Eine grobe Skizze hilft dir dabei, dir den Graphen besser vorzustellen. Für das Unendlichkeitsverhalten interessiert dich dabei nur die Spiegelung und die Verschiebung in y-Richtung.
Der Graph von hat die Asymptote (Verschiebung um 1 nach unten)
Der Graph ist nicht an der x-Achse gespiegelt, aber an der y-Achse (da ).
Verwende den Schieberegler im Applett, um dir die beiden Veränderungen und ihren Einfluss auf die Wertemenge anzuschauen. Am Ende siehst du den tatsächlichen Graph mit uneingeschränkter Definitionsmenge:
Da der Graph von oben kommend streng monoton fällt, nähert er sich also für seiner Asymptote an:
Funktionswert am linken Rand
Der linke Rand der Definitionsmenge ist eingeschlossen, deshalb gibt es dort ein Randextremum, das direkt in der Wertemenge vorkommt. Setze in den Term ein:
Wertemenge angeben
Der Graph nähert sich der Asymptote an und hat als größten Funktionswert im Definitionsbereich . Daraus ergibt sich die Wertemenge .
Da der Definitionsbereich eingeschränkt ist, muss man mehrere Sachen einbeziehen:
Wie ist das Verhalten für , also für große x-Werte? (Globalverlauf)
Dabei musst du beachten, dass der Funktionsgraph sowohl gespiegelt als auch verschoben wurde (Die Streckung um den Faktor 2 ist für den Grenzwert nicht relevant).
Der Graph hat außerdem keine weiteren Extrempunkte neben dem Randextremum, da es sich um eine einfache Exponentialfunktion der Form handelt.