Teilaufgabe c

Diese Aufgabe löst du am besten durch Berechnung des Winkels $\measuredangle \mathrm{ACP}$ und danach durch Anwendung der Verhältnisse von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck.

Den Winkel $\measuredangle \mathrm{ACP}$ erhältst du durch $\measuredangle \mathrm{ACP}=\measuredangle \mathrm{SCB}-\measuredangle \mathrm{ACB}$.

Dafür benötigst du $\measuredangle \mathrm{SCB}$. Diesen Winkel erhältst du durch den Sinussatz.

Unter Anwendung des Sinussatzes erhältst du:

${\displaystyle \frac{\sin (\measuredangle \mathrm{SCB})}{\overline{BS}}}={\displaystyle \frac{\sin (\measuredangle \mathrm{CBS})}{\overline{SC}}}$

und mit den eingesetzten Werten

${\displaystyle \frac{\sin (\measuredangle \mathrm{SCB})}{353\mathrm{m}}}={\displaystyle \frac{\sin (38°)}{356\mathrm{m}}}$

und damit ergibt sich

$\sin (\measuredangle \mathrm{SCB})={\displaystyle \frac{\sin (38°)}{356\mathrm{m}}}\cdot 353\mathrm{m}$

ausgerechnet und nach dem Winkel umgeformt, (Anwendung von ${\sin }^{-1}$) erhältst du dann 

$\measuredangle \mathrm{SCB}=\mathrm{37,62}°.$

Mithilfe von $\measuredangle \mathrm{SCB}$ und dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck erhältst du in dem Dreieck $\mathrm{\Delta }\mathrm{ACP}$ folgenden Ansatz:

$\sin (\measuredangle \mathrm{PCA})={\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{AC}}}.$

Dieser Ansatz basiert darauf, dass der kürzeste Weg der Strecke $\overline{AP}$ die senkrechte Verbindung von $A$ zur Strecke $\overline{SC}$ darstellt. Dies bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck $\mathrm{\Delta }\mathrm{ACP}$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und du das Seitenverhältnis mit dem Sinus anwenden kannst.

Dabei ist $\measuredangle \mathrm{PCA}=\measuredangle \mathrm{ACP}=\measuredangle \mathrm{SCB}-\measuredangle \mathrm{ACB}=\mathrm{37,52}°-16°=\mathrm{21,62}°$.

Umgeformt erhältst du mit dem Ansatz 

$\overline{AP}=\sin (\mathrm{21,62}°)\cdot 635\mathrm{m}$

also $\overline{AP}=234\mathrm{m}.$

Teilaufgabe a

Diese Aufgabe kannst du mit Hilfe des Kosinussatzes lösen.

Betrachte das Dreieck $\mathrm{\Delta }\mathrm{ABC}$.

Die Seite $\overline{\mathrm{BC}}$ liegt dem Winkel $\measuredangle \mathrm{BAC}$ gegenüber. Laut Kosinussatz gilt daher:

${\overline{\mathrm{BC}}}^2={\overline{\mathrm{AB}}}^2+{\overline{\mathrm{AC}}}^2-2\cdot \overline{\mathrm{AB}}\cdot \overline{\mathrm{AC}}\cdot \cos \measuredangle \mathrm{BAC}$

Wenn du die Zahlenwerte einsetzt, heißt das:

${\overline{\mathrm{BC}}}^2=(182\mathrm{m}{)}^2+(635\mathrm{m}{)}^2-2\cdot (182\mathrm{m})\cdot (635\mathrm{m})\cdot \cos 58°$

Daraus erhältst du $\overline{\mathrm{BC}}$ ganz einfach durch Wurzelziehen und Ausrechnen mit dem Taschenrechner:

$\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm{BC}}& =& \sqrt{(182\mathrm{m}{)}^2+(635\mathrm{m}{)}^2-2\cdot (182\mathrm{m})\cdot (635\mathrm{m})\cdot \cos 58°}\\ & =& \sqrt{33124{\mathrm{m}}^2+403225{\mathrm{m}}^2-(231140\cdot \cos 58°){\mathrm{m}}^2}\\ & =& \sqrt{(436349-231140\cdot \cos 58°){\mathrm{m}}^2}\\ & \approx & \sqrt{\mathrm{313863,461265}{\mathrm{m}}^2}\\ & \approx & 560\mathrm{m}\end{array}$

Teilaufgabe b

Auch diese Aufgabe kannst du mithilfe des Kosinussatzes lösen.

Davor rechnest du aber am besten noch die Winkel $\measuredangle \mathrm{CBA}$und $\measuredangle \mathrm{CBS}$ aus.

$\measuredangle \mathrm{CBA}$ erhältst du durch die Winkelsumme in Dreiecken, indem du ausnutzt, dass

$180°=\measuredangle \mathrm{CBA}+\measuredangle \mathrm{BAC}+\measuredangle \mathrm{ACB}$

Umgeformt erhältst du 

$\measuredangle \mathrm{CBA}=180°-\measuredangle \mathrm{BAC}-\measuredangle {\mathrm{ACB}}^{}$

und damit

$\measuredangle \mathrm{CBA}=180°-58°-16°$

also:

$\measuredangle \mathrm{CBA}=106°$

Wegen $\measuredangle \mathrm{CBA}=\measuredangle \mathrm{CBS}+\measuredangle \mathrm{SBA}$ erhältst du $\measuredangle \mathrm{CBS}$ durch

$\measuredangle \mathrm{CBS}=\measuredangle \mathrm{CBA}-\measuredangle \mathrm{SBA}$

Damit ergibt sich, 

$\measuredangle \mathrm{CBS}=106°-68°$

also $\measuredangle \mathrm{CBS}=38°$.

Mit dem Winkel $\measuredangle \mathrm{CBS}$ kannst du den Kosinussatz anwenden, um $\overline{\mathrm{SC}}$ zu bestimmen:

$\overline{\mathrm{SC}}=\sqrt{{\overline{\mathrm{BS}}}^2+{\overline{\mathrm{BC}}}^2-2\cdot \overline{\mathrm{BS}}\cdot \overline{\mathrm{BC}}\cdot \cos (\measuredangle \mathrm{CBS})}$

$\overline{\mathrm{SC}}=\sqrt{{(353\mathrm{m})}^2+{(560\mathrm{m})}^2-2\cdot 353\mathrm{m}\cdot 560\mathrm{m}\cdot \cos (38°)}$

und damit erhältst du $\overline{\mathrm{SC}}=356\mathrm{m}.$