1Einführendes Beispiel

Wenn du das berechnen möchtest, könntest du so vorgehen:

Nach einem Jahr verschwinden $10\mathrm{\%}10\backslash \%$ der Dämpfung, also bleiben noch $90\mathrm{\%}90\backslash \%$.

Nach dem nächsten Jahr bleiben noch $90\mathrm{\%}90\backslash \%$ von $90\mathrm{\%}90\backslash \%$.

Jetzt siehst du. dass du besser statt $90\mathrm{\%}90\backslash \%$ mit $\mathrm{0,9}0\{,\}9$ rechnest, dann ist der Anteil der ursprünglichen Dämpfung $\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,81}0\{,\}9\backslash cdot\; 0\{,\}9=0\{,\}81$.

Nach dem dritten Jahr bleibt $\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9}=(\mathrm{0,9}{)}^3=\mathrm{0,721}0\{,\}9\backslash cdot0\{,\}9\backslash cdot0\{,\}9=(0\{,\}9)^3=0\{,\}721$ übrig.

Das kannst du so weitermachen, bis du unter $\frac{1}{3}=0,\bar{3}\backslash frac\{1\}\{3\}=0,\backslash overline\{3\}$ bist.

Ganz schön langweilig, was?

Besser geht es so:

Du siehst, dass du nach $nn$ Jahren noch eine Dämpfung von ${\mathrm{0,9}}^{n}0\{,\}9^n$ hast.

Die Frage ist:

Für welches $nn$ ist erstmals ?

Du musst also eine Gleichung nach dem Exponenten auflösen.

In diesem Kurs lernst du, wie du aus der Gleichung

die Lösung $n=\mathrm{10,427}\dots n=10\{,\}427\backslash ldots$ bekommst.

Die Dämpfung ist also nach $1111$ Jahren erstmals kleiner als ein Drittel der ursprünglichen.

Quellen

Wikimedia commons https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Platform_trainer_Buffalo_white-blue.jpg