Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p_1$ mit dem Scheitel $S(0{,}5|1)$ hat eine Gleichung der Form $y=0{,}5x^2+bx+c\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};~b\in\mathbb{R};~c\in\mathbb{R})$ .

Die Parabel $p_2$ hat die Gleichung $y=0{,}5x^2+3\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $b$ und $c$ , dass die Parabel $p_1$ die Gleichung $y=0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125$ hat. Zeichnen Sie sodann die Parabeln $p_1$ und $p_2$ für $x\in[-2;4]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1~\text{cm}$ ; $-2\le x\le 4;~0\le y\le 11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
Die allgemeine Scheitelform einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:
$\ \boxed{\mathrm{a(x-e)^2+d=0}}$
Bekannt ist: $\ \mathrm{a=0{,}5;\qquad e=0{,}5;\qquad d=1}$
Eingesetzt in die obige Formel gibt: $\ \mathrm{y=0{,}5\cdot(x-0{,}5)^2+1}\hspace{15mm}\mathbb{G=R}\ \text{x}\ \mathbb{R}$
Multipliziere aus: $\ \mathrm{y=0{,}5\cdot(x^2-x+0{,}25)+1}$
$\hspace{25mm}\Rightarrow\mathrm{ p_{1}:y=0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125}$
Einzeichnen der Parabeln $\ \mathrm{p_1}$ und $\ \mathrm{p_2}$ :
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Stelle die Scheitelform auf und multipliziere aus.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ der Parabeln $p_1$ und $p_2$ .

Punkte $A_n(x|0{,}5x^2+3)$ auf der Parabel $p_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_n(x|0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125)$ auf der Parabel $p_1$ . Sie sind für $x>-3{,}75$ zusammen mit Punkten $C_n$ die Eckpunkte von Dreiecken $A_nB_nC_n$ .
Die Punkte $C_n$ liegen auf der Parabel $p_2$ , wobei die Abszisse der Punkte $C_n$ stets um 2 größer ist als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=-1{,}5$ und das Dreieck $A_2B_2C_2$ für $x=1$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass sich die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $A_n$ wie folgt darstellen lassen: $C_n(x+2|0{,}5x^2+2x+5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem
Einzeichnen der Dreiecke $\mathrm{A_1B_1C_1}$ und $\mathrm{A_2B_2C_2}$ in das Koordinatensystem
zu Teilaufgabe (a).
Darstellen der Koordinaten der Punkte $\mathrm{C_n}$ im Koordinatensystem in Abhängigkeit von der Abszisse $\mathrm{A_n}$ .
Setze für $\text{x}$ , $\mathrm{(x+2)}$ in die Funktionsgleichung zu $\mathrm{p_2}$ ein.
$\mathrm{C_n\Bigl(x+2\ |\ 0{,}5\cdot(x+2)^2+3\Bigr)\qquad x\in\mathbb{R};\ x>-3{,}75}$
$\mathrm{C_n\left(x+2\ |\ 0{,}5x^2+2x+5\right)}$
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Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$\overline{A_nB_n}(x)=(0{,}5x+1{,}875)~\text{LE}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen und Gleichungen
$\mathrm{{p_2}:\ y=0{,}5x^2+3;\qquad {p_1}:y=0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125}$
$\mathrm{\overline{A_nB_n}(x)=\Bigl(0{,}5x^2+3-(0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125)\Bigr)LE}\qquad\qquad \text{x}\in\mathbb{R};\ \text{x}>-3{,}75$
$\mathrm{\overline{A_nB_n}(x)=0{,}5x+1{,}875\ LE}$
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Unter den Dreiecken $A_nB_nC_n$ gibt es das rechtwinklige Dreieck $A_3B_3C_3$ mit der Hypotenuse $[A_3C_3]$ .

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $B_3$ .

Unter den Dreiecken $A_nB_nC_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $A_4B_4C_4$ mit der Basis $[A_4B_4]$ .

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $x$ .

$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2+3}$	$\displaystyle -0{,}5x^2$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle -0{,}5x+1{,}125$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle -1{,}125$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle -0{,}5x$	$=$	$\displaystyle 1{,}875$	$\displaystyle \cdot(-2)$
	↓	multipliziere
$\displaystyle \text{x}$	$=$	$\displaystyle -3{,}75$

$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2+2x+5}$	$\displaystyle \mathrm{-0{,}5x^2\qquad\qquad \text{x}\in\mathbb{R};\ x>-3{,}75}$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-0{,}5x+1{,}125}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{2x+5}$	$\displaystyle \mathrm{-2x}$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-2{,}5x+1{,}125}$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle -1{,}125$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-2{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 3{,}875$	$\displaystyle :-2{,}5$
	↓	dividiere
$\displaystyle \text{x}$	$=$	$\displaystyle -1{,}55$

$\displaystyle 0{,}5x^2-0{,}25x+2{,}06$	$=$	$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2+2x+5}$	$\displaystyle \mathrm{-0{,}5x^2\qquad\qquad \mathbb{G}\in\mathbb{R};\ x>-3{,}75}$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-0{,}25x+2{,}06}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{2x+5}$	$\displaystyle \mathrm{-2x-2{,}06}$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-2{,}25x}$	$=$	$\displaystyle 2{,}94$	$\displaystyle \mathrm{:-2{,}25}$
	↓	dividiere
$\displaystyle \text{x}$	$=$	$\displaystyle -1{,}31$	$\displaystyle \hspace{28mm}\mathbb{L}=\{-1{,}31\}$

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