Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Parabel $p_1$ mit dem Scheitel $S(0{,}5|1)$ hat eine Gleichung der Form $y=0{,}5x^2+bx+c\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};~b\in\mathbb{R};~c\in\mathbb{R})$ .

Die Parabel $p_2$ hat die Gleichung $y=0{,}5x^2+3\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $b$ und $c$ , dass die Parabel $p_1$ die Gleichung $y=0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125$ hat. Zeichnen Sie sodann die Parabeln $p_1$ und $p_2$ für $x\in[-2;4]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1~\text{cm}$ ; $-2\le x\le 4;~0\le y\le 11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
Die allgemeine Scheitelform einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:
$\ \boxed{\mathrm{a(x-e)^2+d=0}}$
Bekannt ist: $\ \mathrm{a=0{,}5;\qquad e=0{,}5;\qquad d=1}$
Eingesetzt in die obige Formel gibt: $\ \mathrm{y=0{,}5\cdot(x-0{,}5)^2+1}\hspace{15mm}\mathbb{G=R}\ \text{x}\ \mathbb{R}$
Multipliziere aus: $\ \mathrm{y=0{,}5\cdot(x^2-x+0{,}25)+1}$
$\hspace{25mm}\Rightarrow\mathrm{ p_{1}:y=0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125}$
Einzeichnen der Parabeln $\ \mathrm{p_1}$ und $\ \mathrm{p_2}$ :
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Stelle die Scheitelform auf und multipliziere aus.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $T$ der Parabeln $p_1$ und $p_2$ .

Punkte $A_n(x|0{,}5x^2+3)$ auf der Parabel $p_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_n(x|0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125)$ auf der Parabel $p_1$ . Sie sind für $x>-3{,}75$ zusammen mit Punkten $C_n$ die Eckpunkte von Dreiecken $A_nB_nC_n$ .
Die Punkte $C_n$ liegen auf der Parabel $p_2$ , wobei die Abszisse der Punkte $C_n$ stets um 2 größer ist als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=-1{,}5$ und das Dreieck $A_2B_2C_2$ für $x=1$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass sich die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $A_n$ wie folgt darstellen lassen: $C_n(x+2|0{,}5x^2+2x+5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem
Einzeichnen der Dreiecke $\mathrm{A_1B_1C_1}$ und $\mathrm{A_2B_2C_2}$ in das Koordinatensystem
zu Teilaufgabe (a).
Darstellen der Koordinaten der Punkte $\mathrm{C_n}$ im Koordinatensystem in Abhängigkeit von der Abszisse $\mathrm{A_n}$ .
Setze für $\text{x}$ , $\mathrm{(x+2)}$ in die Funktionsgleichung zu $\mathrm{p_2}$ ein.
$\mathrm{C_n\Bigl(x+2\ |\ 0{,}5\cdot(x+2)^2+3\Bigr)\qquad x\in\mathbb{R};\ x>-3{,}75}$
$\mathrm{C_n\left(x+2\ |\ 0{,}5x^2+2x+5\right)}$
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Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$\overline{A_nB_n}(x)=(0{,}5x+1{,}875)~\text{LE}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen und Gleichungen
$\mathrm{{p_2}:\ y=0{,}5x^2+3;\qquad {p_1}:y=0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125}$
$\mathrm{\overline{A_nB_n}(x)=\Bigl(0{,}5x^2+3-(0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125)\Bigr)LE}\qquad\qquad \text{x}\in\mathbb{R};\ \text{x}>-3{,}75$
$\mathrm{\overline{A_nB_n}(x)=0{,}5x+1{,}875\ LE}$
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Unter den Dreiecken $A_nB_nC_n$ gibt es das rechtwinklige Dreieck $A_3B_3C_3$ mit der Hypotenuse $[A_3C_3]$ .

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $B_3$ .

Unter den Dreiecken $A_nB_nC_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $A_4B_4C_4$ mit der Basis $[A_4B_4]$ .

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $x$ .

