Ereignis D: Verbrenner mit Dieselmotor

Der Tabelle entnimmt man, dass $4\; \%$ der PKWs einen Dieselmotor haben.

$\Rightarrow\;$ $p_\text{Diesel}=0{,}04$

Unter den $n=200$ ausgewählten Pkw befinden sich sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den $n=200$ ausgewählten PKWs sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor befinden, beträgt $28{,}42\;\%$.

Ereignis E: rein elektrischer Antrieb

Der Tabelle entnimmt man, dass $65\;\%$ der PKWs einen rein elektrischen Antrieb haben.$\;\Rightarrow\;$ $p_\text{rein elektrischer Antrieb}=0{,}65$

Unter den $n=200$ ausgewählten Pkw befinden sich mehr als $135$ mit rein elektrischem Antrieb.

Hinweis: Tafelwerk $n=200$, $k=135$ und $\displaystyle\sum_{i=0}^{k}B(n;p;i)$ liefert der Wert $0{,}79183$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den $n=200$ ausgewählten PKWs mehr als $135$ mit rein elektrischem Antrieb befinden, beträgt rund $20{,}82\;\%$.

Gegeben ist: $\displaystyle\sum_{k=0}^{25}\begin{pmatrix} 200 \\ k \end{pmatrix}\cdot 0{,}1^k\cdot (1-0{,}1)^{200-k}$

Aus der Summe kann die Wahrscheinlichkeit $p=0{,}1$ abgelesen werden. Betrachtet man die gegebene Tabelle, findet man zunächst kein Ereignis, dass die Wahrscheinlichkeit $p=0{,}1$ bzw. $p=10\;\%$ hat.

Für die PKW ohne Elektromotor gilt, dass sich die $3$ gegebenen Wahrscheinlichkeiten zu $10 \;\%$ summieren ($3 \;\%+4 \;\%+3 \;\%=10 \;\%$).

Also ist bei der gegebenen Summe von PKW ohne Elektromotor (Verbrenner) die Rede. Die Summe läuft von $k=0$ bis $k=25\;\Rightarrow\;P(X\leq 25)$

Unter $200$ PKW werden höchstens $25$ PKW ohne Elektromotor (Verbrenner) ausgewählt.

Erwartungswert

Für die Binomialverteilung ist der Erwartungswert $E(X)=n\cdot p.$

$p_\text{Elektromotor}=0{,}65+ 0{,}25=0{,}90$

$E(X)=200\cdot0{,}9=180$

Der Erwartungswert beträgt $180$.

Standardabweichung

Für die Binomialverteilung ist die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$

$\sigma=\sqrt{200\cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1}=\sqrt{18}\approx 4{,}24$

Die Standardabweichung beträgt rund $4{,}24$.

Für die Binomialverteilung ist die Varianz $V(X)=\sigma^2=n\cdot p\cdot (1-p).$

Berechnung der größten Varianz in Abhängigkeit von $p$.

Berechne $V'(p)$ und setze $V'(p)=0$.

$V(p)=n\cdot (p-p^2)\\V'(p)=n\cdot(1-2p)$

Setze $V'(p)=0$.

Überprüfung, ob es sich um ein Maximum handelt, erfolgt hier mit der zweiten Ableitung.

$V'(p)=n\cdot(1-2p)$

Da $n>0$ ist, ist $-2n<0$

Es handelt sich also um ein Maximum.

Unter den Zufallsgrößen hat diejenige mit $p=0{,}5$ die größte Varianz.

Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit $P_{\text{EM}}(\text{Hybrid})$:

$P_{\text{EM}}(\text{Hybrid})=\dfrac{0{,}25}{0{,}65+0{,}25}=\dfrac{5}{18}$

Von den neu zugelassenen Pkw mit Elektromotor werden $\text{n}=40$ Fahrzeuge zufällig ausgewählt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybriden befinden.

$P(X=10)=B(40; \frac{5}{18},10)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybriden befinden, beträgt rund $13{,}3\;\%$.