Um ein Dreieck zu berechnen, braucht man (mindestens) drei GröĂen. Hier sind die Möglichkeiten zusammengestellt:
Hilfsmittel In den Skizzen sind die bekannten GröĂen in blau und die gesuchten in rot eingezeichnet
Beispiel Gegeben sind die Seiten a = 4 Â cm a=4\text{ cm} a = 4 Â cm , b = 5 Â cm b=5\text{ cm} b = 5 Â cm und c = 7 Â cm c=7\text{ cm} c = 7 Â cm .
1) Berechne z.B. cos ⥠( α ) \cos (\alpha) cos ( α ) durch den Kosinussatz:
cos ⥠( α ) = b 2 + c 2 â a 2 2 â b â c = 5 2 + 7 2 â 4 2 2 â
5 â
7 = 58 70 \displaystyle\cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\,b\,c}=\frac{5^2+7^2-4^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac{58}{70} cos ( α ) = 2 b c b 2 + c 2 â a 2 â = 2 â
5 â
7 5 2 + 7 2 â 4 2 â = 70 58 â
Dann ist α = cos ⥠â 1 ( 58 70 ) = 34 , 0 5 â \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{58}{70}\right)=34{,}05^\circ α = cos â 1 ( 70 58 â ) = 34 , 0 5 â .
2) Berechne ÎČ \beta ÎČ mit dem Sinussatz :
sin ⥠( ÎČ ) = b a sin ⥠( α ) = 5 4 â
0 , 56 = 0 , 70 \displaystyle\sin(\beta)=\frac{b}{a}\sin(\alpha)=\frac{5}{4}\cdot0{,}56=0{,}70
sin ( ÎČ ) = a b â sin ( α ) = 4 5 â â
0 , 56 = 0 , 70
Dann ist ÎČ = sin ⥠â 1 ( 0 , 70 ) = 44 , 4 2 â \beta=\sin^{-1}(0{,}70)=44{,}42^\circ ÎČ = sin â 1 ( 0 , 70 ) = 44 , 4 2 â
Hinweis: der andere mögliche Wert fĂŒr ÎČ \beta ÎČ , 18 0 â â 44 , 4 2 â = 135 , 5 8 â 180^\circ-44{,}42^\circ=135{,}58^\circ 18 0 â â 44 , 4 2 â = 135 , 5 8 â , kommt nicht infrage, weil das dann sicher der gröĂte Winkel wĂ€re, und nach dem Sinussatz dem gröĂten Winkel die gröĂte Seite gegenĂŒberliegt. b b b ist aber nicht die gröĂte Seite.
3) Îł \gamma Îł erhĂ€ltst du ĂŒber die Winkelsumme :
Îł = 18 0 â â α â ÎČ = 18 0 â â 34 , 0 5 â â 44 , 4 2 â = 101 , 5 3 â \gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-34{,}05^\circ-44{,}42^\circ=101{,}53^\circ Îł = 18 0 â â α â ÎČ = 18 0 â â 34 , 0 5 â â 44 , 4 2 â = 101 , 5 3 â
Hinweis: Da bei diesen Rechnungen mehrfach gerundet wird, sind die Ergebnisse nicht sehr genau. Das gilt auch in den anderen Beispielen.
SWS Zwei Seiten und der Winkel dazwischen 1) Berechne die fehlende Seite mit dem Kosinussatz .
2) Berechne einen zweiten Winkel mit dem Sinussatz .
3) Berechne den dritten Winkel ĂŒber die Winkelsumme .
Beispiel Gegeben sind die Seiten b = 5  cm b=5\text{ cm} b = 5  cm , c = 8  cm c=8\text{ cm} c = 8  cm und α = 6 0 â \alpha=60^\circ α = 6 0 â .
