Satz des Pythagoras angewandt auf das Dreieck $\text{AMG}$ :

$\ \mathrm{\overline{AG}^2=\overline{AM}^2+{\overline{GM}^2}}\Rightarrow\mathrm{\overline{AG}=\sqrt{\overline{AM}^2+\overline{GM}^2}}$

Einsetzten der Zahlenwerte:

$\ \mathrm{\overline{AG}=\sqrt{10^2+6^2}\ \ cm}\ \Rightarrow\ \boxed{\mathrm{\overline{AG}=11{,}66\ cm}}$

Berechnen des Maßes $φ$ des Winkels $\text{AGM}$ :

$\mathrm{tan\ \varphi=\dfrac{\overline{AM}}{\overline{GM}}}\ \Rightarrow\ \tan\ \varphi=\dfrac{10}{6}\ \Rightarrow\ \boxed{\varphi=59{,}04^{\circ}}$

Einzeichnen der Pyramide $\mathrm{P_1Q_1R_1M}$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe $\text{(a)}$.

Das Volumen der Pyramide $\mathrm{P_nQ_nR_nM}$ berechnet sich wie folgt:

$\ V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\mathrm{\cdot\overline{P_nN_n}\cdot\overline{Q_nR_n}\cdot\overline{N_nM}}\hspace{40mm}\mathrm{\overline{Q_nR_n}=\overline{BC}}$

Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{P_nN_n}}$ mit dem Tangens.

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{P_nN_n}(x)}{x\ cm}=tan\varphi\hspace{20mm}\varphi=59{,}04^\circ\hspace{20mm}x\in\mathbb{R};\ 0<x<6}$

$\ \mathrm{\overline{P_nN_n} =1{,}67x\ cm}$

$\ \mathrm{V(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot1{,}67x\cdot14\cdot(6-x)\ cm^3\hspace{27mm}x\in\mathbb{R};\ 0<x<6}$

$\ \mathrm{V(x)=\left(-3{,}90x^2+23{,}38x\right)\ cm^3}$

Da es sich bei dem Funktionsgraphen von $\text{V(x)}$ um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, entspricht der Funktionswert des Scheitels $\mathrm{y_S}$, dem maximalen Volumen der Pyramide $\mathrm{P_nQ_nR_nM}$.

Berechnen des Funktionswertes $\mathrm{y_S}$ mit der Formel:

$\ \mathrm{{y_S}=c-\dfrac{b^2}{4\cdot a}}$

Zur Erinnerung, die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$\ \mathrm{f\left( x\right)={ax}^2+{bx}+ c}$

$\ \mathrm{y_S}=0-\dfrac{(23{,}38)^2}{4\cdot (-3{,}90)}\ \Rightarrow\ y_S=-\dfrac{546{,}62}{-15{,}60}$

$\ \mathrm{{y_S}=35{,}04}$

Das maximale Volumen der Pyramide $\mathrm{P_0Q_0R_0M}$ beträgt: $\boxed{\mathrm{V_{P_0Q_0R_0M}=35{,}04\ cm^3}}$

Volumen Prisma: $\ \mathrm{V_{ABCDEF}=\dfrac{\overline{BC}\cdot \overline{AM}{2}\cdot\overline{AD}}\ \Rightarrow\ V_{ABCDEF}=\dfrac{14\cdot10}{2}\cdot6\ [cm^3}]$

$\hspace{26mm}\mathrm{V_{ABCDEF}=420\ cm^3}$

Berechnen des prozentualen Unterschieds von $\mathrm{V_{ABCDEF}}$ zu $\mathrm{V_{P_0Q_0R_0M}}$:

$\dfrac{420-35{,}04}{420}=0{,}9166$

Das Volumen der Pyramide ist um $\boxed{91{,}66\ \%}$ kleiner als das Volumen des Prismas.

$\ \mathrm{V_{P_2Q_2R_2M}=V_{P_3Q_3R_3M}=7{,}5\ cm^3}$

$\mathrm{-3{,}90x^2+23{,}38x=7{,}5\hspace{35mm}x\in\mathbb{R};\ 0<x<6}$

Löse die quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel.

$\ x_{1/2}=\dfrac{-23{,}38\pm\sqrt{23{,}38^2-4\cdot(-3{,}90\cdot-7{,}5)}}{2\cdot(-3{,}90)}$

$\ x_{1/2}=\dfrac{-23{,}38\pm\sqrt{546{,}62-117}}{-7{,}80}$

$\ \mathrm{x=0{,}34\qquad\lor\qquad x=5{,}65\hspace{25mm}\mathbb{L}=\{0{,}34;\ 5{,}64\}}$

Einzeichnen der Strecke $\mathrm{[P_4M].}$

$\ \mathrm{[P_nM]}$ in Abhängigkeit von $\text{x}:$

$1.$ Lösungsmöglichkeit:

$\ \mathrm{\overline{P_nM}(x)=\sqrt{(\overline{P_nN_n})^2+(\overline{N_nM})^2}\qquad\qquad \overline{P_nN_n}=1{,}67x\qquad \overline{N_nM}=(6-x)}$

$\ \mathrm{\overline{P_nM}(x)=\sqrt{(1{,}67x)^2+(6-x)^2}\ cm}\hspace{20mm}\text{x}\in\mathbb{R};\ \mathrm{0<x<6}$

$\ \mathrm{\overline{P_nM}(x)=\sqrt{3{,}79x^2-12x+36}~\text{cm}}$

Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{P_4M}}:$

Da es sich bei dem Funktionsgraphen von $\mathrm{(\overline{P_nM})^2}$ um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, entspricht der Funktionswert des Scheitels $\mathrm{y_S}$ dem Quadrat der minimalen

Länge der Strecke $\mathrm{\overline{P_4M}}.$

Berechnen des Funktionswertes $\mathrm{y_S}$ mit der Formel:

$\mathrm{y_S=c-\dfrac{b^2}{4\cdot a}\ \Rightarrow\ y_S=36-\dfrac{12^2}{4\cdot 3{,}79}\ cm^2}$

$\ \mathrm{y_S=26{,}50\ cm^2}$

$\mathrm{(\overline{P_4M})^2=26{,}50\ cm^2\ \Rightarrow\ \overline{P_4M}=\sqrt{26{,}50\ cm^2}}$

$\ \mathrm{\overline{P_4M}=5{,}15\ cm}$

$\rule{12cm}{0.5mm}$

$2.$ Lösungsmöglichkeit:

Das Dreieck $\mathrm{\vartriangle{AMP_4}}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, der Winkel $\mathrm{\sphericalangle{AMP_4}}$ ist bekannt,

siehe Lösung zur Aufgabe $\mathrm{2a).}$ $\mathrm{\overline{P_4M}}$ ist dann die Ankathete und $\mathrm{\overline{AM}}$ ist die Hypotenuse

dieses Dreiecks.

$\mathrm{\cos\sphericalangle{AMP_4}=\dfrac{\overline{P_4M}}{\overline{AM}}\ \Rightarrow\ \overline{P_4M}=\cos\sphericalangle{AMP_4}\cdot\overline{AM}}$

$\ \mathrm{\overline{P_4M}=10\ cm\cdot cos\ 59{,}04^{\circ}\ \Rightarrow\ \overline{P_4M}=10\ cm\cdot 0{,}5144}$

$\ \mathrm{\overline{P_4M}=5{,}14\ cm}$

Der Unterschied der Ergebnisse kommt daher, dass der in der $1.$ Lösungsmöglichkeit

verwendet Wert $(1{,}67)$ aufgerundet ist.