Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Skizze zeigt den Grundriss eines Hafenbeckens. Ein Schiff befindet sich an der Position $S$ .
Es gilt:
$\sphericalangle BAC=58^\circ;~\sphericalangle ACB=16^\circ;~\sphericalangle SBA=68^\circ;~\overline{AB}=182~\text{m};~\overline{AC}=635~\text{m};~\overline{BS}=353~\text{m}$
Runden Sie im Folgenden auf ganze Meter.
1. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[BC]$ . $[$ Ergebnis: $\overline{BC}=560~\text{m}]$
  
  Teilaufgabe c
  Diese Aufgabe löst du am besten durch Berechnung des Winkels $\measuredangle\mathrm{ACP}$ und danach durch Anwendung der Verhältnisse von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck.
  Den Winkel $\measuredangle\mathrm{ACP}$ erhältst du durch $\measuredangle\mathrm{ACP} = \measuredangle\mathrm{SCB} - \measuredangle\mathrm{ACB}$ .
  Dafür benötigst du $\measuredangle\mathrm{SCB}$ . Diesen Winkel erhältst du durch den Sinussatz.
  Unter Anwendung des Sinussatzes erhältst du:
  $\dfrac{\sin(\measuredangle\mathrm{SCB})}{\overline{BS}} = \dfrac{\sin(\measuredangle\mathrm{CBS})}{\overline{SC}}$
  und mit den eingesetzten Werten
  $\dfrac{\sin(\measuredangle\mathrm{SCB})}{353\, \mathrm{m}} = \dfrac{\sin(38°)}{356\, \mathrm{m}}$
  und damit ergibt sich
  $\sin(\measuredangle\mathrm{SCB}) = \dfrac{\sin(38°)}{356\, \mathrm{m}} \cdot 353\, \mathrm{m}$
  ausgerechnet und nach dem Winkel umgeformt, (Anwendung von $\sin^{-1}$ ) erhältst du dann
  $\measuredangle\mathrm{SCB} = 37{,}62°.$
  Mithilfe von $\measuredangle\mathrm{SCB}$ und dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck erhältst du in dem Dreieck $\Delta \mathrm{ACP}$ folgenden Ansatz:
  $\sin(\measuredangle\mathrm{PCA}) = \dfrac{\overline{AP}}{\overline{AC}}.$
  Dieser Ansatz basiert darauf, dass der kürzeste Weg der Strecke $\overline{AP}$ die senkrechte Verbindung von $A$ zur Strecke $\overline{SC}$ darstellt. Dies bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck $\Delta \mathrm{ACP}$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und du das Seitenverhältnis mit dem Sinus anwenden kannst.
  Dabei ist $\measuredangle\mathrm{PCA}=\measuredangle\mathrm{ACP} = \measuredangle\mathrm{SCB} - \measuredangle\mathrm{ACB}=37{,}52°-16°=21{,}62°$ .
  Umgeformt erhältst du mit dem Ansatz
  ${\overline{AP}} = \sin(\mathrm{21{,}62°}) \cdot 635\, \mathrm{m}$
  also ${\overline{AP}} = 234\, \mathrm{m}.$
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2. Bestimmen Sie durch Rechnung, wie weit die Position $S$ vom Punkt $C$ entfernt ist.
  $[$ Teilergebnis: $\sphericalangle CBS=38^\circ;~$ Ergebnis: $\overline{SC}=356~\text{m}]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kosinussatz
  Teilaufgabe a
  Diese Aufgabe kannst du mit Hilfe des Kosinussatzes lösen.
  Betrachte das Dreieck $\Delta \mathrm{ABC}$ .
  Die Seite $\overline{\mathrm{BC}}$ liegt dem Winkel $\measuredangle \mathrm{BAC}$ gegenüber. Laut Kosinussatz gilt daher:
  $\overline {\mathrm{BC}}^2=\overline {\mathrm{AB}}^2+\overline {\mathrm{AC}}^2-2\cdot \overline {\mathrm{AB}} \cdot \overline {\mathrm{AC}} \cdot \cos \measuredangle \mathrm{BAC}$
  Wenn du die Zahlenwerte einsetzt, heißt das:
  $\overline{\mathrm{BC}}^2 = (182 \ \mathrm{m})^2 + (635 \ \mathrm{m})^2 - 2\cdot (182 \ \mathrm{m})\cdot (635 \ \mathrm{m})\cdot \cos 58°$
  Daraus erhältst du $\overline{\mathrm{BC}}$ ganz einfach durch Wurzelziehen und Ausrechnen mit dem Taschenrechner:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{\mathrm{BC}}&=& \sqrt{(182 \, \mathrm{m})^2 + (635 \, \mathrm{m})^2 - 2\cdot (182 \, \mathrm{m})\cdot (635 \, \mathrm{m})\cdot \cos 58°}\\ &=&\sqrt{33124\, \mathrm{m^2} + 403225\,\mathrm{m^2} - (231140\cdot \cos58°)\mathrm{m^2}}\\ &=&\sqrt{(436349-231140\cdot \cos 58°)\,\mathrm{m^2}}\\ &\approx&\sqrt{313863{,}461265\,\mathrm{m^2}}\\ &\approx&560\,\mathrm{m} \end{array}$
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3. Das Schiff entfernt sich von $C$ , bis es die Position $P$ erreicht. $P$ liegt auf der Halbgeraden [ $CS$ und hat die kleinstmögliche Entfernung zum Punkt $A$ .
  Berechnen Sie die Länge der Strecke $[AP]$ .
  
