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Teil 1 Analysis

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Die Aufgabenstellungen zum Ausdrucken findest du hier als PDF.

Die Aufgaben im ersten Teil der AbschlussprĂŒfung sind ohne Hilfsmittel (Taschenrechner, Merkhilfe oder Formelsammlung, Tafelwerk) zu lösen.

Versuch es also nur mit Blatt und Stift.

  1. 1

    Gegeben ist die lineare Funktoin g:x↩3x−1g:x\mapsto 3x-1 mit der Definitionsmenge Dg=RD_g=\mathbb R. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit GgG_g bezeichnet.

    1. Geben Sie die Nullstelle der Funktion g an und erstellen Sie eine Zeichnung vom Graphen GgG_g fĂŒr 0≀x≀20\leq x\leq 2 in einem kartesischen Koordinatensystem.

    2. Berechnen Sie ∫02g(x)dx\int_0^2g(x)dx und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch bezĂŒglich GgG_g.

  2. 2

    Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen GhG_h einer ganzrationalen Funktion h dritten Grades mit der Definitionsmenge Dh=RD_h=\mathbb R.

    Bild

    Entscheiden Sie anhand des Graphen GhG_h, ob die nachfolgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind. BegrĂŒnden Sie jeweils Ihre Entscheidung.

    Die Nullstellen und die Extremstellen von h sind ganzzahlig und können der Abbildung entnommen werden.

    1. Es gilt: hâ€Č(x)<0h'(x)<0 fĂŒr x∈]−2;1[x\in]-2;1[

    2. Der Graph der Stammfunktion H von h besitzt einen Terrassenpunkt

    3. Es gilt h(−2)+hâ€Č(0)>0h(-2)+h'(0)>0

  3. 3

    Eine nach oben geöffnete Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(2∣2k−1)S(2|2k-1) mit k∈Rk\in \mathbb R. Die zugehörige quadratische Funktion pk:x↩pk(x)p_k:x\mapsto p_k(x) ist auf ganz R\mathbb R definiert.

    Bestimmen Sie alle Werte fĂŒr k, sodass die Parabel die x-Achse genau zweimal schneidet.

  4. 4

    Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=2⋅e−x+1−1f(x)=2\cdot e^{-x+1}-1 und der Definitionsmenge Df=[1;∞[.D_f=[1;\infty[.

    Bestimmen Sie die Wertemenge von f.

  5. 5

    Lösen Sie die beiden folgenden Gleichungen ĂŒber der Grundmenge der reellen Zahlen

    1. x3−2x2+x=0x^3-2x^2+x=0

    2. (ex−2)2−4=0(e^x-2)^2-4=0

  6. 6

    Gegeben ist eine Modellfunktion zur Beschreibung der Entwicklung einer Bakterienpopulation im Labor durch B:t↩2⋅106⋅(12)tB:t\mapsto2\cdot10^6\cdot\left(\frac 1 2\right)^t mit t∈R0+t\in \mathbb R^+_0. Dabei steht die Variable t fĂŒr die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und B(t)B(t) fĂŒr die Bakterienzahl in einer Petrischale.

    Formulieren Sie eine mögliche Problemstellung im Sinne der vorliegenden Thematik, deren Lösung auf die Gleichung 0,4=(12)t10{,}4=\left( \frac 1 2\right )^{t_1} fĂŒhrt, und lösen Sie die Gleichung nach t1t_1 auf.


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