Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Wahrscheinlichkeit für die Kugeln im Behälter:

Wird die "1" oder die "2" erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt

$\Rightarrow\;p_{gelb}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Bei den Zahlen "4" bis "6" wird eine schwarze Kugel gewählt:

$\Rightarrow\;p_{schwarz}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei schwarze Kugeln

Lösungsweg 1

$P(\text{mindestens zwei schwarze Kugeln })=P(\text{zwei schwarze Kugeln })+P(\text{drei schwarze Kugeln })$

Dabei ist: $P(\text{zwei schwarze Kugeln })=P(\text{ssg})+P(\text{sgs})+P(\text{gss})$

Für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten gilt:

$P(\text{ssg})=P(\text{sgs})=P(\text{gss})=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{27}$

$P(\text{zwei schwarze Kugeln })=P(\text{ssg})+P(\text{sgs})+P(\text{gss})=3\cdot \dfrac{4}{27}=\dfrac{12}{27}$

$P(\text{drei schwarze Kugeln })=P(\text{sss})=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}$

$P(\text{mindestens zwei schwarze Kugeln })=\dfrac{12}{27}+\dfrac{8}{27}=\dfrac{20}{27}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, beträgt $\dfrac{20}{27}\approx0{,}7407$.

Lösungsweg 2 (falls man einen Taschenrechner benutzen darf oder möchte)

$P(\text{mindestens zwei schwarze Kugeln })=P(X\geq2)$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, beträgt $\dfrac{20}{27}\approx0{,}7407$.

Wahrscheinlichkeit, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind

Fallunterscheidung

1. Fall

Im Behälter befinden sich $3$ schwarze Kugeln und es werden zwei Kugeln gezogen.

$P(\text{sss})=\dfrac{8}{27}$ $\left(\text{siehe Aufgabe a)}\right)$

Wenn $3$ schwarze Kugeln im Behälter sind, dann wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $1$ eine schwarze Kugel gezogen und ebenfalls mit der Wahrscheinlichkeit $1$ eine weitere schwarze Kugel gezogen.

$\Rightarrow\;$$P_{sss}(\text{ss})=\dfrac{8}{27}\cdot 1 \cdot 1=\dfrac{8}{27}$

2. Fall

Im Behälter befinden sich $2$ schwarze Kugeln und es werden zwei Kugeln gezogen.

$P(\text{ss})=\dfrac{12}{27} \left(\text{siehe Aufgabe a)}\right)$

Wenn $2$ schwarze Kugeln im Behälter sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen gleich $\dfrac{2}{3}$ und eine weitere schwarze zu ziehen gleich $\dfrac{1}{2}$.

$\Rightarrow\;$ $P_{ss}(\text{ss})=\dfrac{12}{27}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{27}$

Für die Wahrscheinlichkeit $P(\text{beide entnommenen Kugeln sind schwarz})$

gilt dann: $P(\text{ss})=P_{sss}(\text{ss})+P_{ss}(\text{ss})=\dfrac{8}{27}+\dfrac{4}{27}=\dfrac{12}{27}=\dfrac{4}{9}$.