Wahrscheinlichkeit für die Kugeln im Behälter:

Wird die "1" oder die "2" erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt

$\Rightarrow p_{gelb}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Bei den Zahlen "4" bis "6" wird eine schwarze Kugel gewählt:

$\Rightarrow p_{schwarz}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei schwarze Kugeln

Lösungsweg 1

$P(\text{mindestens zwei schwarze Kugeln })=P(\text{zwei schwarze Kugeln })+P(\text{drei schwarze Kugeln })$

Dabei ist: $P(\text{zwei schwarze Kugeln })=P(\text{ssg})+P(\text{sgs})+P(\text{gss})$

Für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten gilt:

$P(\text{ssg})=P(\text{sgs})=P(\text{gss})={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{27}}$

$P(\text{zwei schwarze Kugeln })=P(\text{ssg})+P(\text{sgs})+P(\text{gss})=3\cdot {\displaystyle \frac{4}{27}}={\displaystyle \frac{12}{27}}$

$P(\text{drei schwarze Kugeln })=P(\text{sss})={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{27}}$

$P(\text{mindestens zwei schwarze Kugeln })={\displaystyle \frac{12}{27}}+{\displaystyle \frac{8}{27}}={\displaystyle \frac{20}{27}}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, beträgt ${\displaystyle \frac{20}{27}}\approx \mathrm{0,7407}$.

Lösungsweg 2 (falls man einen Taschenrechner benutzen darf oder möchte)

$P(\text{mindestens zwei schwarze Kugeln })=P(X\ge 2)$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, beträgt ${\displaystyle \frac{20}{27}}\approx \mathrm{0,7407}$.

Wahrscheinlichkeit, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind

Fallunterscheidung

1. Fall

Im Behälter befinden sich $3$ schwarze Kugeln und es werden zwei Kugeln gezogen.

$P(\text{sss})={\displaystyle \frac{8}{27}}$ $\left(\text{siehe Aufgabe a)}\right)$

Wenn $3$ schwarze Kugeln im Behälter sind, dann wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $1$ eine schwarze Kugel gezogen und ebenfalls mit der Wahrscheinlichkeit $1$ eine weitere schwarze Kugel gezogen.

$\Rightarrow$$P_{sss}(\text{ss})={\displaystyle \frac{8}{27}}\cdot 1\cdot 1={\displaystyle \frac{8}{27}}$

2. Fall

Im Behälter befinden sich $2$ schwarze Kugeln und es werden zwei Kugeln gezogen.

$P(\text{ss})={\displaystyle \frac{12}{27}}\left(\text{siehe Aufgabe a)}\right)$

Wenn $2$ schwarze Kugeln im Behälter sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen gleich ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ und eine weitere schwarze zu ziehen gleich ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

$\Rightarrow$ $P_{ss}(\text{ss})={\displaystyle \frac{12}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{27}}$

Für die Wahrscheinlichkeit $P(\text{beide entnommenen Kugeln sind schwarz})$

gilt dann: $P(\text{ss})=P_{sss}(\text{ss})+P_{ss}(\text{ss})={\displaystyle \frac{8}{27}}+{\displaystyle \frac{4}{27}}={\displaystyle \frac{12}{27}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$.