  Teilaufgabe b
  Auch diese Aufgabe kannst du mithilfe des Kosinussatzes lösen.
  Davor rechnest du aber am besten noch die Winkel $\measuredangle\mathrm{CBA}$ und $\measuredangle \mathrm{CBS}$ aus.
  $\measuredangle\mathrm{CBA}$ erhältst du durch die Winkelsumme in Dreiecken, indem du ausnutzt, dass
  $180° = \measuredangle\mathrm{CBA}+ \measuredangle\mathrm{BAC} + \measuredangle\mathrm{ACB}$
  Umgeformt erhältst du
  $\measuredangle\mathrm{CBA}=180°-\measuredangle\mathrm{BAC}-\measuredangle\mathrm{ACB}^{ }$
  und damit
  $\measuredangle\mathrm{CBA} = 180° - 58° - 16°$
  also:
  $\measuredangle\mathrm{CBA} = 106°$
  Wegen $\measuredangle\mathrm{CBA}= \measuredangle\mathrm{CBS}+\measuredangle\mathrm{SBA}$ erhältst du $\measuredangle\mathrm{CBS}$ durch
  $\measuredangle\mathrm{CBS} = \measuredangle\mathrm{CBA} - \measuredangle\mathrm{SBA}$
  Damit ergibt sich,
  $\measuredangle\mathrm{CBS} = 106° - 68°$
  also $\measuredangle\mathrm{CBS} = 38°$ .
  Mit dem Winkel $\measuredangle\mathrm{CBS}$ kannst du den Kosinussatz anwenden, um $\overline{\mathrm{SC}}$ zu bestimmen:
  $\overline{\mathrm{SC}} = \sqrt{\overline{\mathrm{BS}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}² - 2 \cdot \overline{\mathrm{BS}}\cdot \overline{\mathrm{BC}} \cdot \cos(\measuredangle\mathrm{CBS})}$
  $\overline{\mathrm{SC}} = \sqrt{{(353\, \mathrm{m})}² + {(560\, \mathrm{m})}² - 2 \cdot 353\, \mathrm{m}\cdot 560\, \mathrm{m} \cdot \cos(38°)}$
  und damit erhältst du $\overline{\mathrm{SC}} = 356\, \mathrm{m}.$
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Punkte für Aufgabe 2.3: 2 P

Punkte für Aufgabe 2.4: 2 P

Teilaufgabe 2.1

Zu zeigen: $-0{,}25\cdot\left(x-3\right)^2-2{,}5=-0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}25\cdot\left(x-3\right)^2-2{,}5$
	↓	Binomische Formel auflösen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}25\cdot\left(x^2-6x+9\right)-2{,}5$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}25x^2+1{,}5x-2{,}25-2{,}5$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75$

Gerade g im Koordinatensystem:

Einzeichnen der Geraden (linearen Funktion) $g$ : $y=-0{,}5x+4$

y-Achsenabschnitt ( $A$ ) bei $y = 4$

Steigung $m=-0{,}5=\dfrac{-1}{2}$ ( $2\;\text{LE}$ nach rechts und $1\;\text{LE}$ nach unten.)

