Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben sind die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)$ mit $s \in \mathbb{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A (4 ∣ 0 ∣ 0)$ und $B (6 ∣ 0 ∣ b)$ mit einer reellen Zahl $b$ .

Begründen Sie, dass $A$ nicht auf $g$ liegt. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Begründung
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)$
Wir schauen uns die Gerade genau an. Die zweite Zeile, die beschreibt, wie sich die Gerade in Richtung $x_{2}$ verhält, lautet:
$\displaystyle x_2=3+s\cdot 0$
Das heißt, für alle Werte für $s\in\mathbb{R}$ ist die $x_{2}$ -Koordinate $x_{2} = 3$ .
Dann kann der Punkt $A (4 ∣ 0 ∣ 0)$ nicht auf $g$ liegen.
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Untersuche die zweite Zeile der Geraden.
Begründe, dass die $x_{2}$ -Koordinate der Gerade nie $0$ sein kann.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, die $g$ und $A$ enthält. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen
Vektoren aus der Gerade
Die Ebene hat in der Parameterform die Darstellung:
$\displaystyle E:~\vec{x}=\overrightarrow{a}+s\cdot \overrightarrow{v}+t\cdot \overrightarrow{w}$
wobei $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ Richtungsvektoren sind und $\overrightarrow{a}$ der Stützvektor.
Wir übernehmen die Vektoren aus der Geraden:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\underbrace{\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)}_{\text{Stützvektor}}+s \cdot\underbrace{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)}_{\text{Richtungsvektor}}$
Zweiter Richtungsvektor
Der zweite Richtungsvektor kommt aus der Verbindung von $A$ mit dem Stützvektor von $g$ :
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)$
Aufstellen der Ebene
Insgesamt ergibt sich für die Ebene:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} E:~\vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)$
für $t,s\in\mathbb{R}$ .
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Verwende die Parameterform, um die Ebene darzustellen.
Übernehme die Vektoren aus der Geraden und berechne den zweiten Richtungsvektor mithilfe des Punktes $A$ .

Bestimmen Sie den Wert für $b$ so, dass $g$ und $h$ parallel zueinander sind. (2 BE)

$\displaystyle h:\ \vec{x}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AB}\quad~\text{für }t\in\mathbb{R}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}6-4 \\ 0-0 \\ b-0\end{array}\right)$
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ b\end{array}\right)$

Aufgabe 5

Begründung

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Vektoren aus der Gerade

Zweiter Richtungsvektor

Aufstellen der Ebene

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Geradengleichung von hhh

Richtungsvektoren

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Geradengleichung von $h$