Prüfungsaufgaben Mathematik 2023

Konservendose (12 Punkte)

Eine zylinderförmige Konservendose hat folgende Maße:

Radius: $\quad 4 \mathrm{~cm}$

Höhe: $\quad 8 \mathrm{~cm}$

Skizzieren Sie die Mantelfläche der Konservendose.
Bestimmen Sie die Länge $a$ und Breite $b$ der Mantelfläche und beschriften Sie Ihre Skizze entsprechend. (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Skizzierung der Mantelfläche
Länge der Mantelfläche
Die Länge $a$ der Mantelfläche entspricht dem Umfang des Bodens der Konservendose.
Zur Berechnung von $a$ verwenden wir die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs.
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle 2 \pi r$
↓
Einsetzen des Radius r
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle 2 \pi \cdot 4$
$\displaystyle a$ $≈$ $\displaystyle 25 \text{\cm}$
Höhe der Mantelfläche
Die Höhe der Mantelfläche $b$ entspricht der Höhe des Zylinders:
$b = 8$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Skizziere die Mantelfläche durch "Abrollen" des Zylinders.
Berechne die Länge mit Hilfe der Formel für den Kreisumfang.

Laut Hersteller hat die Konservendose ein Volumen von ca. $400 \mathrm{\ml}$ .

Weisen Sie nach, dass diese Angabe richtig ist.

Hinweis: $1 \mathrm{~cm}^{3}$ entspricht $1 \mathrm{ml}$ . (2P)

$\large *$ Die Deckel der Konservendosen $(r=4 \mathrm{~cm})$ werden aus rechteckigen Blechstreifen hergestellt. Diese Blechstreifen sind $8 \mathrm{~cm}$ breit und $1 \mathrm{~m}$ lang. Aus einem Blechstreifen sollen so viele Deckel wie möglich hergestellt werden.

Der Materialverlust (Abfall) eines Blechstreifens bei der Produktion der Deckel soll nicht mehr als $25\ \%$ betragen.

Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Vorgabe des Materialverlustes erfüllt ist. (4P)

$\large *$ Die hergestellten Deckel $\mathrm{(r=4 ~cm)}$ sollen auch für größere Konservendosen mit einem Volumen von 1 Liter verwendet werden.

Ermitteln Sie die Höhe der großen Konservendose. (3P)

$\displaystyle \mathrm{V_{Zylinder}}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{r^2\pi h}$
	↓	gegebene Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle 4^2 \cdot \pi \cdot 8$
	$≈$	$\displaystyle 402{,}12$

$\displaystyle \text{Materialverlust}$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Fläche Blechstreifen - Fläche Deckel}}{\text{Fläche Blechstreifen}}\cdot100$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{800 - 603{,}19}{800} \cdot 100$
	$=$	$\displaystyle 24{,}6\ \%$

$\displaystyle \mathrm{V_{Zylinder}}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{r^2\pi h}$
	↓	Einsetzen der bekannten Werte
$\displaystyle 1000$	$=$	$\displaystyle \mathrm{4^2 \cdot \pi \cdot h}$	$\displaystyle \cdot \dfrac{1}{4^2 \cdot \pi}$
	↓	nach $\text{h}$ auflösen
$\displaystyle \dfrac{1000}{4^2 \cdot \pi}$	$=$	$\displaystyle \text{h}$
$\displaystyle 20$	$≈$	$\displaystyle \text{h}$

Konservendose (12 Punkte)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Volumenberechnung

Vergleich mit der Angabe des Herstellers

Hast du eine Frage oder Feedback?

Anzahl der Deckel pro Blechstreifen

Vergleich des Materialverlusts mit der Vorgabe

Hast du eine Frage oder Feedback?

Höhe der Konservendose

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 2 \pi r$
	↓	Einsetzen des Radius r
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 2 \pi \cdot 4$
$\displaystyle a$	$≈$	$\displaystyle 25 \text{\cm}$