Teil A - lernen mit Serlo!

Teilaufgabe 2.1

Zu zeigen: $-0{,}25\cdot\left(x-3\right)^2-2{,}5=-0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}25\cdot\left(x-3\right)^2-2{,}5$
	↓	Binomische Formel auflösen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}25\cdot\left(x^2-6x+9\right)-2{,}5$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}25x^2+1{,}5x-2{,}25-2{,}5$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75$

Gerade g im Koordinatensystem:

Einzeichnen der Geraden (linearen Funktion) $g$ : $y = - 0,5 x + 4$

y-Achsenabschnitt ( $A$ ) bei $y = 4$

Steigung $m=-0{,}5=\dfrac{-1}{2}$ ( $2\;\text{LE}$ nach rechts und $1\;\text{LE}$ nach unten.)

Parabel $p$ mithilfe einer Wertetabelle:

x	0	1	2	3	4	5	6
y	-4,75	-3,5	-2,75	-2,5	-2,75	-3,5	-4,75

Wertepaare nun in das Koordinatensystem einzeichnen.

Teilaufgabe 2.2

Einzeichnen des Rechtecks $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 5$ :

Koordinaten von $A_{1}$ berechnen. Setze dafür die Abszisse $x = 5$ in $A_n(x|-0{,}5x+4)$ ein:

$A_1(5|-0{,}5\cdot 5+4)= A_1(5|-2{,}5+4) = A_1(5|1{,}5)$

Koordinate von $D_{1}$ berechnen. Setze dafür die Abszisse $x = 5$ in $D_{n}$ ( $x|-0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75$ ) ein:

$D_1(5|-0{,}25\cdot\left(5\right)^2+1{,}5\cdot5-4{,}75)=D_1(5|-3{,}5)$

$\overline{A_nB_n}\ =1{,}5\cdot\overline{A_nD_n}_{ }$ :
- $\overline{A_1D_1}\ =1{,}5-\left(-3{,}5\right)=5\;\text{LE}$
- $\overline{A_1B_1}\ =1{,}5\cdot5\ LE=7{,}5\;\text{LE}$

Koordinaten $A_{1}$ und $D_{1}$ einzeichnen und verbinden.
Zwei senkrechte Strecken zu $[A_{1} D_{1}]$ einzeichnen, mit Schnittpunkt in $A_{1}$ und $D_{1}$ mit einer Länge von $7{,}5\;\text{cm}$ .

Eckpunkte verbinden.

Teilaufgabe 2.3

Länge der Seiten $[A_{n} D_{n}]$ in Abhängigkeit von x:

Um die Länge der Seiten zu berechnen, müssen die y-Koordinaten voneinander abgezogen werden: $\overline{A_nD_n}\left(x\right)=\left(y_A-y_D\right)$ $\;\text{LE}$

$\displaystyle \overline{A_nD_n}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(y_A-y_D\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(\left(-0{,}5x+4\right)-\left(-0{,}25x^2+1{,}5x-4{,}75\right)\right)\;\text{LE}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}5x+4+0{,}25x^2-1{,}5x+4{,}75\right)\;\text{LE}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \left(0{,}25x^2-2x+8{,}75\right)\;\text{LE}$

$\displaystyle \overline{A_nB_n}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1{,}5\ \cdot\overline{A_nD_n}$
	↓	$\overline {A_n D_n}$ einsetzen.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot\left(0{,}25x^2-2x+8{,}75\right)\;\text{LE}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle (0{,}375x^2-3x+13{,}125)\;\text{LE}$

Umfang u(x):

$\displaystyle u\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(a+b\right)\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(\overline{A_nB_n}+\overline{A_nD_n}\right)\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(\left(0{,}25x^2-2x+8{,}75\right)+\left(0{,}375x^2-3x+13{,}125\right)\right)\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(0{,}625x^2-5x+21{,}875\right)\right)\;\text{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(1{,}25x^2-10x+43{,}75\right)\;\text{LE}$

Teilaufgabe 2.4

Wert x bei einem Umfang von $28{,}75\;\text{LE}$ :

Setze $u (x)$ gleich $28{,}75 \;\text{LE}$ und löse nach $x$ auf. Nutze hierbei die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) oder die pq-Formel:

$\displaystyle u\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(1{,}25x^2-10x+43{,}75\right)\;\text{LE}$
$\displaystyle 28{,}75\ LE$	$=$	$\displaystyle \left(1{,}25x^2-10x+43{,}75\right)\;\text{LE}$	$\displaystyle -28{,}75\;\text{LE}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(1{,}25x^2-10x+15\right)\;\text{LE}$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\pm\sqrt{\left(-10\right)^2-4\cdot1{,}25\cdot15}}{2\cdot1{,}25}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\pm5}{2{,}5}$

Für $x_{1} = 6$ und $x_{2} = 2$ haben die zugehörigen Rechtecke $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ und $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ einen Umfang von $28{,}75\;\text{LE}$ .

Teilaufgabe 2.5

Verdoppeln wir die Seitenlänge $[A_{n} D_{n}]$ , nimmt der Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ um $300\;\%$ zu:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}A_{\text{vorher}}&=&\text{Länge}\cdot \text{Breite}\ \\&=&\overline{A_nB_n}\cdot\ \overline{A_nD_n}\\&=&1{,}5\cdot \overline{A_nD_n}\cdot \overline{A_nD_n}\ \\&=&1{,}5\cdot \overline{A_nD_n}^2\\&=&1{,}5 \cdot \text{Breite}^2\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}A_{\text{nachher}}&=&1{,}5 \cdot (\text{Breite}_{\text{neu}})^2\\&=&1{,}5\cdot (2\cdot \overline{A_nD_n})^2\\&=&1{,}5\cdot 4\cdot \overline{A_nD_n}^2\\&=&4\cdot( 1{,}5\cdot \overline{A_nD_n}^2)\\&=&4\cdot A_{\text{vorher}}\end{array}$

Der Flächeninhalt vervierfacht sich. Das heißt, er steigt um $300\;\%$ .