Teil 1 Analysis - lernen mit Serlo!

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Lösen Sie die beiden folgenden Gleichungen über der Grundmenge der reellen Zahlen

$x^3-2x^2+x=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln

$\displaystyle x^3-2x^2+x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Da auf der linken Seite in jedem Summand ein x vorkommt, kannst du ausklammern.
$\displaystyle x\left(x^2-2x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann 0 wird, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Betrachte also die Faktoren einzeln:

$x=0$ oder $x^2-2x+1=0$

Der vordere Teil ist bereits fertig. $x=0$ ist eine Lösung.

Weiter geht es mit dem hinteren Teil:

Die Mitternachtsformel funktioniert, aber am einfachsten ist die 2. binomische Formel
	↓
$\displaystyle x^2-2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	2. binomische Formel $a^2-2ab+b^2= (a-b)^2$
$\displaystyle \left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

Eine weitere Lösung liegt also bei $x-1=0$ , also bei $x=1$ .

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{0;1 \}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Prüfe zunächst, ob du ausklammern kannst.

Da du keine Hilfsmittel zur Verfügung hast, musst du die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) entweder auswendig können oder die binomische Formel erkennen.

$(e^x-2)^2-4=0$

$\displaystyle \left(e^x-2\right)^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle \left(e^x-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt
$\displaystyle e^x-2$	$=$	$\displaystyle \pm2$

Betrachte jede Gleichung einzeln

Diese Gleichung hat keine Lösung, denn $e^x>0$ (der Graph verläuft stets über der x-Achse)

Als nächstes $e^x-2=2$
	↓
$\displaystyle e^x-2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Löse mithilfe des natürlichen Logarithmus aus.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln4$

Es gibt also nur eine Lösung: $x=\ln 4$

Es gibt mehrere Wege zum Ziel. Ohne Hilfsmittel ist es jedoch am einfachsten, die Gleichung umzuformen.

Achtung: Wenn man die Klammer ausmultipliziert, muss man das Substitutionsverfahren verwenden. Diese Lösung zeigt einen alternativen Weg.