Parabel $p$ mithilfe einer Wertetabelle:

x	0	1	2	3	4	5	6
y	-4,75	-3,5	-2,75	-2,5	-2,75	-3,5	-4,75

Wertepaare nun in das Koordinatensystem einzeichnen.

Teilaufgabe 2.2

Einzeichnen des Rechtecks $A_1B_1C_1D_1$ für $x = 5$ :

Koordinaten von $A_1$ berechnen. Setze dafür die Abszisse $x=5$ in $A_n(x|-0{,}5x+4)$ ein:

$A_1(5|-0{,}5\cdot 5+4)= A_1(5|-2{,}5+4) = A_1(5|1{,}5)$

Koordinate von $D_1$ berechnen. Setze dafür die Abszisse $x=5$ in $D_n$ ( $x|-0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75$ ) ein:

$D_1(5|-0{,}25\cdot\left(5\right)^2+1{,}5\cdot5-4{,}75)=D_1(5|-3{,}5)$

$\overline{A_nB_n}\ =1{,}5\cdot\overline{A_nD_n}_{ }$ :
- $\overline{A_1D_1}\ =1{,}5-\left(-3{,}5\right)=5\;\text{LE}$
- $\overline{A_1B_1}\ =1{,}5\cdot5\ LE=7{,}5\;\text{LE}$

Koordinaten $A_1$ und $D_1$ einzeichnen und verbinden.
Zwei senkrechte Strecken zu $[A_1D_1]$ einzeichnen, mit Schnittpunkt in $A_1$ und $D_1$ mit einer Länge von $7{,}5\;\text{cm}$ .

Eckpunkte verbinden.

Teilaufgabe 2.3

Länge der Seiten $[A_nD_n]$ in Abhängigkeit von x:

Um die Länge der Seiten zu berechnen, müssen die y-Koordinaten voneinander abgezogen werden: $\overline{A_nD_n}\left(x\right)=\left(y_A-y_D\right)$ $\;\text{LE}$

$\displaystyle \overline{A_nD_n}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(y_A-y_D\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(\left(-0{,}5x+4\right)-\left(-0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75\right)\right)\;\text{LE}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}5x+4+0{,}25x^2-1{,}5x+4{,}75\right)\;\text{LE}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \left(0{,}25x^2-2x+8{,}75\right)\;\text{LE}$

$\displaystyle \overline{A_nB_n}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1{,}5\ \cdot\overline{A_nD_n}$
	↓	$\overline {A_n D_n}$ einsetzen.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot\left(0{,}25x^2-2x+8{,}75\right)\;\text{LE}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle (0{,}375x^2-3x+13{,}125)\;\text{LE}$

Umfang u(x):

$\displaystyle u\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(a+b\right)\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(\overline{A_nB_n}+\overline{A_nD_n}\right)\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(\left(0{,}25x^2-2x+8{,}75\right)+\left(0{,}375x^2-3x+13{,}125\right)\right)\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(0{,}625x^2-5x+21{,}875\right)\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(1{,}25x^2-10x+43{,}75\right)\;\text{LE}$

Teilaufgabe 2.4

Wert x bei einem Umfang von $28{,}75\;\text{LE}$ :

Setze $u(x)$ gleich $28{,}75 \;\text{LE}$ und löse nach $x$ auf. Nutze hierbei die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) oder die pq-Formel:

$\displaystyle u\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(1{,}25x^2-10x+43{,}75\right)\;\text{LE}$
$\displaystyle 28{,}75\ LE$	$=$	$\displaystyle \left(1{,}25x^2-10x+43{,}75\right)\;\text{LE}$	$\displaystyle -28{,}75\;\text{LE}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(1{,}25x^2-10x+15\right)\;\text{LE}$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\pm\sqrt{\left(-10\right)^2-4\cdot1{,}25\cdot15}}{2\cdot1{,}25}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\pm5}{2{,}5}$

Für $x_1=6$ und $x_2=2$ haben die zugehörigen Rechtecke $A_2B_2C_2D_2$ und $A_3B_3C_3D_3$ einen Umfang von $28{,}75\;\text{LE}$ .

