Wahlteil - lernen mit Serlo!

Der schiefe Turm von Pisa ist geneigt. Der Winkel $𝛼$ beträgt $4 °$ .

Die Aussichtsplattform im 7. Stockwerk hat an der geneigten Seite eine Höhe von $h = 47,27 m$ über dem Boden.

Berechne die Entfernung x vom Fußpunkt des Turmes bis zur Aussichtsplattform.
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Gleichung mit Kosinus
Im rechtwinkligen Dreieck sind
$h$ , die Ankathete gegeben
$x$ , die Hypotenuse gesucht
Wir verwenden Kosinus:
$\cos α = \frac{h}{x}$
Skizze aus Aufgabenstellung
Berechne die Länge $x$
$\cos α$ $=$ $\frac{h}{x}$ $\cdot x$
$\cos α \cdot x$ $=$ $h$ $: \cos α$
$x$ $=$ $\frac{h}{\cos α}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{47,27}{\cos 4 °}$
$\approx$ $47,39$
Die Entfernung $x$ beträgt $47,39 m$ .
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Stelle eine Gleichung mithilfe der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus oder Tangens auf.
Berechne $x$ aus dieser Gleichung.
Berechne den Überhang $y$ des Turmes. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Überhang $y$
Wir berechnen $y$ mit dem Satz des Pythagoras.
$x^{2}$ $=$ $h^{2} + y^{2}$ $- h^{2}$
$y^{2}$ $=$ $x^{2} - h^{2}$
↓
Einsetzen
$=$ ${47,39}^{2} - {47,27}^{2}$ $\sqrt{}$
$y$ $=$ $\sqrt{{47,39}^{2} - {47,27}^{2}}$
$\approx$ $3,37$
Der Überhang $y$ beträgt $3,37 m$ .
VorsichtWert des Ergebnis
Je nach Wahl der Rechenmethode und Rundungen, kann das Ergebnis etwas abweichen.
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Bestimme $y$ mithilfe der Winkelfunktionen oder dem Satz des Pythagoras.
Der schiefe Turm von Suurhusen in Ostfriesland hat bei einer Höhe von 23,37 m über dem Boden einen
Überhang von 2,47 m.
Entscheide mithilfe einer Rechnung, welcher der beiden Türme im Guinness-Buch der Rekorde als schiefster Turm stehen müsste. (3 BE)
Quelle
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck am Turm von Suurhusen
Winkel $α$
$\tan α$ $=$ $\frac{2,47}{23,37}$ $\tan^{- 1} ()$
$α$ $=$ $\tan^{- 1} (\frac{2,47}{23,37})$
$\approx$ $6,03$
Der Winkel des Turms in Suurhusen ist größer als der des schiefen Turms von Pisa.
Streng genommen müsste dieser Turm im Guinessbuch der Rekorde stehen.
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Bestimme ein rechtwinkliges Dreieck, wie in der Aufgabenstellung.
Berechne den Winkel $α$ in diesem Dreieck, um mit dem Winkel des Turms in Pisa zu vergleichen.
Zeige mithilfe der Abbildung, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC mit $γ = 90 °$ gilt:
(2 BE)
$\sin (α) = \cos (β)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
$\sin α$ :
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$\sin α = \frac{Gegenkathete}{H y p o t e n u s e} = \frac{a}{c}$
Skizze
$\cos β$ :
$\cos β = \frac{Ankathete}{H y p o t e n u s e} = \frac{a}{c}$
Skizze
Insgesamt ist also:
$\sin α = \frac{a}{c} = \cos β$
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Bestimme $α$ aus Gegenkathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.
Bestimme $β$ aus Ankathete und Hypotenuse.
Vergleiche

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$\cos α$	$=$	$\frac{h}{x}$	$\cdot x$
$\cos α \cdot x$	$=$	$h$	$: \cos α$
$x$	$=$	$\frac{h}{\cos α}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{47,27}{\cos 4 °}$
	$\approx$	$47,39$

$x^{2}$	$=$	$h^{2} + y^{2}$	$- h^{2}$
$y^{2}$	$=$	$x^{2} - h^{2}$
	↓	Einsetzen
	$=$	${47,39}^{2} - {47,27}^{2}$	$\sqrt{}$
$y$	$=$	$\sqrt{{47,39}^{2} - {47,27}^{2}}$
	$\approx$	$3,37$

$\tan α$	$=$	$\frac{2,47}{23,37}$	$\tan^{- 1} ()$
$α$	$=$	$\tan^{- 1} (\frac{2,47}{23,37})$
	$\approx$	$6,03$

Gleichung mit Kosinus

Berechne die Länge x

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Überhang y

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Rechtwinkliges Dreieck

Winkel α

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sin⁡α:

cos⁡β:

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Berechne die Länge $x$

Überhang $y$

Winkel $α$

$\sin α$ :

$\cos β$ :