geg.: 4 Exponentialfunktionen, Graph der gezeichneten Funktion schneidet die $y$-Achse bei $−1$.

ges.: Zuordnung $f_1(x)$ zu einem der $4$ angegebenen Graphen

Ansatz und Rechnung:

Überprüfung der 4 Exponentialfunktionen mit $x=0$ :

1. $y=10^0 +2$ $\Rightarrow$ $y=1+2=3$

2. $y=10^0-2$ $\Rightarrow$ $y=1-2=-1$

3 $y=10^{0+2}$ $\Rightarrow$ $y=10^0\cdot10^2=1\cdot100=100$

4. $y=10^{0-2}$ $\Rightarrow$ $y=10^0\cdot10^{-2}=1\cdot0{,}01=0{,}01$

$\Rightarrow$ Graph der Exponentialfunktion Nr. 2: $y=10^x-2$ schneidet die y-Achse bei $\mathbf{-1}$

$\Rightarrow$ Horizontale Asymptote ist $y=-2$

Ergo: Der gezeichnete Graph kann der Funktionsgleichung Nr. 2 zugeordnet werden:

Lösung mit Graphiktool:

Graphen gezeichnet mit https://www.mathway.com

geg.: Exponentialfunktion $f_1(x): y=10^x-2$

ges.: Umkehrfunktion von $f_1$; Kennzeichnung der Schnittpunkte von $f_1$ mit $f_2$

Hinweis: Graph $f_2$ muss nicht eingezeichnet werden!

Ansatz und Rechnung:

NB: Ist $y = f(x)$, so schreibt man auch $x = f^{−1}(y)$.

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion $f^{−1}$ durch Spiegelung an der Diagonalen $y = x$.

$\Rightarrow$ $y=x$ schneidet $f_1$ in den mit „blauem Asterix“ markierten Punkten!

Dies sind auch die Schnittpunkte von $f_1$ und $f_2:$

Schnittpunkte von $f_1$ und $f_2$:

Berechnung der Umkehrfunktion $f_2(x)$:

1. Ersetze $x$ durch $y$:

$\Rightarrow$ $x=10^y-2\qquad$

2. $x=10^y-2\qquad$ |löse nach $y$ auf

$\Rightarrow x+2=10^y\qquad$|log( )

$\Rightarrow$ $\log⁡(x+2)=y\cdot \log(10)\quad$|löse nach $y$ auf

$\Rightarrow$ $\mathbf{y}=\dfrac {\log⁡(x+2)}{\log(10)}=\dfrac {\log⁡(x+2)}{1}=\mathbf{\log⁡(x+2)}$

$\Rightarrow \bold {f_2(x)={\log(x+2)}}$

Graphik gezeichnet mit https://www.geogebra.org/graphing...