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des Prismas $ABCDEF$ , dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit der Basis $[BC]$ ist. Der Punkt $D$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ . Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[BC]$ und der Punkt $G$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[EF]$ .
Es gilt: $\overline{BC}=14~\text{cm};~\overline{AM}=10~\text{cm};~\overline{AD}=6~\text{cm}$
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEF$ , wobei die Strecke $[AM]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links von $M$ liegen soll.
  Für die Zeichnung gilt: $q=0{,}5;~\omega=45^\circ$
  Zeichnen Sie sodann die Strecke $[AG]$ in das Schrägbild ein und berechnen Sie deren Länge sowie das Maß $\varphi$ des Winkels $AGM$ .
  $[$ Ergebnis: $\varphi=59{,}04^\circ]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Satz des Pythagoras angewandt auf das Dreieck $\text{AMG}$ :
  $\ \mathrm{\overline{AG}^2=\overline{AM}^2+{\overline{GM}^2}}\Rightarrow\mathrm{\overline{AG}=\sqrt{\overline{AM}^2+\overline{GM}^2}}$
  Einsetzten der Zahlenwerte:
  $\ \mathrm{\overline{AG}=\sqrt{10^2+6^2}\ \ cm}\ \Rightarrow\ \boxed{\mathrm{\overline{AG}=11{,}66\ cm}}$
  Berechnen des Maßes $φ$ des Winkels $\text{AGM}$ :
  $\mathrm{tan\ \varphi=\dfrac{\overline{AM}}{\overline{GM}}}\ \Rightarrow\ \tan\ \varphi=\dfrac{10}{6}\ \Rightarrow\ \boxed{\varphi=59{,}04^{\circ}}$
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  Berechne die Strecke $\ \mathrm{\overline{AG}}\$ mithilfe des Satz des Pythagoras.
2. Ebenen, die zur Grundfläche $ABC$ parallel sind, schneiden $[AG]$ in Punkten $P_n$ , $[BE]$ in Punkten $Q_n$ , $[CF]$ in Punkten $R_n$ und $[MG]$ in Punkten $N_n$ .
  Es gilt: $\overline{GN_n}(x)=x~\text{cm}$ mit $x\in\mathbb{R}$ sowie $0<x<6$ .
  Der Punkt $M$ ist die Spitze von Pyramiden $P_nQ_nR_nM$ mit Dreiecken $P_nQ_nR_n$ als Grundfläche.
  Zeichnen Sie die Strecke $[GM]$ , den Punkt $N_1$ sowie die Pyramide $P_1Q_1R_1M$ für $x=3$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
  Einzeichnen der Pyramide $\mathrm{P_1Q_1R_1M}$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe $\text{(a)}$ .
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3. Zeigen Sie rechnerisch, dass sich das Volumen $V$ der Pyramiden $P_nQ_nR_nM$ in Abhängigkeit von $x$ wie folgt darstellen lässt: $V(x)=(-3{,}90x^2+23{,}38x)~\text{cm}^3$ .
  $[$ Teilergebnis: $\overline{P_nN_n}(x)=1{,}67x~\text{cm}]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Das Volumen der Pyramide $\mathrm{P_nQ_nR_nM}$ berechnet sich wie folgt:
  $\ V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\mathrm{\cdot\overline{P_nN_n}\cdot\overline{Q_nR_n}\cdot\overline{N_nM}}\hspace{40mm}\mathrm{\overline{Q_nR_n}=\overline{BC}}$
  Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{P_nN_n}}$ mit dem Tangens.
  $\ \mathrm{\dfrac{\overline{P_nN_n}(x)}{x\ cm}=tan\varphi\hspace{20mm}\varphi=59{,}04^\circ\hspace{20mm}x\in\mathbb{R};\ 0<x<6}$
  $\ \mathrm{\overline{P_nN_n} =1{,}67x\ cm}$
  $\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot1{,}67x\cdot14\cdot(6-x)\ cm^3\hspace{27mm}x\in\mathbb{R};\ 0<x<6}$
  $\ \mathrm{V(x)=\left(-3{,}90x^2+23{,}38x\right)\ cm^3}$
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  Berechne zuerst $\mathrm{\overline{P_nN_n}}$
4. Unter den Pyramiden ${P_nQ_nR_nM}$ hat die Pyramide $P_0Q_0R_0M$ das maximale Volumen.
  Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $P_0Q_0R_0M$ kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
  Da es sich bei dem Funktionsgraphen von $\text{V(x)}$ um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, entspricht der Funktionswert des Scheitels $\mathrm{y_S}$ , dem maximalen Volumen der Pyramide $\mathrm{P_nQ_nR_nM}$ .
  Berechnen des Funktionswertes $\mathrm{y_S}$ mit der Formel:
  $\ \mathrm{{y_S}=c-\dfrac{b^2}{4\cdot a}}$
  Zur Erinnerung, die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
  $\ \mathrm{f\left( x\right)={ax}^2+{bx}+ c}$
  $\ \mathrm{y_S}=0-\dfrac{(23{,}38)^2}{4\cdot (-3{,}90)}\ \Rightarrow\ y_S=-\dfrac{546{,}62}{-15{,}60}$
  $\ \mathrm{{y_S}=35{,}04}$
