Hilfsmittel In den Skizzen sind die bekannten GröĂen in blau und die gesuchten in rot eingezeichnet
Beispiel Gegeben sind die Seiten a = 4 cm a=4\text{ cm}a = 4 cm , b = 5 cm b=5\text{ cm}b = 5 cm und c = 7 cm c=7\text{ cm}c = 7 cm .
1) Berechne z.B. cos ⥠( α ) \cos (\alpha)cos ( α ) durch den Kosinussatz:
cos ⥠( α ) = b 2 + c 2 â a 2 2 â b â c = 5 2 + 7 2 â 4 2 2 â
5 â
7 = 58 70 \displaystyle\cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\,b\,c}=\frac{5^2+7^2-4^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac{58}{70}cos ( α ) = 2 b c b 2 + c 2 â a 2 â = 2 â
5 â
7 5 2 + 7 2 â 4 2 â = 70 58 â
Dann ist α = cos ⥠â 1 ( 58 70 ) = 34,05 â \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{58}{70}\right)=34{,}05^\circα = cos â 1 ( 70 58 â ) = 34 , 0 5 â .
2) Berechne ÎČ \betaÎČ mit dem Sinussatz :
sin ⥠( ÎČ ) = b a sin ⥠( α ) = 5 4 â
0,56 = 0,70 \displaystyle\sin(\beta)=\frac{b}{a}\sin(\alpha)=\frac{5}{4}\cdot0{,}56=0{,}70
sin ( ÎČ ) = a b â sin ( α ) = 4 5 â â
0 , 56 = 0 , 70
Dann ist ÎČ = sin ⥠â 1 ( 0,70 ) = 44,42 â \beta=\sin^{-1}(0{,}70)=44{,}42^\circÎČ = sin â 1 ( 0 , 70 ) = 44 , 4 2 â
Hinweis: der andere mögliche Wert fĂŒr ÎČ \betaÎČ , 180 â â 44,42 â = 135,58 â 180^\circ-44{,}42^\circ=135{,}58^\circ18 0 â â 44 , 4 2 â = 135 , 5 8 â , kommt nicht infrage, weil das dann sicher der gröĂte Winkel wĂ€re, und nach dem Sinussatz dem gröĂten Winkel die gröĂte Seite gegenĂŒberliegt. b bb ist aber nicht die gröĂte Seite.
3) Îł \gamma Îł erhĂ€ltst du ĂŒber die Winkelsumme :
Îł = 180 â â α â ÎČ = 180 â â 34,05 â â 44,42 â = 101,53 â \gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-34{,}05^\circ-44{,}42^\circ=101{,}53^\circÎł = 18 0 â â α â ÎČ = 18 0 â â 34 , 0 5 â â 44 , 4 2 â = 101 , 5 3 â
Hinweis: Da bei diesen Rechnungen mehrfach gerundet wird, sind die Ergebnisse nicht sehr genau. Das gilt auch in den anderen Beispielen.
SWS Zwei Seiten und der Winkel dazwischen
Beispiel Gegeben sind die Seiten b = 5 cm b=5\text{ cm}b = 5 cm , c = 8 cm c=8\text{ cm}c = 8 cm und α = 60 â \alpha=60^\circα = 6 0 â .
