Aufgaben zur Normalverteilung - lernen mit Serlo!

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Nach einer gängigen Definition gilt ein Haushalt als arm, wenn er über weniger als 50% des bundesweiten Durchschnittseinkommens verfügt.

Wie viel Prozent aller Haushalte gelten als arm, wenn der bundesweite Durchschnitt 3000€ beträgt und die Standardabweichung 1600€?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung

Das Einkommen ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswert $μ=3000$ und Standardabweichung $σ=1600$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Einkommen weniger als 1500€ beträgt, also $P(X≤1500)$ .

$\displaystyle \displaystyle P(X≤k)$	$=$	$\displaystyle Φ\left(\frac{k−μ}σ\right)$
	↓	Setz die Werte ein.
$\displaystyle \displaystyle P(X\leq 1500)$	$≈$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{1500-3000}{1600}\right)$
	↓	Vereinfache.
	$≈$	$\displaystyle \Phi(-0{,}9375)$
	$≈$	$\displaystyle 1-\Phi(0{,}9375)$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$≈$	$\displaystyle 1-0{,}8264$
	$=$	$\displaystyle 0{,}1736$

Es gelten also etwa 17,36% aller Haushalte als arm.

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Wie hoch ist mindestens das Einkommen der wohlhabendsten 5% Haushalte, wenn das Durchschnittseinkommen 2500€ und die Standardabweichung 1000€ beträgt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung

Das Einkommen ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswert $μ=2500$ und Standardabweichung $σ=1000$ . Das Einkommen wird in dieser Aufgabe mit e abgekürzt. Gesucht ist das Einkommen (e), welches nur 5% der Haushalte mindestens verdienen, also $P(e\le X)=0{,}05$ .

$\displaystyle P(e\le X)$	$=$	$\displaystyle 0{,}05$
	↓	Nutze die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
$\displaystyle 1-P(X\leq e)\displaystyle$	$=$	$\displaystyle 0{,}05$
	↓	Nähere mit der Normalverteilung an.
$\displaystyle \displaystyle1-\Phi\left(\frac{e-\mu}{\sigma}\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}05$
	↓	Setz die Werte ein.
$\displaystyle \displaystyle 1-\Phi\left(\frac{e-2500}{1000}\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}05$	$\displaystyle -1 \cdot (-1)$
	↓	Forme um.
$\displaystyle \displaystyle\Phi\left(\frac{e-2500}{1000}\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}95$	$\displaystyle \Phi^{-1}$
	↓	Wende die Inverse der Verteilungsfunktion an.
$\displaystyle \displaystyle\frac{e-2500}{1000}$	$=$	$\displaystyle \Phi^{-1}(0{,}95)$	$\displaystyle \cdot 1000 + 2500$
	↓	Forme nach $e$ um.
$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle 1000\cdot\Phi^{-1}(0{,}95)+2500$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle 1000\cdot1{,}645+2500$
$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle 4145$

Ein Haushalt ist also wohlhabend, wenn er mindestens ein Einkommen von etwa $4145€$ hat.

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