Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Ereignis D: Verbrenner mit Dieselmotor

Der Tabelle entnimmt man, dass $4\; \%$ der PKWs einen Dieselmotor haben.

$\Rightarrow\;$ $p_\text{Diesel}=0{,}04$

Unter den $n=200$ ausgewählten Pkw befinden sich sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den $n=200$ ausgewählten PKWs sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor befinden, beträgt $28{,}42\;\%$.

Ereignis E: rein elektrischer Antrieb

Der Tabelle entnimmt man, dass $65\;\%$ der PKWs einen rein elektrischen Antrieb haben.$\;\Rightarrow\;$ $p_\text{rein elektrischer Antrieb}=0{,}65$

Unter den $n=200$ ausgewählten Pkw befinden sich mehr als $135$ mit rein elektrischem Antrieb.

Hinweis: Tafelwerk $n=200$, $k=135$ und $\displaystyle\sum_{i=0}^{k}B(n;p;i)$ liefert der Wert $0{,}79183$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den $n=200$ ausgewählten PKWs mehr als $135$ mit rein elektrischem Antrieb befinden, beträgt rund $20{,}82\;\%$.

Gegeben ist: $\displaystyle\sum_{k=0}^{25}\begin{pmatrix} 200 \\ k \end{pmatrix}\cdot 0{,}1^k\cdot (1-0{,}1)^{200-k}$

Aus der Summe kann die Wahrscheinlichkeit $p=0{,}1$ abgelesen werden. Betrachtet man die gegebene Tabelle, findet man zunächst kein Ereignis, dass die Wahrscheinlichkeit $p=0{,}1$ bzw. $p=10\;\%$ hat.

Für die PKW ohne Elektromotor gilt, dass sich die $3$ gegebenen Wahrscheinlichkeiten zu $10 \;\%$ summieren ($3 \;\%+4 \;\%+3 \;\%=10 \;\%$).

Also ist bei der gegebenen Summe von PKW ohne Elektromotor (Verbrenner) die Rede. Die Summe läuft von $k=0$ bis $k=25\;\Rightarrow\;P(X\leq 25)$

Unter $200$ PKW werden höchstens $25$ PKW ohne Elektromotor (Verbrenner) ausgewählt.

Erwartungswert

Für die Binomialverteilung ist der Erwartungswert $E(X)=n\cdot p.$

$p_\text{Elektromotor}=0{,}65+ 0{,}25=0{,}90$

$E(X)=200\cdot0{,}9=180$

Der Erwartungswert beträgt $180$.

Standardabweichung

Für die Binomialverteilung ist die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$

$\sigma=\sqrt{200\cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1}=\sqrt{18}\approx 4{,}24$

Die Standardabweichung beträgt rund $4{,}24$.

Für die Binomialverteilung ist die Varianz $V(X)=\sigma^2=n\cdot p\cdot (1-p).$

Berechnung der größten Varianz in Abhängigkeit von $p$.

Berechne $V'(p)$ und setze $V'(p)=0$.

$V(p)=n\cdot (p-p^2)\\V'(p)=n\cdot(1-2p)$

Setze $V'(p)=0$.

Überprüfung, ob es sich um ein Maximum handelt, erfolgt hier mit der zweiten Ableitung.

$V'(p)=n\cdot(1-2p)$

Da $n>0$ ist, ist $-2n<0$

Es handelt sich also um ein Maximum.

Unter den Zufallsgrößen hat diejenige mit $p=0{,}5$ die größte Varianz.

Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit $P_{\text{EM}}(\text{Hybrid})$:

$P_{\text{EM}}(\text{Hybrid})=\dfrac{0{,}25}{0{,}65+0{,}25}=\dfrac{5}{18}$

Von den neu zugelassenen Pkw mit Elektromotor werden $\text{n}=40$ Fahrzeuge zufällig ausgewählt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybriden befinden.

$P(X=10)=B(40; \frac{5}{18},10)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybriden befinden, beträgt rund $13{,}3\;\%$.

Gesucht: Ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers arbeitet am Standort $B$ und besitzt kein Jobticket.

Abkürzungen:

B steht für den Standort "B"

J bedeutet "besitzt ein Jobticket".

$\overline{J}$ steht für "besitzt kein Jobticket".

Also ist $P(B\cap \overline{J})$ gesucht.

Hier kann eine Vierfeldertafel nützlich sein.

Aus der Aufgabenstellung entnimmt man:

"$60\;\%$ aller Beschäftigten des Autozulieferers haben sich für den Kauf eines Jobtickets entschieden."$\;\Rightarrow\;P(J)=0{,}6$ und $P(\overline{J})=1-0{,}6=0{,}4$

"Die Zahl der Beschäftigten am Standort $A$ ist viermal so groß wie am Standort $B$."

$A=4\cdot B$ und $A+B=1\;\Rightarrow\;4B+B=1$

$5B=1 \;\Rightarrow\;B=0{,}2$ und $A=1-B=0{,}8$

Also ist $P(A)=0{,}8$ und $P(B)=0{,}2$.

Der Anteil der Beschäftigten mit einem Jobticket ist an beiden Standorten gleich, und zwar $60\;\%$. $\Rightarrow\;P(B\cap {J})=0{,}6\cdot 0{,}2=0{,}12$

Dann ist P$(B\cap \overline{J})=P(B)-P(B\cap {J})=0{,}2 -0{,}12=0{,}08$.

Die restlichen Felder der Vierfeldertafel sind für diese Aufgabe nicht relevant.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers am Standort $B$ arbeitet und kein Jobticket besitzt, beträgt $0{,}08$.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers, der ein Jobticket besitzt, am Standort $A$ arbeitet.

Also ist $P_J(A)$ gesucht.

$P_J(A) =\dfrac{P(A\cap {J})}{P(J)}$

Auch hier hilft die Vierfeldertafel.

$P(J)=0{,}6$ ist bekannt, berechnet werden muss $P(A\cap {J})$.

Am Standort $B$ besitzt nur die Hälfte ($0{,}5$) der Beschäftigten ein Jobticket.

$\Rightarrow\;P(B\cap {J})=0{,}5\cdot 0{,}2=0{,}1$

Für $P(A\cap {J})$ folgt dann: $P(A\cap {J})=P(J)-P(B\cap {J})=0{,}6-0{,}1=0{,}5$.

Somit kann die Vierfeldertafel ausgefüllt werden (nur der Vollständigkeitshalber).

Nun kann $P_J(A) =\dfrac{P(A\cap {J})}{P(J)}$ berechnet werden:

$P_J(A) =\dfrac{0{,}5}{0{,}6}=\dfrac{5}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers, der ein Jobticket besitzt, am Standort $A$ arbeitet, beträgt $\dfrac{5}{6}$.