Pflichtteil

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1
Aufgabe 1
Gegeben ist die auf $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = 2 e^{x} - 4$ .
1. Berechnen Sie die Nullstelle von $f$ . (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
  Nullstelle berechnen
  Wir setzen die Funktionsgleichung gleich 0:
  $0$ $=$ $2 e^{x} - 4$ $+ 4$
  $4$ $=$ $2 e^{x}$ $: 2$
  $2$ $=$ $e^{x}$ $\ln ()$
  ↓
  Logarithmus anwenden, um Basis "wegzubekommen"
  $\ln (2)$ $=$ $x$
  Die Nullstelle ist $x = \ln (2)$ .
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  Setze die Funktionsgleichung gleich 0.
  Bestimme die Lösung für $x$ mithilfe des Logarithmus.
2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Tangente an $f$ bestimmen
  Der Graph von $f$ geht an der Stelle $x = 0$ durch die y-Achse:
  $f (0) = 2 \cdot e^{0} - 4 = 2 \cdot 1 - 4 = - 2$
  Die Steigung an der Stelle $x = 0$ ist gegeben durch die Ableitung:
  $f (x)$ $=$ $2 e^{x} - 4$
  ↓
  $e^{x}$ ist eigene Ableitung
  $f^{'} (x)$ $=$ $2 e^{x}$
  $f^{'} (0)$ $=$ $2 e^{0}$
  ↓
  $e^{0} = 1$
  $=$ $2$
  Wir setzen den Funktionswert und die Steigung in die Tangentenformel ein:
  $g (x)$ $=$ $f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$
  $=$ $2 \cdot (x - 0) - 2$
  $=$ $2 x - 2$
  Die Tangente hat also die Funktionsgleichung $g (x) = 2 x - 2$ .
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  Berechne den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der y-Achse.
  Bestimme die Steigung $f^{'} (0)$ und setze die Werte in die Tangentenformel ein.
2
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 2
Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ mit $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ .
1. Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{1} f (x) d x$ . (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
  Stammfunktion bestimmen und Integral berechnen
  Eine Stammfunktion von $f$ ist gegeben durch: $F (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{4} x^{4} = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4}$
  Wir berechnen damit das Integral:
  $\int_{0}^{1} f (x) d x$
  ↓
  Stammfunktion verwenden
  $=$ ${[\frac{1}{5} x^{5} - x^{4}]}_{0}^{1}$
  ↓
  Grenzen einsetzen
  $=$ $\frac{1}{5} 1^{5} - 1^{4} - 0$
  $=$ $\frac{1}{5} - 1$
  $=$ $- \frac{4}{5}$
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  Bestimme eine Stammfunktion $F$ von $f$ .
  Setze die Grenzen ein und berechne so das Integral.
2. Beurteilen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist: (3 BE)
  Für die Abbildung wurde eine Längeneinheit auf der $x$ -Achse ebenso groß gewählt wie auf der $y$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Aussage beurteilen
  Wir berechnen als Beispiel den Funktionswert $f (3) = 3^{4} - 4 \cdot 3^{3} = 81 - 108 = - 27$
  Die Länge der roten Strecke sind $27$ Längeneinheiten. Verglichen mit der blauen Strecke kann nicht der gleiche Maßstab verwendet worden sein.
  Die Aussage ist also falsch.
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  Berechne einen Funktionswert zwischen $0 < x < 4$ und begründe.
3
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 3
Die Abbildung zeigt den Punkt $P$ und den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ . Der Graph von $f$ hat die einzigen Extrempunkte $(- 1 | 1)$ und $(0 | 0)$ .
1. Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g (x) = 2 \cdot f (x - 3)$ .
  Geben Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ an. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verschieben in beliebige Richtung
  Koordinaten des Hochpunkts
  Der Graph wird um 3 Einheiten nach rechts verschoben:
  $H (- 1 | 1) \mapsto H (2 | 1)$
  Anschließend wird der Graph in y-Richtung gestreckt. Jeder y-Wert wird mit 2 multipliziert.
  $H (2 | 1) \mapsto H (2 | 2)$
  Der Hochpunkt des veränderten Graphen liegt bei $(2 | 2)$ .
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  Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts nach der Verschiebung in x-Richtung.
  Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts nach der Streckung.
2. Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch den Punkt $P$ .
  Skizzieren Sie diesen Graphen in der Abbildung. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
  Stammfunktion skizzieren
  Beim grafischen Integrieren gilt umgekehrt wie beim grafischen Ableiten:
  Nullstellen werden zu Extremstellen der Stammfunktion
  Extremstellen werden zu Wendestellen der Stammfunktion
  Ein Wendepunkt, welcher gleichzeitig ein Extrempunkt ist, ist ein Sattelpunkt. Dieser liegt im Punkt $P$ :
  Möglicher Graph der Stammfunktion
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  Beim grafischen Integrieren gilt umgekehrt wie beim grafischen Ableiten:
  Nullstellen werden zu Extremstellen der Stammfunktion
  Extremstellen werden zu Wendestellen der Stammfunktion
  Zeichne den Graphen in y-Richtung so hoch ein, dass er durch den Punkt $P$ verläuft.
4
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 4
Bei einem Spielautomaten gewinnt man in $30 %$ aller Spiele.
1. Es werden $10$ Spiele gespielt. Die Anzahl der gewonnenen Spiele ist binomialverteilt.
  Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnet werden kann: (3 BE)
  Es werden mindestens 2, aber weniger als 4 Spiele gewonnen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Ereignis
  "mindestens 2, aber weniger als 4 Spiele gewonnen" bedeutet, die Wahrscheinlichkeit $P (2 \leq X < 4)$ ist gesucht.
