Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Das Drachenviereck $ABCD$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCDS$ . Die Spitze $S$ der Pyramide liegt senkrecht über dem Schnittpunkt $M$ der Diagonalen des Drachenvierecks $ABCD$ (siehe Skizze).

Es gilt: $\overline{AC}=10\;\text{cm};~\overline{BD}=8\;\text{cm};~\overline{AM}=3\;\text{cm};~\overline{MS}=9\;\text{cm}.$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;~\omega=45°$ .

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[SC]$ und das Maß des Winkels $\sphericalangle SCA$ .

$[$ Ergebnisse: $\overline{SC}=11{,}40\;\text{cm}$ und $\sphericalangle SCA=52{,}13°$ $]$

Teilaufgabe a

Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ :

$\overline{AC}=10\;\text{cm}$
$\overline{AM}=3\;\text{cm}$
$\overline{MS}=9\;\text{cm}$ und steht senkrecht auf $[AC]$

Die Grundfläche ist ein Drachenviereck, daher wissen wir, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Da $\omega=45°$ ist, zeichnen wir eine Gerade durch $M$ im Winkel von 45°
$[AC]$ ist die Symmetrieachse, daher sind $[BM] = [MD]= 4\;\text{cm}$ . In unserem Fall haben wir den Verkürzungsfaktor $q=\frac{1}{2}$ im Schrägbild, also ist $[BM] = [MD] = 2\;\text{cm}$ .

Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide miteinander.

Länge der Strecke $\overline{SC}$ im rechtwinkligen Dreieck $MCS$ mit dem Satz des Pythagoras:

$\overline{SC}^2=\overline{MC}^2+\overline{MS}^2$

$\overline{SC}=\sqrt{\overline{MC}^2+\overline{MS}^2}=\sqrt{\left(10\;\text{cm}\ -3\;\text{cm}\right)^2+\left(9\;\text{cm}\right)^2}=\left(\sqrt{130\;\text{cm}}\right)cm\approx11{,}40\;\text{cm}$

Maß des Winkels $\measuredangle SCA\left(\measuredangle SCA=\measuredangle SCM\right)$ :

Wir berechnen den Winkel $\measuredangle SCM$ im rechtwinkligen Dreieck $MCS$ (siehe Zeichnung oben) mithilfe der Trigonometrie:

$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\overline{MC}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCM\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{9\;\text{cm}}{\left(10-3\right)\;\text{cm}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCM\right)$	$=$	$\displaystyle 1,\overline{285714}$	$\displaystyle \tan^{-1}$
$\displaystyle \measuredangle SCM$	$≈$	$\displaystyle 52{,}13°$

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Auf der Strecke $[AS]$ liegt der Punkt $P$ mit $\overline{SP}=4\;\text{cm}$ . Punkte $Q_n$ auf der Seitenkante $[SC]$ bilden zusammen mit den Punkten $P$ und $S$ Dreiecke $PQ_nS$ .
Im Dreieck $PQ_1S$ gilt: $[PQ_1]\perp[SC]$ ; im Dreieck $PQ_2S$ gilt: $[PQ_2]\parallel[AC]$ .
Zeichnen Sie die Dreiecke $PQ_1S$ und $PQ_2S$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.
Teilaufgabe b
Zeichnung des Dreiecks $PQ_1S$ :
Der Punkt $P\in\left[AS\right]$ und $\overline{SP}=4\;\text{cm}$ (rot).
$\left[PQ_1\right]\perp\left[SC\right]$ : Wir können also ein Lot von Punkt $P$ auf die Seite $[SC]$ fällen (grün).
Der Schnittpunkt der Lotgeraden und der Seite $[SC]$ ist der Punkt $Q_1$ .
Zeichnung des Dreiecks $PQ_2S$ :
Da $\left[PQ_2\right]\parallel\left[AC\right]$ sein soll, zeichnen wir eine Parallele durch den Punkt $P$ zur Seite $[AC]$ (blau).
Der Schnittpunkt der Parallelen und der Seite $[SC]$ ist der Punkt $Q_2$ .
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Berechnen Sie die Länge der Strecke $[SQ_1]$ .