Teilaufgabe 2.5

Verdoppeln wir die Seitenlänge $[A_nD_n]$ , nimmt der Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ um $300\;\%$ zu:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}A_{\text{vorher}}&=&\text{Länge}\cdot \text{Breite}\ \\&=&\overline{A_nB_n}\cdot\ \overline{A_nD_n}\\&=&1{,}5\cdot \overline{A_nD_n}\cdot \overline{A_nD_n}\ \\&=&1{,}5\cdot \overline{A_nD_n}^2\\&=&1{,}5 \cdot \text{Breite}^2\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}A_{\text{nachher}}&=&1{,}5 \cdot (\text{Breite}_{\text{neu}})^2\\&=&1{,}5\cdot (2\cdot \overline{A_nD_n})^2\\&=&1{,}5\cdot 4\cdot \overline{A_nD_n}^2\\&=&4\cdot( 1{,}5\cdot \overline{A_nD_n}^2)\\&=&4\cdot A_{\text{vorher}}\end{array}$

Der Flächeninhalt vervierfacht sich. Das heißt, er steigt um $300\;\%$ .

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3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die nachfolgende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse $ME$ und dient als Vorlage für eine Lampe, die aus einer Plexiglasscheibe und einem Lampenschirm besteht.
Es gilt: $\overline{\text{AB}}=45~\text{cm}$ ; $\overline{BC}=2\;\text{cm}$ ; $\overline{\text{KL}}=36~\text{cm}$ ; $\overline{\text{ME}}=13{,}5~\text{cm}$ ; $\overline{\text{MF}}=12~\text{cm}$ .
Für den Durchmesser $[GH]$ des Halbkreisbogens $\stackrel{\frown}{HG}$ gilt: $\overline{\text{GH}}=9~\text{cm}.$
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie das Volumen $V$ der Plexiglasscheibe.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
  Das Volumen $V$ der Plexiglasscheibe
  Die Plexiglasscheibe ist ein Zylinder. Für sein Volumen gilt:
  $V=G\cdot h=\pi\cdot r^2 \cdot h$
  Dabei ist $r=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB}=\dfrac{1}{2} \cdot 45 \;\text{cm}=22{,}5 \;\text{cm}$ und $h=\overline{BC}=2\;\text{cm}$
  Eingesetzt in die Volumenformel folgt:
  $V=\pi\cdot (22{,}5 \;\text{cm})^2 \cdot 2 \;\text{cm}=3180{,}86\;\text{cm}^3$
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2. Ermitteln Sie rechnerisch den Inhalt $A$ der Außenfläche des Lampenschirms.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
  Der Lampenschirm setzt sich aus einem Kegelstumpf und einer Halbkugel zusammen. Da die Außenfläche des Lampenschirms gesucht ist, muss die Mantelfläche eines Kegelstumpfes und die Oberfläche einer Halbkugel berechnet werden.
  Oberfläche Kegelstumpf
  $M_{\text{Kegelstumpf}}=M_{\text{Kegel groß}}-M_{\text{Kegel klein}}$
  $M_{\text{Kegel}}=\pi\cdot r \cdot s$ und $s$ ist die Mantellinie.
  Die Mantellinie $s$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
  $s_{\text{groß}}=\overline{FK}=\sqrt{ \overline{MF})^2+(\frac{1}{2}\cdot \overline{KL})^2}=\sqrt{(12\;\text{cm})^2+(18\;\text{cm})^2}=21{,}63\;\text{cm}$
  $\Rightarrow\;M_{\text{Kegel groß}}=\pi\cdot r \cdot s=\pi\cdot\overline{MK}\cdot s=\pi\cdot 18\cdot 21{,}63\;\text{cm}^2$
  $s_{\text{klein}}=\overline{GF}=\sqrt{ \overline{NG}^2+ \overline{NF}^2}$
  Dabei ist $\overline{NF}=4{,}5-\left(\overline{ME}-\overline{MF}\right)=4{,}5-(13{,}5-12)=3\;\text{cm}$
  $s_{\text{klein}}=\overline{GF}=\sqrt{ (4{,}5\;\text{cm})^2+(3\;\text{cm})^2}=5{,}41\text{cm}$
  $\Rightarrow\;M_{\text{Kegel klein}}=\pi\cdot4{,}5\cdot 5{,}41\;\text{cm}^2$
  Oberfläche Halbkugel
  $O_{\text{Halbkugel }}=\dfrac{1}{2}\cdot(4\cdot\pi\cdot r^2) =2\cdot \pi\cdot (4{,}5\;\text{cm})^2=2\cdot \pi\cdot 4{,}5^2\;\text{cm}^2$
  Außenfläche A des Lampenschirms
  $A=M_{\text{Kegel groß}}-M_{\text{Kegel klein}}+\frac{1}{2}O_{\text{Halbkugel }}$
  $A=\left(\pi\cdot 18\cdot 21{,}63-\pi\cdot4{,}5\cdot 5{,}41+2\cdot \pi\cdot 4{,}5^2\right)\;\text{cm}^2=1273{,}90\;\text{cm}^2$
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Gegeben sind die Parabel $p$ mit $y=-0{,}25(x-3)^2-2{,}5$ und die Gerade $g$ mit $y=-0{,}5x+4\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Gleichung der Parabel $p$ auf die Form $y=-0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75$ bringen lässt und zeichnen Sie die Parabel $p$ für $x\in[-1;7]$ und die Gerade $g$ in das Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe a

