1Einführendes Beispiel

Sportschuhe verlieren im Lauf eines Jahres $10 %$ ihrer Dämpfungsfähigkeit.

Wann ist die Dämpfung nur noch ein Drittel so groß wie zu Anfang?

(Schätz mal, ehe du weiterliest!)

Nach einem Jahr verschwinden $10 %$ der Dämpfung, also bleiben noch $90 %$ .

Nach dem nächsten Jahr bleiben noch $90 %$ von $90 %$ .

Jetzt siehst du. dass du besser statt $90 %$ mit $0,9$ rechnest, dann ist der Anteil der ursprünglichen Dämpfung $0{,}9\cdot 0{,}9=0{,}81$ .

Nach dem dritten Jahr bleibt $0{,}9\cdot0{,}9\cdot0{,}9=(0{,}9)^3=0{,}721$ übrig.

Das kannst du so weitermachen, bis du unter $\frac{1}{3}=0,\overline{3}$ bist.

Ganz schön langweilig, was?

Du siehst, dass du nach $n$ Jahren noch eine Dämpfung von $0{,}9^n$ hast.

Die Frage ist:

Für welches $n$ ist erstmals $0{,}9^n<\frac{1}{3}$ ?

Du musst also eine Gleichung nach dem Exponenten auflösen.

In diesem Kurs lernst du, wie du aus der Gleichung

\displaystyle 0{,}9^n=\frac{1}{3}

die Lösung $n=10{,}427\ldots$ bekommst.

Die Dämpfung ist also nach $11$ Jahren erstmals kleiner als ein Drittel der ursprünglichen.

Quellen

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?