Extremwertaufgabe mittels quadratischer Ergänzung lösen

Eine Extremwertaufgabe ist eine Problem- oder Fragestellung, bei der etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert, oder minimiert werden soll. Das heißt, man sucht den größten oder kleinsten Wert einer Funktion.

Möchte man eine Extremwertaufgabe mithilfe einer quadratischen Ergänzung lösen, braucht man immer eine quadratische Funktionsgleichung (Parabel).

Erklärung anhand einer Aufgabenstellung

Aufgabe

Der Bauer Peter hat ein großes Grundstück und möchte auf diesem ein Gehege für seine Ziegen aufstellen. Er hat in der Garage noch 40 Meter Maschendrahtzaun liegen und möchte mit diesem eine möglichst große Fläche für seine Tiere umzäunen.

Wie groß ist der maximale Flächeninhalt, den Peter mit seinem Zaun einschließen kann?

1. Funktion aufstellen, die die angegebene Problemstellung löst!

Um ein großes Gehege muss der Flächeninhalt der größtmögliche sein. Also überlegt man erst einmal, wie du eine Funktion aufstellen kannst, welche die Fläche ausrechnet. In diesem Fall hier wollen wir die Fläche eines Rechtecks ausrechnen mit den Seitenlängen a und b, deshalb kann man den Flächeninhalt $A$ über die Flächeninhaltsformel für Rechtecke ausrechnen: $A=a\cdot b$ .

Nun stellt sich die Frage, wie man daraus eine quadratische Funktion "basteln" kann. Dazu muss man eine der Variablen $a$ oder $b$ durch die andere ausdrücken. Hier in diesem Beispiel weiß man, dass es insgesamt 40 Meter Zaun gibt, das heißt der Umfang des Rechtecks beträgt 40 Meter, also $2\cdot a+2\cdot b=40$ .

Nun kann man nach $b$ auflösen:

Beschreibung	Berechnung
Man teilt die Gleichung durch $2$	$2\cdot a+2\cdot b=40$
Nun kann man nach $b$ auflösen. Wir bringen $a$ auf die andere Seite.	$a+b=20$
	$b=20-a$
Nun kann man die Flächenfunktion für a aufstellen:	$A=a\cdot b$ $A=a\cdot (20-a)$ $A=20\cdot a-a^2$

2. Extremwert bestimmen:

Da die Funktion $A$ eine Parabel ist, besitzt sie immer einen höchsten oder niedrigsten Punkt. In diesem Fall kann man schnell sehen, dass die Parabel einen höchsten Punkt hat, da sie nach unten geöffnet ist (wegen des Minus vor dem $a^2$ ).

Man weiß, dass der höchste oder niedrigste Punkt einer Parabel immer der Scheitelpunkt ist, man muss also diesen berechnen.

Den Scheitelpunkt berechnet man mithilfe der Scheitelform:

Beschreibung	Berechnung
Zuerst klammert man $-1$ aus.	$A= 20\cdot a - a^2$
Dann verwendet man die quadratische Ergänzung mit $10^2$ .	$A= -1 \cdot (a^2-20\cdot a)$
Nun stellt man die binomische Formel auf.	$A= -1 \cdot (a^2-20\cdot a+10^2-10^2)$
Am Schluss multipliziert man $-1$ wieder in die Klammer.	$A= -1 \cdot ((a-10)^2-10^2)$ $A= -(a-10)^2+100$

3. Lösung angeben:

Nun kann man den Scheitelpunkt $S$ direkt ablesen, und zwar:

$S(10|100)$

Die $x$ -Koordinate des Scheitels ist die gesuchte Seite $a$ des rechteckigen Geheges, aber Vorsicht, die $y$ -Koordinate ist nicht die Seite $b$ , weil die Funktion $A$ den Flächeninhalt berechnet, das heißt, die $y$ -Koordinate des Scheitels ist der größtmögliche Flächeninhalt des Geheges.

Möchte man nun also die Seite $b$ des Rechtecks berechnen, setzt man einfach die Seite $a$ in die Formel von oben ein und erhält:

$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 20-a$
	↓	$a$ einsetzen
	$=$	$\displaystyle 20-10$
	$=$	$\displaystyle 10$

Also bekommt man den größtmöglichen Flächeninhalt, wenn die Seite $a$ $10$ Meter lang ist und die Seite $b$ auch $10$ Meter lang ist.

MerkeQuadrat als besonderes Rechteck

Das Rechteck, welches mit einem bestimmten Umfang die größtmögliche Fläche einschließt, ist ein Quadrat.

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