  Das maximale Volumen der Pyramide $\mathrm{P_0Q_0R_0M}$ beträgt: $\boxed{\mathrm{V_{P_0Q_0R_0M}=35{,}04\ cm^3}}$
  Volumen Prisma: $\ \mathrm{V_{ABCDEF}=\dfrac{\overline{BC}\cdot \overline{AM}{2}\cdot\overline{AD}}\ \Rightarrow\ V_{ABCDEF}=\dfrac{14\cdot10}{2}\cdot6\ [cm^3}]$
  $\hspace{26mm}\mathrm{V_{ABCDEF}=420\ cm^3}$
  Berechnen des prozentualen Unterschieds von $\mathrm{V_{ABCDEF}}$ zu $\mathrm{V_{P_0Q_0R_0M}}$ :
  $\dfrac{420-35{,}04}{420}=0{,}9166$
  Das Volumen der Pyramide ist um $\boxed{91{,}66\ \%}$ kleiner als das Volumen des Prismas.
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  Ermittle den Funktionswert $\mathrm{y_S}$ von $\mathrm{V(x)=(-3{,}90x^2+23{,}38x)}$
5. Die Pyramiden $P_2Q_2R_2M$ und $P_3Q_3R_3M$ haben jeweils ein Volumen von $7{,}5~\text{cm}^3$ .
  Berechnen Sie die zugehörigen Werte für $x$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
  $\ \mathrm{V_{P_2Q_2R_2M}=V_{P_3Q_3R_3M}=7{,}5\ cm^3}$
  $\mathrm{-3{,}90x^2+23{,}38x=7{,}5\hspace{35mm}x\in\mathbb{R};\ 0<x<6}$
  Löse die quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel.
  $\ x_{1/2}=\dfrac{-23{,}38\pm\sqrt{23{,}38^2-4\cdot(-3{,}90\cdot-7{,}5)}}{2\cdot(-3{,}90)}$
  $\ x_{1/2}=\dfrac{-23{,}38\pm\sqrt{546{,}62-117}}{-7{,}80}$
  $\ \mathrm{x=0{,}34\qquad\lor\qquad x=5{,}65\hspace{25mm}\mathbb{L}=\{0{,}34;\ 5{,}64\}}$
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  Setze $\mathrm{V(x)=7{,}5}$ und löse die quadratische Gleichung.
6. Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken $[P_nM]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
  $\overline{P_nM}(x)=\sqrt{3{,}79x^2-12x+36}~\text{cm}$ .
  Unter den Strecken $[P_nM]$ hat die Strecke $[P_4M]$ die minimale Länge.
  Zeichnen Sie die Strecken $[P_4M]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie deren Länge.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Einzeichnen der Strecke $\mathrm{[P_4M].}$
  $\ \mathrm{[P_nM]}$ in Abhängigkeit von $\text{x}:$
  $1.$ Lösungsmöglichkeit:
  $\ \mathrm{\overline{P_nM}(x)=\sqrt{(\overline{P_nN_n})^2+(\overline{N_nM})^2}\qquad\qquad \overline{P_nN_n}=1{,}67x\qquad \overline{N_nM}=(6-x)}$
  $\ \mathrm{\overline{P_nM}(x)=\sqrt{(1{,}67x)^2+(6-x)^2}\ cm}\hspace{20mm}\text{x}\in\mathbb{R};\ \mathrm{0<x<6}$
  $\ \mathrm{\overline{P_nM}(x)=\sqrt{3{,}79x^2-12x+36}~\text{cm}}$
  Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{P_4M}}:$
  Da es sich bei dem Funktionsgraphen von $\mathrm{(\overline{P_nM})^2}$ um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, entspricht der Funktionswert des Scheitels $\mathrm{y_S}$ dem Quadrat der minimalen
  Länge der Strecke $\mathrm{\overline{P_4M}}.$
  Berechnen des Funktionswertes $\mathrm{y_S}$ mit der Formel:
  $\mathrm{y_S=c-\dfrac{b^2}{4\cdot a}\ \Rightarrow\ y_S=36-\dfrac{12^2}{4\cdot 3{,}79}\ cm^2}$
  $\ \mathrm{y_S=26{,}50\ cm^2}$
  $\mathrm{(\overline{P_4M})^2=26{,}50\ cm^2\ \Rightarrow\ \overline{P_4M}=\sqrt{26{,}50\ cm^2}}$
  $\ \mathrm{\overline{P_4M}=5{,}15\ cm}$
  $\rule{12cm}{0.5mm}$
  $2.$ Lösungsmöglichkeit:
  Das Dreieck $\mathrm{\vartriangle{AMP_4}}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, der Winkel $\mathrm{\sphericalangle{AMP_4}}$ ist bekannt,
  siehe Lösung zur Aufgabe $\mathrm{2a).}$ $\mathrm{\overline{P_4M}}$ ist dann die Ankathete und $\mathrm{\overline{AM}}$ ist die Hypotenuse
  dieses Dreiecks.
  $\mathrm{\cos\sphericalangle{AMP_4}=\dfrac{\overline{P_4M}}{\overline{AM}}\ \Rightarrow\ \overline{P_4M}=\cos\sphericalangle{AMP_4}\cdot\overline{AM}}$
  $\ \mathrm{\overline{P_4M}=10\ cm\cdot cos\ 59{,}04^{\circ}\ \Rightarrow\ \overline{P_4M}=10\ cm\cdot 0{,}5144}$
  $\ \mathrm{\overline{P_4M}=5{,}14\ cm}$
  Der Unterschied der Ergebnisse kommt daher, dass der in der $1.$ Lösungsmöglichkeit
  verwendet Wert $(1{,}67)$ aufgerundet ist.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2+3}$	$\displaystyle -0{,}5x^2$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle -0{,}5x+1{,}125$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle -1{,}125$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle -0{,}5x$	$=$	$\displaystyle 1{,}875$	$\displaystyle \cdot(-2)$
	↓	multipliziere
$\displaystyle \text{x}$	$=$	$\displaystyle -3{,}75$