1) Berechne a aa durch den Kosinussatz :
a 2 = b 2 + c 2 â 2 â b â c cos ⥠( α ) = 5 2 + 8 2 â 2 â
5 â
8 â
cos ⥠( 60 â ) = 89 â 80 â
1 2 = 49 a^2=b^2+c^2-2\,b\,c \cos (\alpha)=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot\cos(60^\circ)=89-80\cdot\frac{1}{2}=49a 2 = b 2 + c 2 â 2 b c cos ( α ) = 5 2 + 8 2 â 2 â
5 â
8 â
cos ( 6 0 â ) = 89 â 80 â
2 1 â = 49
Also ist a = 49 cm = 7 cm a=\sqrt{49}\text{ cm} =7\text{ cm}a = 49 â cm = 7 cm
2 ) Berechne z.B. den Winkel ÎČ \betaÎČ mit dem Sinussatz :
sin ⥠( ÎČ ) = b a sin ⥠( α ) = 5 7 sin ⥠( 60 â ) \displaystyle\sin(\beta)=\frac{b}{a}\sin(\alpha)=\frac{5}{7}\sin(60^\circ)sin ( ÎČ ) = a b â sin ( α ) = 7 5 â sin ( 6 0 â )
Dann ist ÎČ = sin ⥠â 1 ( 5 7 sin ⥠( 60 â ) ) = 38,21 â \beta=\sin^{-1}\left(\dfrac{5}{7}\sin(60^\circ) \right)=38{,}21^\circÎČ = sin â 1 ( 7 5 â sin ( 6 0 â ) ) = 38 , 2 1 â oder ÎČ = 141,79 â \beta=141{,}79^\circÎČ = 141 , 7 9 â . Dieser zweite Wert ist wegen der Winkelsumme unmöglich.
3) Berechne Îł \gammaÎł ĂŒber die Winkelsumme :
Îł = 180 â â 60 â â 38,21 â = 81,79 â \gamma=180^\circ-60^\circ-38{,}21^\circ=81{,}79^\circÎł = 18 0 â â 6 0 â â 38 , 2 1 â = 81 , 7 9 â
SSW Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel
Beispiel 1 Gegeben sind die Seiten a = 1 cm a=1\text{ cm}a = 1 cm , c = 2 cm c=2\text{ cm}c = 2 cm und α = 90 â \alpha=90^\circα = 9 0 â .
1) Dann ist sin ⥠( Îł ) = c a sin ⥠( α ) = 2 1 â
1 = 2 \displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{2}{1}\cdot 1=2sin ( Îł ) = a c â sin ( α ) = 1 2 â â
1 = 2 .
Dies ist unmöglich, so ein Dreieck gibt es nicht.
Beispiel 2 Gegeben sind die Seiten a = 2 cm a=2\text{ cm}a = 2 cm , c = 1 cm c=1\text{ cm}c = 1 cm und α = 90 â \alpha=90^\circα = 9 0 â .
1) Dann ist mit dem Sinussatz sin ⥠( Îł ) = c a sin ⥠( α ) = 1 2 â
1 = 1 2 \displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}sin ( Îł ) = a c â sin ( α ) = 2 1 â â
1 = 2 1 â .
Damit ist Îł = 30 â \gamma=30^\circÎł = 3 0 â oder Îł = 150 â \gamma=150^\circÎł = 15 0 â . Dieser zweite Wert ist aber unmöglich, da die Winkelsumme 180 â 180^\circ 18 0 â ist und α = 90 â \alpha=90^\circα = 9 0 â schon bekannt ist.
2) Mit der Winkelsumme ist ÎČ = 180 â â 90 â â 30 â = 60 â \beta=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circÎČ = 18 0 â â 9 0 â â 3 0 â = 6 0 â .
3) Mit dem Sinussatz ist b = sin ⥠( ÎČ ) sin ⥠( α ) â
a = sin ⥠( 60 â ) sin ⥠( 90 â ) â
2 cm = 1,73 cm \displaystyle b=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha) }\cdot a
=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(90^\circ)}\cdot2\text{ cm}=1{,}73\text{ cm}b = sin ( α ) sin ( ÎČ ) â â
a = sin ( 9 0 â ) sin ( 6 0 â ) â â
2 cm = 1 , 73 cm .
Beispiel 3 Gegeben sind die Seiten a = 2 cm a=2\text{ cm}a = 2 cm , c = 3 cm c=3\text{ cm}c = 3 cm und α = 30 â \alpha=30^\circα = 3 0 â .
1) Dann ist mit dem Sinussatz sin ⥠( Îł ) = c a sin ⥠( α ) = 3 2 â
1 2 = 3 4 = 0,75 \displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}=0{,}75sin ( Îł ) = a c â sin ( α ) = 2 3 â â
2 1 â = 4 3 â = 0 , 75 .