$[$ Teilergebnis: $\sphericalangle ASC=56{,}30°$ $]$

Teilaufgabe c

Länge der Strecke $[$ $SQ_1$ $]$ im rechtwinkligen Dreieck $PQ_1S$ (pink) mithilfe der Trigonometrie:

Da wir nur eine Seite in diesem Dreieck ( $[SP] = 4\;\text{cm}$ ) kennen, fehlt uns noch ein Winkel oder eine zweite Seite, um die gesuchte Seite $[SQ_1]$ berechnen zu können.

Der Winkel $\measuredangle PSQ_1=\measuredangle ASC$ (blau in der Abbildung unten):

Der Winkel liegt auch im Dreieck $ACS$ (Abbildung rechts), von dem wir bereits einen zweiten Winkel, den Winkel $\measuredangle SCM=\measuredangle SCA$ (grün) $= 52{,}13°$ kennen.

$\measuredangle CAS$ (rot) mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck $AMS$ :

$\tan\left(\measuredangle CAS\right)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{SM}}{\overline{AM}}$

$\tan\left(\measuredangle CAS\right)=\frac{9\text{cm}}{3\text{cm}}$ | $\cdot\tan^{-1}$

$\measuredangle CAS\approx71{,}57°$

$\measuredangle ASC$ (blau) können wir mit der Innenwinkelsumme im Dreieck $ACS$ berechnen:

$\measuredangle ASC=180°-52{,}13°-71{,}57°\approx56{,}30°$

Nun können wir endlich die Länge der Strecke $\overline{SQ_1}$ berechnen:

$\displaystyle \cos\left(\measuredangle ASC\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \cos\left(\measuredangle ASC\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{SQ_1}}{\overline{SP}}$
$\displaystyle \cos\left(56{,}30°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{SQ_1}}{4\;\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot4\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{SQ_1}$	$=$	$\displaystyle \cos\left(56{,}30°\right)\cdot4\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{SQ_1}$	$≈$	$\displaystyle 2{,}22\;\text{cm}$

Bemerkung: alternativ können wir auch im rechtwinkligen Dreieck $AMS$ den Wert von $\overline{AS}$ mit dem Satz des Pythagoras als $\sqrt{3^2+9^2}=\sqrt{90}$ berechnen. Dann verwenden wir den Sinussatz und erhalten den Sinus von $\measuredangle ASC$ durch Auflösen von

\displaystyle \frac{\sin \measuredangle ASC}{10}=\frac{\sin 52{,}15^°}{\sqrt{90}}

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Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $PQ_2S$ .

Teilaufgabe d

Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $PQ_2S$ :

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot\overline{SP}\cdot\overline{PQ_2}\cdot\sin\left(\measuredangle Q_2PS\right)$

Uns fehlt also die Strecke $\overline{PQ_2}$ und der Winkel $\measuredangle Q_2PS$ :

Winkel $\measuredangle Q_2PS$ :

Betrachten wir die Dreiecke $SPQ_2$ und $SAC$ , sehen wir, dass sie die gleiche Spitze haben, außerdem ist $\overline{PQ_2}\parallel\overline{AC}$ (zentrische Streckung), somit sind sie auch winkeltreu.

$\measuredangle Q_2PS=\measuredangle CAS=71{,}57°$ wie in Teilaufgabe c) berechnet.

Strecke $\overline{PQ}_2$ mit dem Sinussatz im Dreieck $SPQ_2$ :

$\displaystyle \frac{\overline{PS}}{\sin\left(\measuredangle SQ_2P\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{PQ_2}}{\sin\left(\measuredangle ASC\right)}$
$\displaystyle \frac{4\;\text{cm}}{\sin\left(52{,}13°\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{PQ_2}}{\sin\left(56{,}30°\right)}$	$\displaystyle \cdot\sin\left(56{,}30°\right)$
$\displaystyle \overline{PQ_2}$	$=$	$\displaystyle \frac{4\;\text{cm}\cdot\sin\left(56{,}30°\right)}{\sin\left(52{,}13°\right)}$
$\displaystyle \overline{PQ_2}$	$≈$	$\displaystyle 4{,}22\;\text{cm}$

Nun können wir die Fläche $A$ berechnen:

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot\overline{SP}\cdot\overline{PQ_2}\cdot\sin\left(\measuredangle Q_2PS\right)=\frac{1}{2}\cdot4\;\text{cm}\cdot4{,}22\;\text{cm}\cdot\sin\left(71{,}57°\right)\approx8{,}01\;\text{cm}^2$

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Im Dreieck $PQ_3S$ hat der Winkel $\sphericalangle Q_3PS$ das Maß $77°$ . Der Punkt $Q_3$ ist die Spitze der Pyramide $ABCDQ_3$ mit dem Höhenfußpunkt $F_3$ und der Höhe $[F_3Q_3]$ .

