Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben sind die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array})$ mit $s \in ℝ$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A (4 | 0 | 0)$ und $B (6 | 0 | b)$ mit einer reellen Zahl $b$ .

Begründen Sie, dass $A$ nicht auf $g$ liegt. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Begründung
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array})$
Wir schauen uns die Gerade genau an. Die zweite Zeile, die beschreibt, wie sich die Gerade in Richtung $x_{2}$ verhält, lautet:
$x_{2} = 3 + s \cdot 0$
Das heißt, für alle Werte für $s \in ℝ$ ist die $x_{2}$ -Koordinate $x_{2} = 3$ .
Dann kann der Punkt $A (4 | 0 | 0)$ nicht auf $g$ liegen.
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Untersuche die zweite Zeile der Geraden.
Begründe, dass die $x_{2}$ -Koordinate der Gerade nie $0$ sein kann.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, die $g$ und $A$ enthält. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen
Vektoren aus der Gerade
Die Ebene hat in der Parameterform die Darstellung:
$E : \vec{x} = \vec{a} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$
wobei $\vec{v}, \vec{w}$ Richtungsvektoren sind und $\vec{a}$ der Stützvektor.
Wir übernehmen die Vektoren aus der Geraden:
$\vec{x} = \underset{Stützvektor}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array})}} + s \cdot \underset{Richtungsvektor}{\underset{⏟}{(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array})}}$
Zweiter Richtungsvektor
Der zweite Richtungsvektor kommt aus der Verbindung von $A$ mit dem Stützvektor von $g$ :
$(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array})$
Aufstellen der Ebene
Insgesamt ergibt sich für die Ebene:
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array})$
für $t, s \in ℝ$ .
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Verwende die Parameterform, um die Ebene darzustellen.
Übernehme die Vektoren aus der Geraden und berechne den zweiten Richtungsvektor mithilfe des Punktes $A$ .
Bestimmen Sie den Wert für $b$ so, dass $g$ und $h$ parallel zueinander sind. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Geradengleichung von $h$
Aus $A (4 | 0 | 0)$ und $B (6 | 0 | b)$ ergibt sich die Gerade:
$h : \vec{x}$ $=$ $\vec{O A} + t \cdot \vec{A B} für t \in ℝ$
↓
Einsetzen
$=$ $(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 - 4 \\ 0 - 0 \\ b - 0 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ b \end{array})$
Richtungsvektoren
Die beiden Richtungsvektoren müssen Vielfache voneinander sein, damit die Geraden $g$ und $h$ parallel sind:
$(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ b \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array}) \Rightarrow b = 10$
Der Faktor $k$ muss $2$ betragen, was die erste Zeile zeigt.
Der richtige Wert ist dann $b = 10$ .
Beachte
Es reicht auch aus, nur den Richtungsvektor von $h$ zu bestimmen.
Die Geraden sind wirklich parallel und nicht gleich, weil nach dem ersten Aufgabenteil der Punkt $A$ nicht auf $g$ liegt.
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Bestimme die Geradengleichung von $h$ .
Vergleiche die Richtungsvektoren von $g$ und $h$ .
Parallel bedeutet, dass die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$h : \vec{x}$	$=$	$\vec{O A} + t \cdot \vec{A B} für t \in ℝ$
	↓	Einsetzen
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 - 4 \\ 0 - 0 \\ b - 0 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ b \end{array})$

Aufgabe 5

Begründung

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Vektoren aus der Gerade

Zweiter Richtungsvektor

Aufstellen der Ebene

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Geradengleichung von h

Richtungsvektoren

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Geradengleichung von $h$