Damit ist Îł = sin ⥠â 1 ( 0,75 ) = 48,59 â \gamma=\sin^{-1}(0{,}75)=48{,}59^\circÎł = sin â 1 ( 0 , 75 ) = 48 , 5 9 â oder Îł = 180 â â 48,59 â = 131,41 â \gamma=180^\circ-48{,}59^\circ=131{,}41^\circÎł = 18 0 â â 48 , 5 9 â = 131 , 4 1 â .
Diesmal gibt es also zwei mögliche Werte: Îł 1 = 48,59 â \gamma_1=48{,}59^\circÎł 1 â = 48 , 5 9 â und Îł 2 = 131,41 â \gamma_2=131{,}41^\circÎł 2 â = 131 , 4 1 â
2) Mit der Winkelsumme ist
ÎČ 1 = 180 â â 30 â â 48,59 â = 101,41 â \beta_1=180^\circ-30^\circ-48{,}59^\circ=101{,}41^\circÎČ 1 â = 18 0 â â 3 0 â â 48 , 5 9 â = 101 , 4 1 â und
ÎČ 2 = 180 â â 30 â â 131,41 â = 18,59 â \beta_2=180^\circ-30^\circ-131{,}41^\circ=18{,}59^\circÎČ 2 â = 18 0 â â 3 0 â â 131 , 4 1 â = 18 , 5 9 â .
3) Mit dem Sinussatz ist
b 1 = sin ⥠( ÎČ 1 ) sin ⥠( α ) â
a = 0,98 0,5 â
2 cm = 3,92 cm \displaystyle b_1=\frac{\sin(\beta_1)}{\sin(\alpha) }\cdot a
=\frac{0{,}98}{0{,}5}\cdot2\text{ cm}=3{,}92\text{ cm}b 1 â = sin ( α ) sin ( ÎČ 1 â ) â â
a = 0 , 5 0 , 98 â â
2 cm = 3 , 92 cm und
b 2 = sin ⥠( ÎČ 2 ) sin ⥠( α ) â
a = 0,32 0,5 â
2 cm = 1,28 cm \displaystyle b_2=\frac{\sin(\beta_2)}{\sin(\alpha) }\cdot a=\frac{0{,}32}{0{,}5}\cdot2\text{ cm}=1{,}28\text{ cm}b 2 â = sin ( α ) sin ( ÎČ 2 â ) â â
a = 0 , 5 0 , 32 â â
2 cm = 1 , 28 cm
WSW Eine Seite und zwei Winkel
Beispiel Gegeben sind α = 45 â \alpha=45^\circα = 4 5 â , ÎČ = 105 â \beta=105^\circÎČ = 10 5 â und c = 2 cm c=2\text{ cm}c = 2 cm .
1) Dann ist mit der Winkelsumme Îł = 180 â â 45 â â 105 â = 30 â . \gamma=180^\circ-45^\circ-105^\circ=30^\circ.Îł = 18 0 â â 4 5 â â 10 5 â = 3 0 â .
2) + 3) Mit dem Sinussatz werden die anderen Seiten berechnet:
a = sin ⥠( α ) sin ⥠( Îł ) â
c = sin ⥠( 45 â ) sin ⥠( 30 â ) â
2 cm = 2,83 cm \displaystyle a=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\cdot c
=\frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}\cdot2\text{ cm}=2{,}83\text{ cm}a = sin ( Îł ) sin ( α ) â â
c = sin ( 3 0 â ) sin ( 4 5 â ) â â
2 cm = 2 , 83 cm
b = sin ⥠( ÎČ ) sin ⥠( Îł ) â
c = sin ⥠( 105 â ) sin ⥠( 30 â ) â
2 cm = 3,86 cm \displaystyle b=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\cdot c
=\frac{\sin(105^\circ)}{\sin(30^\circ)}\cdot2\text{ cm}=3{,}86\text{ cm}b = sin ( Îł ) sin ( ÎČ ) â â
c = sin ( 3 0 â ) sin ( 10 5 â ) â â
2 cm = 3 , 86 cm