Pflichtteil - lernen mit Serlo!

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Aufgabe 1

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=2 e^{x}-4$ .

Berechnen Sie die Nullstelle von $f$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung

Wir setzen die Funktionsgleichung gleich 0:

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2e^x-4$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 2e^x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle e^x$	$\displaystyle \ln\left(\right)$
	↓	Logarithmus anwenden, um Basis "wegzubekommen"
$\displaystyle \ln\left(2\right)$	$=$	$\displaystyle x$

Die Nullstelle ist $x=\ln(2)$ .

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph

Der Graph von $f$ geht an der Stelle $x = 0$ durch die y-Achse:

\displaystyle f(0)=2\cdot e^0-4=2\cdot 1-4=-2

Die Steigung an der Stelle $x = 0$ ist gegeben durch die Ableitung:

Wir setzen den Funktionswert und die Steigung in die Tangentenformel ein:

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x-0\right)-2$
	$=$	$\displaystyle 2x-2$

Die Tangente hat also die Funktionsgleichung $g (x) = 2 x - 2$ .

Berechne den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der y-Achse.

Bestimme die Steigung $f^{'} (0)$ und setze die Werte in die Tangentenformel ein.