Aufgaben zur Normalverteilung - lernen mit Serlo!

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Für den Ebolavirus wird nach Einschätzung der Statistiker bei 8 % der Bevölkerung eine ärztliche Behandlung notwendig sein. Ein Großhandel möchte für die Apotheken einer Kreisstadt mit 20 000 Einwohnern Behandlungsmaterialien im Voraus bestellen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden maximal 1500 Behandlungsmaterialien benötigt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung

Die Anzahl der benötigten Behandlungsmaterialien ist binomialverteilt mit Erwartungswert $n\cdot p=20000\cdot 0{,}08=1600$ und Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{20000\cdot0{,}08\cdot0{,}92}\approx38{,}37$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 1500 Behandlungsmaterialien benötigt werden, also $P(X\leq 1500)$ .

$\displaystyle \displaystyle P(X\leq k)$	$≈$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$
	↓	Setz die Werte ein.
$\displaystyle \displaystyle P(X\leq 1500)$	$≈$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{1500+0{,}5-1600}{38{,}37}\right)$
	↓	Vereinfache.
	$≈$	$\displaystyle \Phi(-2{,}59)$
	$≈$	$\displaystyle 1 - \Phi(2{,}59)$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$≈$	$\displaystyle 1-0{,}99520$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}0048$

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchsten 1500 Behandlungsmaterialien benötigt werden, beträgt also etwa $0{,}48\%$ .

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Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 1350 Behandlungsmaterialien benötigt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung

Die Anzahl der benötigten Behandlungsmaterialien ist binomialverteilt mit Erwartungswert $n⋅p=20000⋅0{,}08=1600$ und Standardabweichung $σ=\sqrt{n⋅p⋅(1−p)}=\sqrt{20000⋅0{,}08⋅0{,}92}≈38{,}37$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $1350$ Behandlungsmaterialien benötigt werden, also $P(1350\geq X)$ .

$\displaystyle \displaystyle P( X \geq k)$	$=$	$\displaystyle 1-P(X < k)$
	↓	Setz die Werte ein.
	$≈$	$\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{k-1+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$
$\displaystyle \displaystyle P(X\geq 1350)$	$=$	$\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{1349+0{,}5-1600}{38{,}37}\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 1-\Phi(-6{,}53)$
	↓	Nutz die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
	$=$	$\displaystyle 1-(1-\Phi(6{,}53))$
	$=$	$\displaystyle 1-1+\Phi(6{,}53)$
	$=$	$\displaystyle \Phi(6{,}53)$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$≈$	$\displaystyle 1$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $1350$ Behandlungsmaterialien benötigt werden, beträgt also genau $100\%$ .

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Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Zahl der benötigten Behandlungsmaterialien um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung

Die Anzahl der benötigten Behandlungsmaterialien ist binomialverteilt mit Erwartungswert $n⋅p=20000⋅0{,}08=1600$ und Standardabweichung $σ=\sqrt{n⋅p⋅(1−p)}=\sqrt{20000⋅0{,}08⋅0{,}92}≈38{,}37$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Anzahl der benötigten Behandlungsmaterialien um höchstens die Standardabweichung vom Erwartungswert unterscheidet, also $P(1600-38{,}37\leq X \leq 1600+38{,}37)$ .

$\displaystyle P(l\le X\le k)$	$=$	$\displaystyle P(X\le k)−P(X\le l)$
	↓	Nähere mit der Normalverteilung an.
	$≈$	$\displaystyle Φ\left(\frac{k+0{,}5−μ}{σ}\right)−Φ\left(\frac{l−0{,}5−μ}{σ}\right)$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{1638{,}37+0{,}5-1600}{38{,}37}\right)-\Phi\left(\frac{1561{,}63-0{,}5-1600}{38{,}37}\right)$
	↓	Vereinfache.
	$≈$	$\displaystyle \Phi(1{,}01)-\Phi(-1{,}01)$
	↓	Nutz die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
	$=$	$\displaystyle \Phi(1{,}01)-(1-\Phi(1{,}01))$
	↓	Lies die Werte im Tafelwerk der Stochastik nach.
	$=$	$\displaystyle 0{,}8438-(1-0{,}8438)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6876$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Anzahl der benötigten Behandlungsmaterialien um höchstens die Standardabweichung vom Erwartungswert unterscheidet, ist also etwa $68{,}76\%$ .

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