geg.: 4 Exponentialfunktionen, Graph der gezeichneten Funktion schneidet die $yy$-Achse bei $-1-1$.

ges.: Zuordnung $f_1(x)f\_1(x)$ zu einem der $44$ angegebenen Graphen

Ansatz und Rechnung:

Überprüfung der 4 Exponentialfunktionen mit $x=0x=0$ :

1. $y={10}^0+2y=10^0\; +2$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $y=1+2=3y=1+2=3$

2. $y={10}^0-2y=10^0-2$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $y=1-2=-1y=1-2=-1$

3 $y={10}^{0+2}y=10^\{0+2\}$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $y={10}^0\cdot {10}^2=1\cdot 100=100y=10^0\backslash cdot10^2=1\backslash cdot100=100$

4. $y={10}^{0-2}y=10^\{0-2\}$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $y={10}^0\cdot {10}^{-2}=1\cdot \mathrm{0,01}=\mathrm{0,01}y=10^0\backslash cdot10^\{-2\}=1\backslash cdot0\{,\}01=0\{,\}01$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Graph der Exponentialfunktion Nr. 2: $y={10}^x-2y=10^x-2$ schneidet die y-Achse bei $-\mathbf{1}\backslash mathbf\{-1\}$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Horizontale Asymptote ist $y=-2y=-2$

Ergo: Der gezeichnete Graph kann der Funktionsgleichung Nr. 2 zugeordnet werden:

Lösung mit Graphiktool:

Graphen gezeichnet mit https://www.mathway.com

geg.: Exponentialfunktion $f_1(x):y={10}^x-2f\_1(x):\; y=10^x-2$

ges.: Umkehrfunktion von $f_{1}f\_1$; Kennzeichnung der Schnittpunkte von $f_{1}f\_1$ mit $f_{2}f\_2$

Hinweis: Graph $f_{2}f\_2$ muss nicht eingezeichnet werden!

Ansatz und Rechnung:

NB: Ist $y=f(x)y\; =\; f(x)$, so schreibt man auch $x=f^{-1}(y)x\; =\; f^\{-1\}(y)$.

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion $f^{-1}f^\{-1\}$ durch Spiegelung an der Diagonalen $y=xy\; =\; x$.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $y=xy=x$ schneidet $f_{1}f\_1$ in den mit „blauem Asterix“ markierten Punkten!

Dies sind auch die Schnittpunkte von $f_{1}f\_1$ und $f_2:f\_2:$

Schnittpunkte von $f_{1}f\_1$ und $f_{2}f\_2$:

Berechnung der Umkehrfunktion $f_2(x)f\_2(x)$:

1. Ersetze $xx$ durch $yy$:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $x={10}^y-2x=10^y-2\backslash qquad$

2. $x={10}^y-2x=10^y-2\backslash qquad$ |löse nach $yy$ auf

$\Rightarrow x+2={10}^y\backslash Rightarrow\; x+2=10^y\backslash qquad$|log( )

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $\log \text{⁡}(x+2)=y\cdot \log (10)\backslash log(x+2)=y\backslash cdot\; \backslash log(10)\backslash quad$|löse nach $yy$ auf

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $\mathbf{y}={\displaystyle \frac{\log \text{⁡}(x+2)}{\log (10)}}={\displaystyle \frac{\log \text{⁡}(x+2)}{1}}=\log \mathbf{\text{⁡}}(\mathbf{x}+\mathbf{2})\backslash mathbf\{y\}=\backslash dfrac\; \{\backslash log(x+2)\}\{\backslash log(10)\}=\backslash dfrac\; \{\backslash log(x+2)\}\{1\}=\backslash mathbf\{\backslash log(x+2)\}$

$\Rightarrow {\mathbf{f}}_{\mathbf{2}}(\mathbf{x})=\log (\mathbf{x}+\mathbf{2})\backslash Rightarrow\; \backslash bold\; \{f\_2(x)=\{\backslash log(x+2)\}\}$

Graphik gezeichnet mit https://www.geogebra.org/graphing...