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Aufgabe 1

Gegeben ist die auf $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = 2 e^{x} - 4$ .

Berechnen Sie die Nullstelle von $f$ . (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
Nullstelle berechnen
Wir setzen die Funktionsgleichung gleich 0:
$0$ $=$ $2 e^{x} - 4$ $+ 4$
$4$ $=$ $2 e^{x}$ $: 2$
$2$ $=$ $e^{x}$ $\ln ()$
↓
Logarithmus anwenden, um Basis "wegzubekommen"
$\ln (2)$ $=$ $x$
Die Nullstelle ist $x = \ln (2)$ .
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Setze die Funktionsgleichung gleich 0.
Bestimme die Lösung für $x$ mithilfe des Logarithmus.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Tangente an $f$ bestimmen
Der Graph von $f$ geht an der Stelle $x = 0$ durch die y-Achse:
$f (0) = 2 \cdot e^{0} - 4 = 2 \cdot 1 - 4 = - 2$
Die Steigung an der Stelle $x = 0$ ist gegeben durch die Ableitung:
$f (x)$ $=$ $2 e^{x} - 4$
↓
$e^{x}$ ist eigene Ableitung
$f^{'} (x)$ $=$ $2 e^{x}$
$f^{'} (0)$ $=$ $2 e^{0}$
↓
$e^{0} = 1$
$=$ $2$
Wir setzen den Funktionswert und die Steigung in die Tangentenformel ein:
$g (x)$ $=$ $f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$
$=$ $2 \cdot (x - 0) - 2$
$=$ $2 x - 2$
Die Tangente hat also die Funktionsgleichung $g (x) = 2 x - 2$ .
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Berechne den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der y-Achse.
Bestimme die Steigung $f^{'} (0)$ und setze die Werte in die Tangentenformel ein.

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