Prüfungsaufgaben Mathematik 2022

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Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Becher (11 Punkte)

Gegeben ist ein zylinderförmiger Becher ohne Deckel. Die Höhe beträgt $h=7 \mathrm{~cm}$ und der Radius $r=3{,}2 \mathrm{~cm}$ .

Wählen Sie aus den vorgegebenen Skizzen das Netz aus, das zum Becher passt. Kreuzen Sie an.

Ermitteln Sie die Länge und die Breite der Mantelfläche.

(3P)

oberes Gitternetz
mittleres Gitternetz
unteres Gitternetz

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Das richtige Gitternetz finden

Länge und Breite der Mantelfläche berechnen

Die Höhe des Bechers haben wir bereits gegeben:

$h = 7 cm$

Sie entspricht der Breite der Mantelfläche.

Die Länge ist also die unbekannte Seite die wir noch suchen. Sie soll im dreidimensionalen genau auf den Rand des Kreises passen. Man kann also den Umfang des Kreises berechnen um die Länge herauszufinden:

$\displaystyle U_K$	$=$	$\displaystyle 2 \pi r$
	↓	$r$ einsetzen, mit $r = 3{,}2$ cm
	$=$	$\displaystyle 2 \pi \cdot 3{,}2$
	↓	ausrechnen
	$=$	$\displaystyle \frac{32}{5} \pi$
	$≈$	$\displaystyle 20{,}11$

Somit ist die Mantelfläche 7 Zentimeter breit und ungefähr 20,11 Zentimenter lang.

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Überlege wie das Gitternetz eines normalen Zylinders aussieht. Wenn du jetzt einen Kreis wegnimmst, was bleibt dann noch übrig?
Beim Gitternetz sieht man die Mantelfläche des Zylinders: ein Rechteck. Die Höhe ist dir bereits bekannt. Wie könntest du nun mit Hilfe des Kreises die Länge des Rechtecks ausrechnen?

Zeigen Sie, dass in den Becher $200 \mathrm{ml}$ Flüssigkeit passen.

Hinweis: $1 \mathrm{~cm}^{3}$ entspricht $1 \mathrm{ml}$ (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Milliliter in Kubikzentimeter

Laut Aufgabe entspricht $1 cm^{3} = 1 ml$ , wobei dann $200ml = 200 cm^{3}$ sind.

Zylinder Volumen

Das Volumen eines Zylinders lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$V_{Z} = r^{2} \pi h$

Da uns Radius und Höhe des Bechers bekannt sind, können wir einfach einsetzen und ausrechnen
	↓
$\displaystyle V_Z$	$=$	$\displaystyle r^{2} \pi h$
	↓	einsetzen von $r$ und $h$ , mit $r = 3{,}2$ cm und $h = 7$ cm
	$=$	$\displaystyle (3{,}2)^{2} \pi \cdot 7$
	↓	ausrechnen
	$=$	$\displaystyle \frac{1792}{25} \pi$
	$≈$	$\displaystyle 225{,}19$

Da wir das Volumen in Kubikzentimeter ausgerechnet haben und wir von der Aufgabe das Verhältnis von Milliliter zu Kubikzentimer kennen, passen also ungefähr 225 ml in den Becher - und damit mehr als 200 ml.

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Wie viel $cm^{3}$ entsprechen 200 ml?
Rechne nun das Volumen des Zylinders aus. Ist er zu groß oder zu klein für 200 ml Flüssigkeit?

$\large *$ Ein Stab wird zum Umrühren genutzt. Von dem Stab sind $2 \mathrm{~cm}$ außerhalb des Bechers, wenn er diagonal im Becher steht (siehe Skizze).

Bestimmen Sie die Länge des Stabes. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck

Zweidimensionale geometrische Form

Wenn man sich den Becher mit Stab zweidimensional vorstellt, bildet der Stab mit dem Becher ein rechtwinkliges Dreieck.

Somit kann man die Stablänge mit Hilfe des Satz des Pythagoras ausrechnen:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Länge des Stabs ausrechnen

Alle wichtigen Seiten sind bereits gegeben
	↓
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle a^{2} + b^{2}$
	↓	für $a$ den Durchmesser des Bechers einsetzen: $a = d = 2r = 6{,}4$
$\displaystyle c^{2}$	$=$	$\displaystyle (6{,}4)^{2} + b^{2}$
	↓	für $b$ die Höhe des Bechers einsetzen: $b = h = 7$
$\displaystyle c^{2}$	$=$	$\displaystyle (6{,}4)^{2} + 7^{2}$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(6{,}4)^{2} + 7^{2}}$
	↓	ausrechnen
$\displaystyle c$	$≈$	$\displaystyle 9{,}49$

Der Teil des Stabs im Becher ist $9{,}49$ cm lang. Dazu müssen wir noch den Teil außerhalb des Bechers mit einberechnen, der $2$ cm lang ist:

$L_{Stab} = 9{,}49 + 2 = 11{,}49$

Der Stab ist also 11,49 cm lang.

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Wenn du den überstehenden Teil des Stabs ignorierst, welche zweidimensionale geometrische Form bildet dann der Stab mit der Wand und dem Boden des Bechers?
Du hast die Höhe und den Radius bereits gegeben. Welche bekannte Formel kannst du nun verwenden, um die restliche Länge des Stabs zu berechnen?

$\large *$ Ein größerer Becher soll ein Volumen von $425 ~\mathrm{ml}$ haben.

Die Höhe von $7 \mathrm{~cm}$ wird beibehalten.

Berechnen Sie den Radius dieses Bechers. (3P)

$cm^{3} \text{ in } ml$

Wir wissen von Aufgabe 2 b), dass $1 cm^{3} = 1ml$ ist:

\displaystyle 425 ml = 425 cm^{3}

Gleichung auf- und umstellen

$\displaystyle V_Z$	$=$	$\displaystyle r^{2} \pi h$	$\displaystyle \cdot \frac{1}{\pi h}$
	↓	umstellen der Gleichung, sodass r alleine steht
$\displaystyle \frac{V_{Z}}{\pi h}$	$=$	$\displaystyle r^{2}$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \sqrt{\frac{V_Z}{\pi h}}$	$=$	$\displaystyle r$
	↓	Setze für das Volumen $V_Z=425$ ein. Setze für die Höhe $h=7$ ein.
$\displaystyle \sqrt{\frac{425}{\pi\cdot7}}$	$=$	$\displaystyle r$
	↓	$r$ ausrechnen
$\displaystyle 4{,}4$	$≈$	$\displaystyle r$

Der Radius des neuen Bechers beträgt also ungefähr 4,4 Zentimeter.

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Überlege wie viel Kubikzentimeter $425$ ml sind.
Stelle eine Gleichung für das Volumen des Bechers auf mit dem Radius $r$ als Unbekannte. Stelle die Gleichung so um, dass $r$ allein auf einer Seite steht.

Becher (11 Punkte)

Das richtige Gitternetz finden

Länge und Breite der Mantelfläche berechnen

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Milliliter in Kubikzentimeter

Zylinder Volumen

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Zweidimensionale geometrische Form

Länge des Stabs ausrechnen

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cm3 in mlcm^{3} \text{ in } mlcm3 in ml

Gleichung auf- und umstellen

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$cm^{3} \text{ in } ml$