  Genauer sind es die Wahrscheinlichkeiten:
  $P (2 \leq X \leq 3) = P (X = 2) + P (X = 3)$
  Wahrscheinlichkeit
  Die Formel für die binomialverteilte Wahrscheinlichkeit lautet:
  $P (X = k)$ $=$ $(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
  ↓
  $n = 10$ Spiele
  $p = 0,3$ für einen Gewinn
  $k = 2, k = 3$ gesucht
  $P (2 \leq X \leq 3)$ $=$ $P (X = 2) + P (X = 3)$
  ↓
  Einsetzen
  $=$ $(\binom{10}{2}) {0,3}^{2} {0,7}^{8} + (\binom{10}{3}) {0,3}^{3} {0,7}^{7}$
  Es reicht hierbei, den Term anzugeben. Ausgerechnet wäre die Wahrscheinlichkeit: $P (2 \leq X \leq 3) \approx 0,2335 + 0,2668 = 0,5003$
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  Untersuche die Formulierung "mindestens 2, weniger als 4" und bestimme, welche Werte $X$ (gespielte Spiele) in diesem Ereignis annimmt.
  Verwende die Formel für die Binomialverteilung, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
2. Der Einsatz für ein Spiel beträgt $1 €$ . Gewinnt man ein Spiel, so werden $3 €$ ausgezahlt.
  Berechnen Sie den auf lange Sicht zu erwartenden Gewinn pro Spiel. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Erwartungswert berechnen
  Die möglichen Werte, die $Y$ annehmen kann sind $- 1$ und $3$ (man verliert einen Euro oder gewinnt 2).
  Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist gegeben durch $p = 0,3$ .
  Übersicht
  Y
  P(Y)
  $- 1 €$
  $0,7$
  $3 € - 1 € = 2 €$
  $0,3$
  Der Erwartungswert beträgt:
  $E [Y]$ $=$ $- 1 € \cdot 0,7 + 2 € \cdot 0,3$
  $=$ $- 0,1 €$
  Auf lange Sicht verliert man im Mittel pro Spiel $0,1 €$ .
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  Stelle die Gleichung für den Erwartungswert auf.
  $Y$ bezeichnet jetzt die möglichen Beträge, die gewonnen/verloren werden können.
  $E [Y] = \sum_{Y} Y \cdot P (Y)$
5
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 5
Gegeben sind die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array})$ mit $s \in ℝ$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A (4 | 0 | 0)$ und $B (6 | 0 | b)$ mit einer reellen Zahl $b$ .
1. Begründen Sie, dass $A$ nicht auf $g$ liegt. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
  Begründung
  $\vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array})$
  Wir schauen uns die Gerade genau an. Die zweite Zeile, die beschreibt, wie sich die Gerade in Richtung $x_{2}$ verhält, lautet:
  $x_{2} = 3 + s \cdot 0$
  Das heißt, für alle Werte für $s \in ℝ$ ist die $x_{2}$ -Koordinate $x_{2} = 3$ .
  Dann kann der Punkt $A (4 | 0 | 0)$ nicht auf $g$ liegen.
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  Untersuche die zweite Zeile der Geraden.
  Begründe, dass die $x_{2}$ -Koordinate der Gerade nie $0$ sein kann.
2. Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, die $g$ und $A$ enthält. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen
  Vektoren aus der Gerade
  Die Ebene hat in der Parameterform die Darstellung:
  $E : \vec{x} = \vec{a} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$
  wobei $\vec{v}, \vec{w}$ Richtungsvektoren sind und $\vec{a}$ der Stützvektor.
  Wir übernehmen die Vektoren aus der Geraden:
  $\vec{x} = \underset{Stützvektor}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array})}} + s \cdot \underset{Richtungsvektor}{\underset{⏟}{(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array})}}$
  Zweiter Richtungsvektor
  Der zweite Richtungsvektor kommt aus der Verbindung von $A$ mit dem Stützvektor von $g$ :
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array})$
  Aufstellen der Ebene
  Insgesamt ergibt sich für die Ebene:
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 7 \end{array})$
  für $t, s \in ℝ$ .
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  Verwende die Parameterform, um die Ebene darzustellen.
  Übernehme die Vektoren aus der Geraden und berechne den zweiten Richtungsvektor mithilfe des Punktes $A$ .
3. Bestimmen Sie den Wert für $b$ so, dass $g$ und $h$ parallel zueinander sind. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
  Geradengleichung von $h$
  Aus $A (4 | 0 | 0)$ und $B (6 | 0 | b)$ ergibt sich die Gerade:
  $h : \vec{x}$ $=$ $\vec{O A} + t \cdot \vec{A B} für t \in ℝ$
  ↓
  Einsetzen
  $=$ $(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 - 4 \\ 0 - 0 \\ b - 0 \end{array})$
  $=$ $(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ b \end{array})$
  Richtungsvektoren
  Die beiden Richtungsvektoren müssen Vielfache voneinander sein, damit die Geraden $g$ und $h$ parallel sind:
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ b \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array}) \Rightarrow b = 10$
  Der Faktor $k$ muss $2$ betragen, was die erste Zeile zeigt.
  Der richtige Wert ist dann $b = 10$ .
  Beachte
  Es reicht auch aus, nur den Richtungsvektor von $h$ zu bestimmen.
  Die Geraden sind wirklich parallel und nicht gleich, weil nach dem ersten Aufgabenteil der Punkt $A$ nicht auf $g$ liegt.
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  Bestimme die Geradengleichung von $h$ .
  Vergleiche die Richtungsvektoren von $g$ und $h$ .
  Parallel bedeutet, dass die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Y	P(Y)
$- 1 €$	$0,7$
$3 € - 1 € = 2 €$	$0,3$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$0$	$=$	$2 e^{x} - 4$	$+ 4$
$4$	$=$	$2 e^{x}$	$: 2$
$2$	$=$	$e^{x}$	$\ln ()$
	↓	Logarithmus anwenden, um Basis "wegzubekommen"
$\ln (2)$	$=$	$x$