1) Berechne a a a durch den Kosinussatz :
a 2 = b 2 + c 2 â 2 â b â c cos ⥠( α ) = 5 2 + 8 2 â 2 â
5 â
8 â
cos ⥠( 6 0 â ) = 89 â 80 â
1 2 = 49 a^2=b^2+c^2-2\,b\,c \cos (\alpha)=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot\cos(60^\circ)=89-80\cdot\frac{1}{2}=49 a 2 = b 2 + c 2 â 2 b c cos ( α ) = 5 2 + 8 2 â 2 â
5 â
8 â
cos ( 6 0 â ) = 89 â 80 â
2 1 â = 49
Also ist a = 49 Â cm = 7 Â cm a=\sqrt{49}\text{ cm} =7\text{ cm} a = 49 â Â cm = 7 Â cm
2 ) Berechne z.B. den Winkel ÎČ \beta ÎČ mit dem Sinussatz :
sin ⥠( ÎČ ) = b a sin ⥠( α ) = 5 7 sin ⥠( 6 0 â ) \displaystyle\sin(\beta)=\frac{b}{a}\sin(\alpha)=\frac{5}{7}\sin(60^\circ) sin ( ÎČ ) = a b â sin ( α ) = 7 5 â sin ( 6 0 â )
Dann ist ÎČ = sin ⥠â 1 ( 5 7 sin ⥠( 6 0 â ) ) = 38 , 2 1 â \beta=\sin^{-1}\left(\dfrac{5}{7}\sin(60^\circ) \right)=38{,}21^\circ ÎČ = sin â 1 ( 7 5 â sin ( 6 0 â ) ) = 38 , 2 1 â oder ÎČ = 141 , 7 9 â \beta=141{,}79^\circ ÎČ = 141 , 7 9 â . Dieser zweite Wert ist wegen der Winkelsumme unmöglich.
3) Berechne Îł \gamma Îł ĂŒber die Winkelsumme :
Îł = 18 0 â â 6 0 â â 38 , 2 1 â = 81 , 7 9 â \gamma=180^\circ-60^\circ-38{,}21^\circ=81{,}79^\circ Îł = 18 0 â â 6 0 â â 38 , 2 1 â = 81 , 7 9 â
SSW Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel 1) Bestimme den anderen Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt (in der Skizze Îł \gamma Îł ), mit dem Sinussatz .
2) Bestimme den dritten Winkel mit der Winkelsumme .
3) Bestimme die dritte Seite mit dem Sinussatz .
Achtung! Es ist möglich, dass es im ersten Schritt zwei, eine oder keine Lösung der Gleichung gibt! Eventuell musst du bei zwei Lösungen weitere Informationen verwenden.
Wenn die Seite, die an den Winkel angrenzt, kĂŒrzer ist als die andere, gibt es auf alle FĂ€lle nur eine Lösung.
Beispiel 1 Gegeben sind die Seiten a = 1  cm a=1\text{ cm} a = 1  cm , c = 2  cm c=2\text{ cm} c = 2  cm und α = 9 0 â \alpha=90^\circ α = 9 0 â .
1) Dann ist sin ⥠( Îł ) = c a sin ⥠( α ) = 2 1 â
1 = 2 \displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{2}{1}\cdot 1=2 sin ( Îł ) = a c â sin ( α ) = 1 2 â â
1 = 2 .
Dies ist unmöglich, so ein Dreieck gibt es nicht.
Beispiel 2 Gegeben sind die Seiten a = 2  cm a=2\text{ cm} a = 2  cm , c = 1  cm c=1\text{ cm} c = 1  cm und α = 9 0 â \alpha=90^\circ α = 9 0 â .
1) Dann ist mit dem Sinussatz sin ⥠( Îł ) = c a sin ⥠( α ) = 1 2 â
1 = 1 2 \displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2} sin ( Îł ) = a c â sin ( α ) = 2 1 â â
1 = 2 1 â .
Damit ist Îł = 3 0 â \gamma=30^\circ Îł = 3 0 â oder Îł = 15 0 â \gamma=150^\circ Îł = 15 0 â . Dieser zweite Wert ist aber unmöglich, da die Winkelsumme 18 0 â 180^\circ 18 0 â ist und α = 9 0 â \alpha=90^\circ α = 9 0 â schon bekannt ist.
2) Mit der Winkelsumme ist ÎČ = 18 0 â â 9 0 â â 3 0 â = 6 0 â \beta=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ ÎČ = 18 0 â â 9 0 â â 3 0 â = 6 0 â .
3) Mit dem Sinussatz ist b = sin ⥠( ÎČ ) sin ⥠( α ) â
a = sin ⥠( 6 0 â ) sin ⥠( 9 0 â ) â
2 Â cm = 1 , 73 Â cm \displaystyle b=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha) }\cdot a
=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(90^\circ)}\cdot2\text{ cm}=1{,}73\text{ cm} b = sin ( α ) sin ( ÎČ ) â â
a = sin ( 9 0 â ) sin ( 6 0 â ) â â
2 Â cm = 1 , 73 Â cm .
Beispiel 3 Gegeben sind die Seiten a = 2  cm a=2\text{ cm} a = 2  cm , c = 3  cm c=3\text{ cm} c = 3  cm und α = 3 0 â \alpha=30^\circ α = 3 0 â .