Zeichnen Sie die Pyramide $ABCDQ_3$ mit der Höhe $[F_3Q_3]$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[F_3Q_3]$ .

Teilaufgabe e

Zeichnung der Pyramide $ABCDQ_3$ :

$\measuredangle Q_3PS=77°$
Der Schnittpunkt mit der Seite $[SC]$ bildet die Spitze der Pyramide $ABCDQ_3$ .

Verbinde nun alle Eckpunkte miteinander.
Fälle jetzt das Lot von $Q_3$ auf die Diagonale auf $[AC]$ , der Schnittpunkt ist der Fußpunkt $F$ der Höhe der Pyramide.

Länge der Höhe [ $Q_3F_3$ ] der Pyramide $ABCDQ_3$ im rechtwinkligen Dreieck $F_3CQ_3$ mit der Trigonometrie:

$\sin\left(\measuredangle ACS\right)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\overline{Q_3F_3}}{\overline{Q_3Q}}$

Uns fehlt in dieser Formel die Seite $\overline{Q_3C}$ . Aber: $\overline{Q_3C}=\overline{SC}-\overline{SQ_3}$ .

Somit brauchen wir auch $\overline{SQ_3}$ im Dreieck $SPQ_3$ mit dem Sinussatz:

$\measuredangle SQ_3P=180°-\measuredangle ASC-\measuredangle SPQ_3=180°-56{,}30°-77°=46{,}70°$

$\displaystyle \frac{\overline{SP}}{\sin\left(\measuredangle SQ_3P\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{SQ_3}}{\sin\left(\measuredangle SPQ_3\right)}$
$\displaystyle \frac{4\;\text{cm}}{\sin\left(46{,}70°\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{SQ_3}}{\sin\left(77^°\right)}$	$\displaystyle \cdot\sin\left(77°\right)$
$\displaystyle \overline{SQ_3}$	$=$	$\displaystyle \frac{4\;\text{cm}\cdot\sin\ \left(77°\right)}{\sin\left(46{,}70°\right)}$
$\displaystyle \overline{SQ_3}$	$=$	$\displaystyle 5{,}36\;\text{cm}$

$\overline{Q_3C}=\overline{SC}-\overline{SQ_3}=11{,}40\;\text{cm}-5{,}36\;\text{cm}\approx6{,}04\;\text{cm}$

$\sin\left(\measuredangle SCA\right)=\frac{\overline{Q_3F_3}}{\overline{Q_3C}}$

$\sin\left(52{,}13°\right)=\frac{\overline{Q_3F_3}}{6{,}04\;\text{cm}}$

$\overline{Q_3F_{3_{ }}}=6{,}04\;\text{cm}\cdot\sin\left(52{,}13°\right)\approx4{,}77\;\text{cm}$

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Berechnen Sie das Volumen der Pyramiden $ABCDQ_n$ in Abhängigkeit von der Länge der Strecke $[SQ_n]$ mit $\overline{SQ_n}(x)=x\;\text{cm}$ und $x\in\mathbb{R}$ ; $x\in\;]0;11{,}40[.$

$\displaystyle \sin\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{Q_nF_n}}{\overline{Q_3C}}$
$\displaystyle \sin\left(52{,}13°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{Q_nF_n}}{11{,}40\;\text{cm}-x}$
$\displaystyle \overline{Q_nF_n}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(52{,}13°\right)\left(11{,}40\;\text{cm}-x\right)$
$\displaystyle \overline{Q_nF_n}$	$=$	$\displaystyle 9{,}00\;\text{cm}-\sin\left(52{,}13°\right)\cdot x$
$\displaystyle \overline{Q_nF_n}$	$=$	$\displaystyle 9{,}00\;\text{cm}-0{,}79x$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe e

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Teilaufgabe f

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