displaystyle -0{,}8-2b+c$
	↓	Löse auf nach $c .$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 3{,}6+2b$

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -0{,}2\cdot7^2+b\cdot 7+c$
	↓	Rechne aus.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -9{,}8+7b+c$
	↓	Setze $c$ aus der ersten Gleichung ein.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -9{,}8+7b+3{,}6+2b$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -6{,}2+9b$	$\displaystyle +6{,}2$
$\displaystyle 7{,}2$	$=$	$\displaystyle 9b$	$\displaystyle :9$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$

$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 3{,}6+2\cdot 0{,}8$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 5{,}2$

Aufgabe B1

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