Teil 1 Analysis - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die lineare Funktoin $g : x \mapsto 3 x - 1$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.

Geben Sie die Nullstelle der Funktion $g$ an und erstellen Sie eine Zeichnung vom Graphen $G_{g}$ für $0 \leq x \leq 2$ in einem kartesischen Koordinatensystem. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktion
Nullstelle
Die Nullstelle ist bei $x = \frac{1}{3}$ .
Zeichnung des Graphen
Verwende z.B. den y-Achsenabschnitt $T (0 | - 1)$ und die Nullstelle $N (\frac{1}{3} | 0)$ und verbinde die beiden Punkte. Achte darauf, dass deine y-Achse groß genug ist
( $- 1 \leq x \leq 5$ ).
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Im Idealfall kannst du die Nullstelle im Kopf bestimmen. Falls nicht: Setze den Term mit Null gleich und löse durch Umformen
Zeichne den Graphen, z.B. mithilfe der Nullstelle und des y-Achsenabschnitts.
Berechnen Sie $\int_{0}^{2} g (x) d x$ und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch bezüglich $G_{g}$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bestimmtes Integral berechnen
Wert des bestimmten Integrals
Um den Wert des Integrals zu berechnen, brauchst du eine Stammfunktion von g. Eine mögliche Stammfunktion ist $G (x) = 1,5 x^{2} - x$ .
Verwende diese bei der Berechnung des Integrals:
$\int_{0}^{2} g (x) d x$ $=$ ${[G (x)]}_{0}^{2}$
$=$ ${[1,5 x^{2} - x]}_{0}^{2}$
↓
Berechne $G (2) - G (0)$
$=$ $(1,5 \cdot 2^{2} - 2) - (1,5 \cdot 0^{2} - 0)$
$=$ $4$
Geometrische Interpretation
Integrale werden häufig zur Berechnung von Flächeninhalten verwendet. Da hier allerdings ein Teil der Fläche unterhalb der x-Achse liegt und ein anderer Teil oberhalb, hast du gerade nicht den Flächeninhalt berechnet, sondern die Flächenbilanz.
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Berechne den Wert des bestimmten Integrals. Dazu musst du die Stammfunktion bilden und den Wert der Obergrenze minus den Wert der Untergrenze rechnen
Beim Interpretieren kannst du dir zum Beispiel überlegen, wie du das Integral im Graph veranschaulichen würdest.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\int_{0}^{2} g (x) d x$	$=$	${[G (x)]}_{0}^{2}$
	$=$	${[1,5 x^{2} - x]}_{0}^{2}$
	↓	Berechne $G (2) - G (0)$
	$=$	$(1,5 \cdot 2^{2} - 2) - (1,5 \cdot 0^{2} - 0)$
	$=$	$4$

Nullstelle

Zeichnung des Graphen

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Wert des bestimmten Integrals

Geometrische Interpretation

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