Grenzwert für $x\to \mathrm{\infty }x\backslash to\; \backslash infty$

Eine grobe Skizze hilft dir dabei, dir den Graphen besser vorzustellen. Für das Unendlichkeitsverhalten interessiert dich dabei nur die Spiegelung und die Verschiebung in y-Richtung.

Der Graph von $f(x)=2\cdot e^{-x+1}-1f(x)=2\backslash cdot\; e^\{-x+1\}\{\backslash color\{green\}-1\}$ hat die Asymptote $y_A=-1y\_A=-1$ (Verschiebung um 1 nach unten)

Der Graph ist nicht an der x-Achse gespiegelt, aber an der y-Achse (da $e^{-x}e^\{-x\}$).

Verwende den Schieberegler im Applett, um dir die beiden Veränderungen und ihren Einfluss auf die Wertemenge anzuschauen. Am Ende siehst du den tatsächlichen Graph mit uneingeschränkter Definitionsmenge:

Da der Graph von oben kommend streng monoton fällt, nähert er sich also für $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash to\; +\backslash infty$ seiner Asymptote an:

$li{m}_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=-1lim\_\{x\backslash to\; +\backslash infty\}f(x)=-1$

Funktionswert am linken Rand

Der linke Rand der Definitionsmenge $D_f=[1;+\mathrm{\infty }[D\_f=[1;+\backslash infty[$ ist eingeschlossen, deshalb gibt es dort ein Randextremum, das direkt in der Wertemenge vorkommt. Setze $x=1x=1$ in den Term ein:

$f(1)=2\cdot e^{-1+1}-1=2\cdot e^0-1=2-1=1f(1)=2\backslash cdot\; e^\{-1+1\}-1=2\backslash cdot\; e^0-1=2-1=1$

Wertemenge angeben

Der Graph nähert sich der Asymptote $y_A=-1y\_A=-1$ an und hat als größten Funktionswert im Definitionsbereich $y=1y=1$. Daraus ergibt sich die Wertemenge $W=]-1;1]W=]-1;1]$.