Das Volumen $V$ der Plexiglasscheibe

Die Plexiglasscheibe ist ein Zylinder. Für sein Volumen gilt:

$V=G\cdot h=\pi \cdot r^2\cdot h$

Dabei ist $r={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{AB}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 45\text{cm}=\mathrm{22,5}\text{cm}$ und $h=\overline{BC}=2\text{cm}$

Eingesetzt in die Volumenformel folgt:

$V=\pi \cdot (\mathrm{22,5}\text{cm}{)}^2\cdot 2\text{cm}=\mathrm{3180,86}{\text{cm}}^3$

Der Lampenschirm setzt sich aus einem Kegelstumpf und einer Halbkugel zusammen. Da die Außenfläche des Lampenschirms gesucht ist, muss die Mantelfläche eines Kegelstumpfes und die Oberfläche einer Halbkugel berechnet werden.

Oberfläche Kegelstumpf

$M_{\text{Kegelstumpf}}=M_{\text{Kegel groß}}-M_{\text{Kegel klein}}$

$M_{\text{Kegel}}=\pi \cdot r\cdot s$ und $s$ ist die Mantellinie.

Die Mantellinie $s$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

$s_{\text{groß}}=\overline{FK}=\sqrt{\overline{MF}{)}^2+(\frac{1}{2}\cdot \overline{KL}{)}^2}=\sqrt{(12\text{cm}{)}^2+(18\text{cm}{)}^2}=\mathrm{21,63}\text{cm}$

$\Rightarrow M_{\text{Kegel groß}}=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot \overline{MK}\cdot s=\pi \cdot 18\cdot \mathrm{21,63}{\text{cm}}^2$

$s_{\text{klein}}=\overline{GF}=\sqrt{{\overline{NG}}^2+{\overline{NF}}^2}$

Dabei ist $\overline{NF}=\mathrm{4,5}-(\overline{ME}-\overline{MF})=\mathrm{4,5}-(\mathrm{13,5}-12)=3\text{cm}$

$s_{\text{klein}}=\overline{GF}=\sqrt{(\mathrm{4,5}\text{cm}{)}^2+(3\text{cm}{)}^2}=\mathrm{5,41}\text{cm}$

$\Rightarrow M_{\text{Kegel klein}}=\pi \cdot \mathrm{4,5}\cdot \mathrm{5,41}{\text{cm}}^2$

Oberfläche Halbkugel

$O_{\text{Halbkugel }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (4\cdot \pi \cdot r^2)=2\cdot \pi \cdot (\mathrm{4,5}\text{cm}{)}^2=2\cdot \pi \cdot {\mathrm{4,5}}^2{\text{cm}}^2$

Außenfläche A des Lampenschirms

$A=M_{\text{Kegel groß}}-M_{\text{Kegel klein}}+\frac{1}{2}{O}_{\text{Halbkugel }}$

$A=(\pi \cdot 18\cdot \mathrm{21,63}-\pi \cdot \mathrm{4,5}\cdot \mathrm{5,41}+2\cdot \pi \cdot {\mathrm{4,5}}^2){\text{cm}}^2=\mathrm{1273,90}{\text{cm}}^2$