1) Dann ist mit dem Sinussatz sin ⥠( Îł ) = c a sin ⥠( α ) = 3 2 â
1 2 = 3 4 = 0 , 75 \displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}=0{,}75 sin ( Îł ) = a c â sin ( α ) = 2 3 â â
2 1 â = 4 3 â = 0 , 75 .
Damit ist Îł = sin ⥠â 1 ( 0 , 75 ) = 48 , 5 9 â \gamma=\sin^{-1}(0{,}75)=48{,}59^\circ Îł = sin â 1 ( 0 , 75 ) = 48 , 5 9 â oder Îł = 18 0 â â 48 , 5 9 â = 131 , 4 1 â \gamma=180^\circ-48{,}59^\circ=131{,}41^\circ Îł = 18 0 â â 48 , 5 9 â = 131 , 4 1 â .
Diesmal gibt es also zwei mögliche Werte: Îł 1 = 48 , 5 9 â \gamma_1=48{,}59^\circ Îł 1 â = 48 , 5 9 â und Îł 2 = 131 , 4 1 â \gamma_2=131{,}41^\circ Îł 2 â = 131 , 4 1 â
2) Mit der Winkelsumme ist
ÎČ 1 = 18 0 â â 3 0 â â 48 , 5 9 â = 101 , 4 1 â \beta_1=180^\circ-30^\circ-48{,}59^\circ=101{,}41^\circ ÎČ 1 â = 18 0 â â 3 0 â â 48 , 5 9 â = 101 , 4 1 â und
ÎČ 2 = 18 0 â â 3 0 â â 131 , 4 1 â = 18 , 5 9 â \beta_2=180^\circ-30^\circ-131{,}41^\circ=18{,}59^\circ ÎČ 2 â = 18 0 â â 3 0 â â 131 , 4 1 â = 18 , 5 9 â .
3) Mit dem Sinussatz ist
b 1 = sin ⥠( ÎČ 1 ) sin ⥠( α ) â
a = 0 , 98 0 , 5 â
2 Â cm = 3 , 92 Â cm \displaystyle b_1=\frac{\sin(\beta_1)}{\sin(\alpha) }\cdot a
=\frac{0{,}98}{0{,}5}\cdot2\text{ cm}=3{,}92\text{ cm} b 1 â = sin ( α ) sin ( ÎČ 1 â ) â â
a = 0 , 5 0 , 98 â â
2 Â cm = 3 , 92 Â cm und
b 2 = sin ⥠( ÎČ 2 ) sin ⥠( α ) â
a = 0 , 32 0 , 5 â
2  cm = 1 , 28  cm \displaystyle b_2=\frac{\sin(\beta_2)}{\sin(\alpha) }\cdot a=\frac{0{,}32}{0{,}5}\cdot2\text{ cm}=1{,}28\text{ cm} b 2 â = sin ( α ) sin ( ÎČ 2 â ) â â
a = 0 , 5 0 , 32 â â
2 Â cm = 1 , 28 Â cm
WSW Eine Seite und zwei Winkel
Beispiel Gegeben sind α = 4 5 â \alpha=45^\circ α = 4 5 â , ÎČ = 10 5 â \beta=105^\circ ÎČ = 10 5 â und c = 2  cm c=2\text{ cm} c = 2  cm .
1) Dann ist mit der Winkelsumme Îł = 18 0 â â 4 5 â â 10 5 â = 3 0 â . \gamma=180^\circ-45^\circ-105^\circ=30^\circ. Îł = 18 0 â â 4 5 â â 10 5 â = 3 0 â .
2) + 3) Mit dem Sinussatz werden die anderen Seiten berechnet:
a = sin ⥠( α ) sin ⥠( Îł ) â
c = sin ⥠( 4 5 â ) sin ⥠( 3 0 â ) â
2 Â cm = 2 , 83 Â cm \displaystyle a=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\cdot c
=\frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}\cdot2\text{ cm}=2{,}83\text{ cm} a = sin ( Îł ) sin ( α ) â â
c = sin ( 3 0 â ) sin ( 4 5 â ) â â
2 Â cm = 2 , 83 Â cm
b = sin ⥠( ÎČ ) sin ⥠( Îł ) â
c = sin ⥠( 10 5 â ) sin ⥠( 3 0 â ) â
2 Â cm = 3 , 86 Â cm \displaystyle b=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\cdot c
=\frac{\sin(105^\circ)}{\sin(30^\circ)}\cdot2\text{ cm}=3{,}86\text{ cm} b = sin ( Îł ) sin ( ÎČ ) â â
c = sin ( 3 0 â ) sin ( 10 5 â ) â â
2 Â cm = 3 , 86 Â cm