P(B) als Summe zweier Pfadwahrscheinlichkeiten

$P(B)P(B)$ ist ein zusammengesetztes Ereignis: Entweder Tritt A ein und dann auch B oder A tritt nicht ein und B trotzdem, also:

$P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)P(B)=P(A\backslash cap\; B)+P(\backslash overline\; A\backslash cap\; B)$

Pfadwahrscheinlichkeit mit 1. Pfadregel

Um die Wahrscheinlichkeiten $P(A\cap B)P(A\backslash cap\; B)$ beziehungsweise $P(\bar{A}\cap B)P(\backslash overline\; A\; \backslash cap\; B)$ zu berechnen, musst du die Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad multiplizieren:

$P(A\cap B)=0,2\cdot 0,4=0,08P(A\backslash cap\; B)=\; 0\{,\}2\backslash cdot\; 0\{,\}4=0\{,\}08$

und

$P(\bar{A}\cap B)=0,8\cdot pP(\backslash overline\; A\backslash cap\; B)=\; 0\{,\}8\backslash cdot\; p$

Gleichung lösen

Du weißt aus der Angabe, dass $P(B)=0,24P(B)=0\{,\}24$. Setze die Ergebnisse aus den vorherigen Schritten zusammen und du erhältst:

linke Seite der Gleichung

Der Term $0,8\cdot (1-p)0\{,\}8\backslash cdot\; (1-p)$ beschreibt, wie in der Aufgabenstellung bereits vorgegeben, das Ereignis $\bar{A}\cap \bar{B}\backslash overline\; A\; \backslash cap\; \backslash overline\; B$, also es darf weder A noch B eintreten.

Mit dem Exponenten $(\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}{)}^3(...)^3$ wird ausgedrückt, dass das Ereignis dreimal hintereinander bei drei Versuchen eintreten soll.

rechte Seite der Gleichung und Interpretation

Durch die 0,001 ist die Wahrscheinlichkeit vorgegebn, dass man bei dreimaligem Spielen immer gewinnt.

Mithilfe der Gleichung kann der Wert von p also so bestimmt werden, dass man bei dreimaligem Spielen theoretisch in 0,1% der Fällen jedes Mal gewinnt.