Bilde die ersten beiden Ableitungen:

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+2x-1$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x+2$

Damit ein lokales Extremum existiert, muss die notwendige Bedingung $f^{\prime }\left(x\right)=0$ erfüllt sein:

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

$3x^2+2x-1=0$

$x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$

$x_1=-\frac{1}{3}+\sqrt{(\frac{1}{3}{)}^2+\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{3}{9}}=\frac{1}{3}$

$x_2=-\frac{1}{3}-\sqrt{(\frac{1}{3}{)}^2+\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}-\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{3}{9}}=-1$

Damit gibt es zwei Kandidaten für lokale Extrema. Falls die zweite Ableitung bei einem gefundenen Kandidaten ungleich Null ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt und es ist nachgewiesen, dass es sich um lokale Extremstellen handelt:

$f^{\prime \prime }(\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{3}+2=4$

Das ist echt größer als Null. Damit ist $x_1=\frac{1}{3}$ eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung größer Null ist, muss hier ein Minimum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch $x_1=\frac{1}{3}$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f\left(\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}+1=\frac{{22}^{}}{27}$

Also ist ein lokales Mininmum gefunden: $Min(\frac{1}{3};\frac{22}{27})$

Nun noch für $x_2=-2$ das gleiche Vorgehen:

$f^{\prime \prime }(-1)=6\cdot (-1)+2=-4$

Das ist echt kleiner als Null. Damit ist $x_2=-1$ eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, muss hier ein Maximum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch $x_2=-1$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f(-1)={(-1)}^3+{(-1)}^2-(-1)+1=2$

Also ist ein lokales Maximum gefunden: $Max(-1;2)$