$f (x)$	$=$	$2 e^{x} - 4$
	↓	$e^{x}$ ist eigene Ableitung
$f^{'} (x)$	$=$	$2 e^{x}$
$f^{'} (0)$	$=$	$2 e^{0}$
	↓	$e^{0} = 1$
	$=$	$2$

$g (x)$	$=$	$f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$
	$=$	$2 \cdot (x - 0) - 2$
	$=$	$2 x - 2$

	$\int_{0}^{1} f (x) d x$
	↓ Stammfunktion verwenden
$=$	${[\frac{1}{5} x^{5} - x^{4}]}_{0}^{1}$
	↓ Grenzen einsetzen
$=$	$\frac{1}{5} 1^{5} - 1^{4} - 0$
$=$	$\frac{1}{5} - 1$
$=$	$- \frac{4}{5}$

$P (X = k)$	$=$	$(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
	↓	$n = 10$ Spiele $p = 0,3$ für einen Gewinn $k = 2, k = 3$ gesucht
$P (2 \leq X \leq 3)$	$=$	$P (X = 2) + P (X = 3)$
	↓	Einsetzen
	$=$	$(\binom{10}{2}) {0,3}^{2} {0,7}^{8} + (\binom{10}{3}) {0,3}^{3} {0,7}^{7}$

$E [Y]$	$=$	$- 1 € \cdot 0,7 + 2 € \cdot 0,3$
	$=$	$- 0,1 €$

$h : \vec{x}$	$=$	$\vec{O A} + t \cdot \vec{A B} für t \in ℝ$
	↓	Einsetzen
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 - 4 \\ 0 - 0 \\ b - 0 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ b \end{array})$

Pflichtteil

Aufgabe 1

Nullstelle berechnen

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Tangente an f bestimmen

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Aufgabe 2

Stammfunktion bestimmen und Integral berechnen

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Aussage beurteilen

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Aufgabe 3

Koordinaten des Hochpunkts

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Stammfunktion skizzieren

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Aufgabe 4

Ereignis

Wahrscheinlichkeit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Erwartungswert berechnen

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Aufgabe 5

Begründung

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Vektoren aus der Gerade

Zweiter Richtungsvektor

Aufstellen der Ebene

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Geradengleichung von h

Richtungsvektoren

Hast du eine Frage oder Feedback?

Tangente an $f$ bestimmen

Geradengleichung von $h$