$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2-0{,}5x+1{,}125}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2+2x+5}$	$\displaystyle \mathrm{-0{,}5x^2\qquad\qquad \text{x}\in\mathbb{R};\ x>-3{,}75}$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-0{,}5x+1{,}125}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{2x+5}$	$\displaystyle \mathrm{-2x}$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-2{,}5x+1{,}125}$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle -1{,}125$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-2{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 3{,}875$	$\displaystyle :-2{,}5$
	↓	dividiere
$\displaystyle \text{x}$	$=$	$\displaystyle -1{,}55$

$\displaystyle 0{,}5x^2-0{,}25x+2{,}06$	$=$	$\displaystyle \mathrm{0{,}5x^2+2x+5}$	$\displaystyle \mathrm{-0{,}5x^2\qquad\qquad \mathbb{G}\in\mathbb{R};\ x>-3{,}75}$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-0{,}25x+2{,}06}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{2x+5}$	$\displaystyle \mathrm{-2x-2{,}06}$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{-2{,}25x}$	$=$	$\displaystyle 2{,}94$	$\displaystyle \mathrm{:-2{,}25}$
	↓	dividiere
$\displaystyle \text{x}$	$=$	$\displaystyle -1{,}31$	$\displaystyle \hspace{28mm}\mathbb{L}=\{-1{,}31\}$

Nachtermin Teil B

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