Zu zeigen: $-0{,}25\cdot\left(x-3\right)^2-2{,}5=-0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}25\cdot\left(x-3\right)^2-2{,}5$
	↓	Binomische Formel auflösen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}25\cdot\left(x^2-6x+9\right)-2{,}5$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}25x^2+1{,}5x-2{,}25-2{,}5$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75$

Gerade g im Koordinatensystem:

Einzeichnen der Geraden (linearen Funktion) $g$ : $y=-0{,}5x+4$

y-Achsenabschnitt ( $A$ ) bei $y = 4$

Steigung $m=-0{,}5=\dfrac{-1}{2}$ ( $2\;\text{LE}$ nach rechts und $1\;\text{LE}$ nach unten.)

Parabel $p$ mithilfe einer Wertetabelle:

x	0	1	2	3	4	5	6
y	-4,75	-3,5	-2,75	-2,5	-2,75	-3,5	-4,75

Wertepaare nun in das Koordinatensystem einzeichnen.

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Punkte $A_n(x|-0{,}5x+4)$ auf der Geraden $g$ und Punkte $D_n(x-0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind Eckpunkte von Rechtecken $A_nB_nC_nD_n$ mit $\overline{A_nB_n}=1{,}5\cdot \overline{A_nD_n}$ .
Zeichnen Sie das Rechteck $A_1B_1C_1D_1$ für das $x=5$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.
Berechnen Sie die Länge der Seiten $[A_nD_n]$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ und ermitteln Sie sodann rechnerisch den Umfang $u(x)$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ . $[$ Ergebnis: $u(x)=(1{,}25x^2-10x+43{,}75)~\text{LE}]$
Die Rechtecke $A_2B_2C_2D_2$ und $A_3B_3C_3D_3$ haben einen Umfang von $28{,}75~\text{LE}$ .
Berechnen Sie die zugehörigen Werte für $x$ .
Um wie viel Prozent nimmt der Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ aus Teilaufgabe (b) zu, wenn man die Seitenlänge $[A_nD_n]$ verdoppelt?
Kreuzen Sie an.
- $100~\%$
- $150~\%$
- $200~\%$
- $300~\%$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil A

Teilaufgabe c

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe 2.1

Teilaufgabe 2.2

Teilaufgabe 2.3

Teilaufgabe 2.4

Teilaufgabe 2.5

Das Volumen VVV der Plexiglasscheibe

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Oberfläche Kegelstumpf

Oberfläche Halbkugel

Außenfläche A des Lampenschirms

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Teilaufgabe a

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Das Volumen $V$ der Plexiglasscheibe