Nachtermin Teil A

geg.: Pyramide ABCS mit rechtwinkligem ⊿$ABC$ als Grundfläche und mit Höhe $\overline{AS}$=7 cm; $\overline{AB}=5\:cm$, $\overline{BC}=12\:cm$, $\overline{AS}=7\:cm$,

ges.: Schrägbild der Pyramide mit Schrägbildachse $\overline{AB}$, Punkt A links von B, $q=\frac{1}{3}$ und $ω=30°$

Zeichnung:

geg.: rechtwinkige Dreiecksgrundfläche $ABC$, mit $\overline{AB}=5\:cm$, $\overline{BC}=12\:cm$ und $\angle {CBA}=90°$

ges.: Streckenlänge der Hypothenuse $\overline{AC}$

Ansatz und Rechnung:

$|\overline {AC}|^2=|\overline {AB}|^2 +|\overline {BC}|^2$

$\rightarrow|\overline {AC}|=\sqrt{|\overline {AB}|^2 +|\overline {BC}|^2}$

$\rightarrow|\overline {AC}|=\sqrt{5^2 + 12^2}$

$\rightarrow|\overline {AC}|=\sqrt{25 +144}$

$\rightarrow|\overline {AC}|=\sqrt{169}$

$\Rightarrow \mathbf{|\overline {AC}|=13\:cm}$

geg.: 4 Exponentialfunktionen, Graph der gezeichneten Funktion schneidet die $y$-Achse bei $−1$.

ges.: Zuordnung $f_1(x)$ zu einem der $4$ angegebenen Graphen

Ansatz und Rechnung:

Überprüfung der 4 Exponentialfunktionen mit $x=0$ :

1. $y=10^0 +2$ $\Rightarrow$ $y=1+2=3$

2. $y=10^0-2$ $\Rightarrow$ $y=1-2=-1$

3 $y=10^{0+2}$ $\Rightarrow$ $y=10^0\cdot10^2=1\cdot100=100$

4. $y=10^{0-2}$ $\Rightarrow$ $y=10^0\cdot10^{-2}=1\cdot0{,}01=0{,}01$

$\Rightarrow$ Graph der Exponentialfunktion Nr. 2: $y=10^x-2$ schneidet die y-Achse bei $\mathbf{-1}$

$\Rightarrow$ Horizontale Asymptote ist $y=-2$

Ergo: Der gezeichnete Graph kann der Funktionsgleichung Nr. 2 zugeordnet werden:

Lösung mit Graphiktool:

Graphen gezeichnet mit https://www.mathway.com

geg.: Exponentialfunktion $f_1(x): y=10^x-2$

ges.: Umkehrfunktion von $f_1$; Kennzeichnung der Schnittpunkte von $f_1$ mit $f_2$

Hinweis: Graph $f_2$ muss nicht eingezeichnet werden!

Ansatz und Rechnung:

NB: Ist $y = f(x)$, so schreibt man auch $x = f^{−1}(y)$.

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion $f^{−1}$ durch Spiegelung an der Diagonalen $y = x$.

$\Rightarrow$ $y=x$ schneidet $f_1$ in den mit „blauem Asterix“ markierten Punkten!

Dies sind auch die Schnittpunkte von $f_1$ und $f_2:$

Schnittpunkte von $f_1$ und $f_2$:

Berechnung der Umkehrfunktion $f_2(x)$:

1. Ersetze $x$ durch $y$:

$\Rightarrow$ $x=10^y-2\qquad$

2. $x=10^y-2\qquad$ |löse nach $y$ auf

$\Rightarrow x+2=10^y\qquad$|log( )

$\Rightarrow$ $\log⁡(x+2)=y\cdot \log(10)\quad$|löse nach $y$ auf

$\Rightarrow$ $\mathbf{y}=\dfrac {\log⁡(x+2)}{\log(10)}=\dfrac {\log⁡(x+2)}{1}=\mathbf{\log⁡(x+2)}$

$\Rightarrow \bold {f_2(x)={\log(x+2)}}$

Graphik gezeichnet mit https://www.geogebra.org/graphing...

geg.: Karten mit den Zahlen Zahlen $8, 9, 10$ jeweils von Eichel, Blatt, Herz, Schellen

ges.: Ereignisraum $\textbf{Ω}$ und Wahrscheinlichkeit für Herz 8: $P{(Herz\: 8)}$

Ansatz & Rechnung

1. Berechnung Ereignisraum $\textbf{Ω}$:

$4$ Karten (Eichel, Gras, Herz, Schellen) pro Zahlen $8{,}9,10$:

$\Rightarrow$ $\mathbf{Ω=4\cdot 3=12}$ Ereignisse

2. Berechnung Wahrscheinlichkeit für Herz 8.

Da jede Karte mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird, ist diese Experiment ein Laplace-Experiment. Berechne also:

$P{(Herz\: 8)}=\dfrac{\text{günstige Ereignisse}}{\text{\text{mögliche Ereignisse}}}=\dfrac{1}{12}$

ges.:

1. Wahrscheinlichkeiten wenn 1 Karte gezogen wurde

2. Baumdiagramm

Ansatz und Rechnung:

Fiona zieht 1 Karte $\Rightarrow$ Viktor kann dann nur noch aus $11$ Karten ziehen:

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten:

Ansatz & Rechnung

Viktor gewinnt, wenn er Karte mit dem höheren Zahlenwert zieht:

$P=\underbrace{\frac{4}{12}\cdot\frac{4}{11}}_{\text{Fiona zieht 8 und Viktor 9}}+\underbrace{\frac{4}{12}\cdot\frac{4}{11}}_{\text{Fiona zieht 8 und Viktor 10}}+\underbrace{\frac{4}{12}\cdot\frac{4}{11}}_{\text{Fiona zieht 9 und Viktor 10}}$

$P=\frac{16}{132}+\frac{16}{132}+\frac{16}{132}$

$P=\frac{48}{132}=\frac{12}{33}=0{,}3636$

$\mathbf{P\thickapprox 36{,}36\%}$

geg.: Fiona zieht Karte mit Zahl $10$

ges.: Wahrscheinlichkeit, dass Fiona trotzdem nicht gewinnt

Fiona gewinnt, wenn sie die höhere Karte hat. Sollte Viktor aber auch eine $10$ ziehen, gewinnt sie nicht.

Nach Analyse Baumdiagramm (aus Aufgabe A 3b) $\Rightarrow \mathbf{P(\text{"Viktor zieht auch eine 10"})=\frac{3}{11}}$

$\Rightarrow$d.h. zweiten Wert ankreuzen: