Wahlteil

🎓 Prüfungsbereich für Niedersachsen

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Wichtig: Für die Aufgaben hier gelten andere Nutzungbedingungen.

Aufgaben des Teil 2 mit Wahlteil (ab S. 6) der Realschulprüfung 2021. Zum Download hier.

Ein Kegel wird halbiert.

Der halbe Kegel hat den Radius $r=6\ cm$ und die Höhe $h_k=12\ cm$ .

Berechne die Länge der Mantellinie s. (2 BE)

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Körpers (halber Kegel). (4 BE)

(Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $s=13{,}21cm$ weiter.)

Berechne das Volumen des halben Kegels. (2 BE)

Stelle für einen anderen halben Kegel mit $h_k=2r$ eine allgemeine Volumenformel in Abhängigkeit von $r$ auf und fasse sie so weit wie möglich zusammen. (2 BE)

Lea steht an der Grundlinie eines Volleyballfeldes und schlägt den Ball auf.

Der Graph im Diagramm beschreibt annähernd die parabelförmige Flugbahn dieses Volleyballs. Er hat die Funktionsgleichung $y=-0{,}02(x-6)^2+2{,}5$ .

Ergänze den folgenden Satz. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Richtiger Satz
Der Volleyball erreicht nach 6 m seine maximale Höhe von 2,5 m.
Dieser Punkt kann aus der Skizze abgelesen werden.
Der Scheitel der Parabel liegt bei $(6\mid 2{,}5)$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Verwende die Skizze aus der Aufgabenstellung.
Lies den Scheitelpunkt der Parabel ab und fülle die Lücken aus.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist die Aufschlaghöhe des Balles.

Berechne die Aufschlaghöhe des Balles. (2 BE)

In der Mitte des 18 m langen Spielfeldes steht das Volleyballnetz. Es ist 2,04 m hoch.

Fliegt der Ball über das Netz? Begründe deine Antwort mithilfe einer Rechnung. (3 BE)

Entscheide mithilfe einer Rechnung, ob der Ball im Spielfeld landet. (3 BE)

Lars spielt mit einem Kartenspiel aus 20 Karten. In dem Kartenspiel sind drei Karten „Joker“. Lars zieht nacheinander zwei Karten.

Entscheide anhand des Baumdiagramms, ob Lars die erste gezogene Karte in das Kartenspiel zurückgelegt hat oder nicht. Begründe deine Entscheidung. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Urnenmodell
Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe
Die Wahrscheinlichkeit für "kein Joker" in der zweiten Stufe beträgt $\dfrac{16}{19}$ .
Der Nenner gibt an, dass sich nur noch $19$ Karten im Spiel befinden, wovon $16$ Joker sind.
Lars hat die erste Karte nicht zurückgelegt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Betrachte die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe.
Entscheide ob hier mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Lars zweimal hintereinander keinen Joker zieht. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Wert der Wahrscheinlichkeit
Im Baumdiagramm entnehmen wir die beiden Werte für "kein Joker":
$\dfrac{17}{20}$ im ersten Zug
$\dfrac{16}{19}$ im zweiten Zug
Die Wahrscheinlichkeit zweimal keinen Joker zu ziehen ist damit:
$P("\text{zwei mal keinen Joker}")=\dfrac{17}{20}\cdot\dfrac{16}{19}=\dfrac{68}{95}\approx 71{,}58 ~\%$
Baumdiagramm aus (a).
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Verwende das Baumdiagramm aus Teilaufgabe (a).
Berechne das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
Ergänze im Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Vollständiges Baumdiagramm
Baumdiagramm
BeachteBaumdiagramm
Die Wahrscheinlichkeiten aus einem Knoten ergeben zusammen immer $1$ .
Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändern sich die Wahrscheinlichkeiten.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Verwende die Knotenregel: Die Wahrscheinlichkeiten, die aus einem Knoten kommen, ergeben zusammen $1$ .
Beachte, dass hier gezogen wird, ohne zurückzulegen.

Lars gewinnt, wenn er bei zweimaligem Ziehen mindestens einen Joker bekommt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er gewinnt. Gib die Wahrscheinlichkeit in Prozent an. (2 BE)

Nora zieht Karten aus demselben Kartenspiel. Sie berechnet eine Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit $P=1-\frac{17}{20}\cdot\frac{16}{19}$ .
Beschreibe ein passendes Ereignis zu Noras Rechnung. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
Das Baumdiagramm
Baumdiagramm
Die Wahrscheinlichkeit, die mit $\frac{17}{20}\cdot\frac{16}{19}$ berechnet wird ist: "kein Joker - kein Joker"
Das Ereignis
Da hier ein Gegenereignis formuliert ist, ist das gesuchte Ereignis:
Nora zieht zwei Karten und davon mindestens einen Joker.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Bestimme den Pfad im Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten $\frac{17}{20},~\frac{16}{19}$
Gib das Ereignis dieses Pfades an.
Beachte, dass hier ein Gegenereignis formuliert ist.

Der schiefe Turm von Pisa ist geneigt. Der Winkel $𝛼$ beträgt $4°$ .

Die Aussichtsplattform im 7. Stockwerk hat an der geneigten Seite eine Höhe von $h=47{,}27\ m$ über dem Boden.

Berechne die Entfernung x vom Fußpunkt des Turmes bis zur Aussichtsplattform.

