Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEF$, wobei die Strecke $[AM]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links von $M$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=0{,}5;~\omega=45^\circ$

Zeichnen Sie sodann die Strecke $[AG]$ in das Schrägbild ein und berechnen Sie deren Länge sowie das Maß $\varphi$ des Winkels $AGM$.

$[$Ergebnis: $\varphi=59{,}04^\circ]$

Ebenen, die zur Grundfläche $ABC$ parallel sind, schneiden $[AG]$ in Punkten $P_n$, $[BE]$ in Punkten $Q_n$, $[CF]$ in Punkten $R_n$ und $[MG]$ in Punkten $N_n$.

Es gilt: $\overline{GN_n}(x)=x~\text{cm}$ mit $x\in\mathbb{R}$ sowie $0<x<6$.

Der Punkt $M$ ist die Spitze von Pyramiden $P_nQ_nR_nM$ mit Dreiecken $P_nQ_nR_n$ als Grundfläche.

Zeichnen Sie die Strecke $[GM]$, den Punkt $N_1$ sowie die Pyramide $P_1Q_1R_1M$ für $x=3$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

Zeigen Sie rechnerisch, dass sich das Volumen $V$der Pyramiden $P_nQ_nR_nM$ in Abhängigkeit von $x$ wie folgt darstellen lässt: $V(x)=(-3{,}90x^2+23{,}38x)~\text{cm}^3$.

$[$Teilergebnis: $\overline{P_nN_n}(x)=1{,}67x~\text{cm}]$

Unter den Pyramiden ${P_nQ_nR_nM}$ hat die Pyramide $P_0Q_0R_0M$ das maximale Volumen.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide $P_0Q_0R_0M$ kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

Die Pyramiden $P_2Q_2R_2M$ und $P_3Q_3R_3M$ haben jeweils ein Volumen von $7{,}5~\text{cm}^3$.

Berechnen Sie die zugehörigen Werte für $x$.

Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken $[P_nM]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:

$\overline{P_nM}(x)=\sqrt{3{,}79x^2-12x+36}~\text{cm}$.

Unter den Strecken $[P_nM]$ hat die Strecke $[P_4M]$ die minimale Länge.

Zeichnen Sie die Strecken $[P_4M]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie deren Länge.