Prüfungsaufgaben Mathematik 2023

Konservendose (12 Punkte)

Eine zylinderförmige Konservendose hat folgende Maße:

Radius: $\quad 4 \mathrm{~cm}$

Höhe: $\quad 8 \mathrm{~cm}$

Skizzieren Sie die Mantelfläche der Konservendose.
Bestimmen Sie die Länge $a$ und Breite $b$ der Mantelfläche und beschriften Sie Ihre Skizze entsprechend. (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Skizzierung der Mantelfläche
Länge der Mantelfläche
Die Länge $a$ der Mantelfläche entspricht dem Umfang des Bodens der Konservendose.
Zur Berechnung von $a$ verwenden wir die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs.
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle 2 \pi r$
↓
Einsetzen des Radius r
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle 2 \pi \cdot 4$
$\displaystyle a$ $≈$ $\displaystyle 25 \text{cm}$
Höhe der Mantelfläche
Die Höhe der Mantelfläche $b$ entspricht der Höhe des Zylinders:
$b = 8$
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Skizziere die Mantelfläche durch "Abrollen" des Zylinders.
Berechne die Länge mit Hilfe der Formel für den Kreisumfang.

Laut Hersteller hat die Konservendose ein Volumen von ca. $400 \mathrm{ml}$ .

Weisen Sie nach, dass diese Angabe richtig ist.

Hinweis: $1 \mathrm{~cm}^{3}$ entspricht $1 \mathrm{ml}$ . (2P)

$\large *$ Die Deckel der Konservendosen $(r=4 \mathrm{~cm})$ werden aus rechteckigen Blechstreifen hergestellt. Diese Blechstreifen sind $8 \mathrm{~cm}$ breit und $1 \mathrm{~m}$ lang. Aus einem Blechstreifen sollen so viele Deckel wie möglich hergestellt werden.

Der Materialverlust (Abfall) eines Blechstreifens bei der Produktion der Deckel soll nicht mehr als $25 \%$ betragen.

Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Vorgabe des Materialverlustes erfüllt ist. (4P)

$\large *$ Die hergestellten Deckel $(r=4 \mathrm{~cm})$ sollen auch für größere Konservendosen mit einem Volumen von 1 Liter verwendet werden.

Ermitteln Sie die Höhe der großen Konservendose. (3P)

$\displaystyle V_{Zylinder}$	$=$	$\displaystyle r^2\pi h$
	↓	gegebene Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle 4^2 \cdot \pi \cdot 8$
	$≈$	$\displaystyle 402{,}12$

$\displaystyle \text{Materialverlust}$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Fläche Blechstriefen - Fläche Deckel}}{\text{Fläche Blechstreifen}}\cdot100$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{800 - 603{,}19}{800} \cdot 100$
	$=$	$\displaystyle 24{,}6 \%$

$\displaystyle V_{\text{Zylinder}}$	$=$	$\displaystyle r^2\pi h$
	↓	Einsetzen der bekannten Werte
$\displaystyle 1000$	$=$	$\displaystyle 4^2 \cdot \pi \cdot h$	$\displaystyle \cdot \dfrac{1}{4^2 \cdot \pi}$
	↓	nach $h$ auflösen
$\displaystyle \dfrac{1000}{4^2 \cdot \pi}$	$=$	$\displaystyle h$
$\displaystyle 20$	$≈$	$\displaystyle h$

Konservendose (12 Punkte)

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Volumenberechnung

Vergleich mit der Angabe des Herstellers

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Anzahl der Deckel pro Blechstreifen

Vergleich des Materialverlusts mit der Vorgabe

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Höhe der Konservendose

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$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 2 \pi r$
	↓	Einsetzen des Radius r
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 2 \pi \cdot 4$
$\displaystyle a$	$≈$	$\displaystyle 25 \text{cm}$