(3 BE)

Berechne den Überhang $y$ des Turmes. (2 BE)

Der schiefe Turm von Suurhusen in Ostfriesland hat bei einer Höhe von 23,37 m über dem Boden einen

Überhang von 2,47 m.

Entscheide mithilfe einer Rechnung, welcher der beiden Türme im Guinness-Buch der Rekorde als schiefster Turm stehen müsste. (3 BE)

Zeige mithilfe der Abbildung, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC mit $γ=90°$ gilt:
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
$\sin\alpha$ :
Skizze
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{Hypotenuse}=\dfrac{a}{c}$
$\cos\beta$ :
Skizze
$\cos\beta=\dfrac{\text{Ankathete}}{Hypotenuse}=\dfrac{a}{c}$
Insgesamt ist also:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Bestimme $\alpha$ aus Gegenkathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.
Bestimme $\beta$ aus Ankathete und Hypotenuse.
Vergleiche

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle s^2$	$=$	$\displaystyle h_K^2+r^2$
	$=$	$\displaystyle 12^2+6^2$
	$=$	$\displaystyle 180$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle \sqrt{180}$
	$=$	$\displaystyle 13{,}416...$

$\displaystyle A_{Mantel}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\pi\cdot r\cdot s$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\pi\cdot6\cdot13{,}42$
	$≈$	$\displaystyle 126{,}48$

Die Grundseite $g$ ist $2r$
	↓
$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(2r\right)\cdot h_k$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot12\cdot12$
	$=$	$\displaystyle 72$

$\displaystyle A_{Halbkreis}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\pi r^2$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot6^2$
	$≈$	$\displaystyle 56{,}55$

$\displaystyle V_{K/2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}{2}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot G\cdot h$
	↓	Grundfläche ist ein Kreis
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \pi r^2\cdot h$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \pi \cdot6^2\cdot 12$
	$≈$	$\displaystyle 226{,}19$

Setze $x=0$ im Term
	↓
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}02\cdot(0-6)^2+2{,}5$
	$=$	$\displaystyle -0{,}02\cdot6^2+2{,}5$
	↓	Berechne
	$=$	$\displaystyle 1{,}78$

Setze den x-Wert ein
	↓
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}02\cdot(9-6)^2+2{,}5$
	$=$	$\displaystyle -0{,}02\cdot3^2+2{,}5$
	$=$	$\displaystyle 2{,}32$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}02\cdot(x-6)^2+2{,}5$
	↓	Setze den Term gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -0{,}02\cdot(x-6)^2+2{,}5$	$\displaystyle -2{,}5$
	↓	Berechne den Wert für $x$ .
$\displaystyle -2{,}5$	$=$	$\displaystyle -0{,}02\cdot(x-6)^2$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle 2{,}5$	$=$	$\displaystyle 0{,}02\cdot(x-6)^2$	$\displaystyle :0{,}02$
$\displaystyle 125$	$=$	$\displaystyle (x-6)^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle \sqrt{125}$	$=$	$\displaystyle x-6$	$\displaystyle +6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{125}+6$
	$≈$	$\displaystyle 17{,}18$

$\displaystyle P("\text{Mindestens einen Joker}")$	$=$	$\displaystyle 1-P("\text{keinen Joker}")$
	↓	Ergebnis aus Teilaufgabe b einsetzen
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{68}{95}$
	$=$	$\displaystyle \frac{27}{95}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}28421...$
	$≈$	$\displaystyle 28{,}42\%$

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle \cos\alpha\cdot x$	$=$	$\displaystyle h$	$\displaystyle :\cos\alpha$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{\cos\alpha}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{47{,}27}{\cos4°}$
	$≈$	$\displaystyle 47{,}39$

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle h^2+y^2$	$\displaystyle -h^2$
$\displaystyle y^2$	$=$	$\displaystyle x^2-h^2$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle 47{,}39^2-47{,}27^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \sqrt{47{,}39^2-47{,}27^2}$
	$≈$	$\displaystyle 3{,}37$

$\displaystyle \tan\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{2{,}47}{23{,}37}$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\frac{2{,}47}{23{,}37}\right)$
	$≈$	$\displaystyle 6{,}03$

Wahlteil

Rechtwinkliges Dreieck

Länge der Mantellinie sss

Hast du eine Frage oder Feedback?

Mantelfläche des halben Kegels

Fläche des Dreiecks

Fläche der Grundseite

Gesamt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Richtiger Satz

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wert der Aufschlaghöhe

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

x-Koordinate des Aufpralls

Vergleich mit der Länge des Spielfelds

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wert der Wahrscheinlichkeit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Vollständiges Baumdiagramm

Hast du eine Frage oder Feedback?

Das Gegenereignis

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Hast du eine Frage oder Feedback?

Das Baumdiagramm

Das Ereignis

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gleichung mit Kosinus

Berechne die Länge xxx

Hast du eine Frage oder Feedback?

Überhang yyy

Hast du eine Frage oder Feedback?

Rechtwinkliges Dreieck

Winkel α\alphaα

Hast du eine Frage oder Feedback?

sin⁡α\sin\alphasinα:

cos⁡β\cos\betacosβ:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Länge der Mantellinie $s$

Berechne die Länge $x$

Überhang $y$

Winkel $\alpha$

$\sin\alpha$ :

$\cos\beta$ :