Teil 1 Analysis - lernen mit Serlo!

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_{h}$ einer ganzrationalen Funktion $h$ dritten Grades mit der Definitionsmenge $D_{h} = ℝ$ .

Entscheiden Sie anhand des Graphen $G_{h}$ , ob die nachfolgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. (3 BE)

Die Nullstellen und die Extremstellen von $h$ sind ganzzahlig und können der Abbildung entnommen werden.

Es gilt: $h^{'} (x) < 0$ für $x \in] - 2; 1 [$
Du siehst in der Abbildung, dass der Graph von $h$ nur zwischen $- 2 < x < 0$ fällt und danach wieder steigt.
Folglich ist die Aussage falsch, denn $h^{'} (x) > 0$ für $x \in] 0; 1 [$ .
Wenn du die Aussage für wahr gehalten hast, hast du vielleicht $h$ und $h^{'}$ verwechselt: Die Aussage $h (x) < 0$ für $x \in] - 2; 1 [$ ist nämlich wahr.
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Du brauchst Wissen über den Zusammenhang vom Graph einer Funktion und seiner Ableitung:
Fällt $G_{h}$ in einem Intervall, so verläuft $G_{h^{'}}$ in diesem Intervall unterhalb der x-Achse.
Umgekehrt verläuft $G_{h^{'}}$ oberhalb der x-Achse, also $h^{'} (x) > 0$ falls $G_{h}$ in diesem Intervall streng monoton steigt.
Der Graph der Stammfunktion $H$ von $h$ besitzt einen Terrassenpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Die Aussage ist folglich korrekt. Bei $x = - 2$ hat $G_{h}$ eine doppelte Nullstelle, also hat der Graph von $G_{H}$ dort eine waagerechte Tangente aber eben keine Extremstelle. Es ist also ein Terrassenpunkt.
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Für diese Aufgabe musst du den Zusammenhang zwischen dem Graphen einer Funktion und ihrer Stammfunktion kennen.
Hat der Graph einer Funktion eine doppelte Nullstelle, so hat seine Stammfunktion dort einen Terrassenpunkt.
Es gilt $h (- 2) + h^{'} (0) > 0$
Du kannst direkt aus dem Graphen ablesen, dass $h (- 2) = 0$ .
Bei $x = 0$ hat der Graph von $h$ eine Extremstelle, deshalb gilt dort $h^{'} (0) = 0$ .
Insgesamt ist die Aussage also falsch, denn $h (- 2) + h^{'} (0) = 0 + 0 = 0$ und somit ist der Wert nicht größer als $0$ .
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Funktionswerte von $h$ kannst du der Abbildung direkt entnehmen.
Funktionswerte von $h^{'}$ kannst du über die Tangenten bekommen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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