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Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ mit $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ .

Bild

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{1} f (x) d x$ . (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Stammfunktion bestimmen und Integral berechnen
Eine Stammfunktion von $f$ ist gegeben durch: $F (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{4} x^{4} = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4}$
Wir berechnen damit das Integral:
$\int_{0}^{1} f (x) d x$
↓
Stammfunktion verwenden
$=$ ${[\frac{1}{5} x^{5} - x^{4}]}_{0}^{1}$
↓
Grenzen einsetzen
$=$ $\frac{1}{5} 1^{5} - 1^{4} - 0$
$=$ $\frac{1}{5} - 1$
$=$ $- \frac{4}{5}$
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Bestimme eine Stammfunktion $F$ von $f$ .
Setze die Grenzen ein und berechne so das Integral.
Beurteilen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist: (3 BE)
Für die Abbildung wurde eine Längeneinheit auf der $x$ -Achse ebenso groß gewählt wie auf der $y$ -Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Aussage beurteilen
Wir berechnen als Beispiel den Funktionswert $f (3) = 3^{4} - 4 \cdot 3^{3} = 81 - 108 = - 27$
Die Länge der roten Strecke sind $27$ Längeneinheiten. Verglichen mit der blauen Strecke kann nicht der gleiche Maßstab verwendet worden sein.
Die Aussage ist also falsch.
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Berechne einen Funktionswert zwischen $0 < x < 4$ und begründe.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

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