Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p_{1}$ mit dem Scheitel $S (0,5 | 1)$ hat eine Gleichung der Form $y = 0,5 x^{2} + b x + c (𝔾 = ℝ \times ℝ; b \in ℝ; c \in ℝ)$ .

Die Parabel $p_{2}$ hat die Gleichung $y = 0,5 x^{2} + 3 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $b$ und $c$ , dass die Parabel $p_{1}$ die Gleichung $y = 0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125$ hat. Zeichnen Sie sodann die Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ für $x \in [- 2; 4]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 2 \leq x \leq 4; 0 \leq y \leq 11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
Die allgemeine Scheitelform einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:
$a (x - e)^{2} + d = 0$
Bekannt ist: $a = 0,5; e = 0,5; d = 1$
Eingesetzt in die obige Formel gibt: $y = 0,5 \cdot (x - 0,5)^{2} + 1 𝔾 = ℝ x ℝ$
Multipliziere aus: $y = 0,5 \cdot (x^{2} - x + 0,25) + 1$
$\Rightarrow p_{1} : y = 0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125$
Einzeichnen der Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ :
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Stelle die Scheitelform auf und multipliziere aus.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ der Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
$0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125 = 0,5 x^{2} + 3 𝔾 = ℝ$
$0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125$ $=$ $0,5 x^{2} + 3$ $- 0,5 x^{2}$
↓
subtrahiere
$- 0,5 x + 1,125$ $=$ $3$ $- 1,125$
↓
subtrahiere
$- 0,5 x$ $=$ $1,875$ $\cdot (- 2)$
↓
multipliziere
$x$ $=$ $- 3,75$
Für $x$ erhältst du also $𝕃 = {- 3,75}$ .
Setze $x$ in $p_{1}$ oder $p_{2}$ ein und berechne $y .$
$x$ eingesetzt in $p_{2}$ :
$0,5 \cdot (- 3,75)^{2} + 3 = 10,03$
$y = 10,03$
$T (- 3,75 | 10,03)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Setze $p_{1} = p_{2}$ und berechne $x$
Punkte $A_{n} (x | 0,5 x^{2} + 3)$ auf der Parabel $p_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_{n} (x | 0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125)$ auf der Parabel $p_{1}$ . Sie sind für $x > - 3,75$ zusammen mit Punkten $C_{n}$ die Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ .
Die Punkte $C_{n}$ liegen auf der Parabel $p_{2}$ , wobei die Abszisse der Punkte $C_{n}$ stets um 2 größer ist als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 1,5$ und das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 1$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass sich die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $A_{n}$ wie folgt darstellen lassen: $C_{n} (x + 2 | 0,5 x^{2} + 2 x + 5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem
Einzeichnen der Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ in das Koordinatensystem
zu Teilaufgabe (a).
Darstellen der Koordinaten der Punkte $C_{n}$ im Koordinatensystem in Abhängigkeit von der Abszisse $A_{n}$ .
Setze für $x$ , $(x + 2)$ in die Funktionsgleichung zu $p_{2}$ ein.
$C_{n} (x + 2 | 0,5 \cdot (x + 2)^{2} + 3) x \in ℝ; x > - 3,75$
$C_{n} (x + 2 | 0,5 x^{2} + 2 x + 5)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke $[A_{n} B_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt:
$A_{n} B_{n} (x) = (0,5 x + 1,875) LE$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen und Gleichungen
$p_{2} : y = 0,5 x^{2} + 3; p_{1} : y = 0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125$
$A_{n} B_{n} (x) = (0,5 x^{2} + 3 - (0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125)) L E x \in ℝ; x > - 3,75$
$A_{n} B_{n} (x) = 0,5 x + 1,875 L E$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Unter den Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ gibt es das rechtwinklige Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ mit der Hypotenuse $[A_{3} C_{3}]$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $B_{3}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen und Gleichungen
Da $B_{3}$ und $C_{3}$ dieselbe Ordinate haben gilt: ${y_{B}}_{3} = {y_{C}}_{3}$
$0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125$ $=$ $0,5 x^{2} + 2 x + 5$ $- 0,5 x^{2} x \in ℝ; x > - 3,75$
↓
subtrahiere
$- 0,5 x + 1,125$ $=$ $2 x + 5$ $- 2 x$
↓
subtrahiere
$- 2,5 x + 1,125$ $=$ $5$ $- 1,125$
↓
subtrahiere
$- 2,5 x$ $=$ $3,875$ $: - 2,5$
↓
dividiere
$x$ $=$ $- 1,55$
$𝕃 = {- 1,55}$
Berechnen der $y$ Koordinate von $B_{3} .$
$0,5 \cdot (- 1,55)^{2} - 0,5 \cdot (- 1,55) + 1,125 = 3,10$
$B_{3} (- 1,55 | 3,10)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Unter den Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $A_{4} B_{4} C_{4}$ mit der Basis $[A_{4} B_{4}]$ .
Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $x$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen und Gleichungen
$M_{4}$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A_{4} B_{4}]$ , da das Dreieck gleichschenklig ist gilt:
$y_{M_{4}} = y_{C_{4}}$
Bestimmen von $y_{M_{n}}$ :
$y_{M_{n}} = \frac{0,5 x^{2} + 3 + 0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125}{2} x \in ℝ; x > - 3,75$
$y_{M_{n}} = 0,5 x^{2} - 0,25 x + 2,06$
$0,5 x^{2} - 0,25 x + 2,06$ $=$ $0,5 x^{2} + 2 x + 5$ $- 0,5 x^{2} 𝔾 \in ℝ; x > - 3,75$
↓
subtrahiere
$- 0,25 x + 2,06$ $=$ $2 x + 5$ $- 2 x - 2,06$
↓
subtrahiere
$- 2,25 x$ $=$ $2,94$ $: - 2,25$
↓
dividiere
$x$ $=$ $- 1,31$ $𝕃 = {- 1,31}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125$	$=$	$0,5 x^{2} + 3$	$- 0,5 x^{2}$
	↓	subtrahiere
$- 0,5 x + 1,125$	$=$	$3$	$- 1,125$
	↓	subtrahiere
$- 0,5 x$	$=$	$1,875$	$\cdot (- 2)$
	↓	multipliziere
$x$	$=$	$- 3,75$

$0,5 x^{2} - 0,5 x + 1,125$	$=$	$0,5 x^{2} + 2 x + 5$	$- 0,5 x^{2} x \in ℝ; x > - 3,75$
	↓	subtrahiere
$- 0,5 x + 1,125$	$=$	$2 x + 5$	$- 2 x$
	↓	subtrahiere
$- 2,5 x + 1,125$	$=$	$5$	$- 1,125$
	↓	subtrahiere
$- 2,5 x$	$=$	$3,875$	$: - 2,5$
	↓	dividiere
$x$	$=$	$- 1,55$

$0,5 x^{2} - 0,25 x + 2,06$	$=$	$0,5 x^{2} + 2 x + 5$	$- 0,5 x^{2} 𝔾 \in ℝ; x > - 3,75$
	↓	subtrahiere
$- 0,25 x + 2,06$	$=$	$2 x + 5$	$- 2 x - 2,06$
	↓	subtrahiere
$- 2,25 x$	$=$	$2,94$	$: - 2,25$
	↓	dividiere
$x$	$=$	$- 1,31$	$𝕃 = {- 1,31}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?