Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3B

Betrachtet wird der Stumpf $A B C D E F G H$ der schiefen Pyramide $A B C D S$ . Die Grundfläche $A B C D$ mit $A (4 | 0 | 0), B (4 | 4 | 0), C (0 | 4 | 0)$ und $D (0 | 0 | 0)$ sowie die Deckfläche des Stumpfs mit $E (3 | 0 | 4)$ , $F (3 | 3 | 4), G (0 | 3 | 4)$ und $H (0 | 0 | 4)$ sind quadratisch.

Berechnen Sie
- die Länge der Strecke $D F$
- die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $D F$ .
(3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Länge der Strecke $D F$
Der Vektor $\vec{D F} = \vec{O F} - \vec{O D} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array})$
$| (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array}) | = \sqrt{3^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{34}$
Die Länge der Strecke $D F$ beträgt $\sqrt{34}$ .
Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $D F$
$\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot \vec{D F} = \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1,5 \\ 1,5 \\ 2 \end{array}) \Rightarrow M (1,5 | 1,5 | 2)$
Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $D F$ sind $M (1,5 | 1,5 | 2)$ .
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Teil 1
Gib den Vektor $\vec{D F}$ an und berechne seine Länge.
Teil 2
Der Vektor, der zur Mitte zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ zeigt, ist $\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O A} + \vec{O B})$
Erläutern Sie den folgenden Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Pyramidenspitze $S (0 | 0 | 16)$ :
$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ s \end{array})$
(3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Pyramidenspitze $S (0 | 0 | 16)$
Die Punkte $A$ und $E$ liegen auf der Geraden:
$g_{A E} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot (\vec{O E} - \vec{O A}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}))$
$g_{A E} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 4 \end{array})$
Die Punkte $D$ und $H$ liegen auf der $x_{3}$ -Achse. Hier muss auch der Punkt $S$ liegen.
$\Rightarrow S (0 | 0 | s)$
Der Wert von $s$ ist die $x_{3}$ -Koordinate von S.
Weiterhin muss $S$ auch auf der Geraden $g$ liegen.
Damit folgt der Ansatz zur Berechnung der Pyramidenspitze:
$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ s \end{array})$
Mit diesem Ansatz werden die Koordinaten der Pyramidenspitze berechnet.
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Die Punkte $A$ , $E$ und $S$ liegen auf einer Geraden.
Die Punkte $D$ und $H$ liegen auf der $x_{3}$ -Achse. Hier muss auch der Punkt $S$ liegen.
Bestimmen Sie das Volumen des Stumpfs. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Volumen des Stumpfs
Für das Volumen eines Pyramidenstumpfes gilt:
$V_{Stumpf} = \frac{h}{3} \cdot (A_{G} + \sqrt{A_{G} \cdot A_{D}} + A_{D})$
Die $x_{3}$ -Koordinate des Punktes $H$ ist $4 \Rightarrow h = 4$
$A_{G} = 4^{2}$ und $A_{D} = 3^{2}$
$\Rightarrow V_{Stumpf} = \frac{4}{3} \cdot (16 + \sqrt{16 \cdot 9} + 9) = \frac{4}{3} \cdot (25 + 4 \cdot 3) = \frac{148}{3}$
Das Volumen des Stumpfs beträgt $\frac{148}{3}$ .
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Für das Volumen eines Pyramidenstumpfes gilt: $V_{Stumpf} = \frac{h}{3} \cdot (A_{G} + \sqrt{A_{G} \cdot A_{D}} + A_{D})$ ; $G$ steht für Grundfläche und $D$ für Dachfläche
Alternativ kann das Stumpfvolumen auch so berechnet werden: $V_{Stumpf} = V_{große Pyramide} - V_{Spitze}$
Der Pyramidenstumpf wird soweit um die Kante $C D$ gedreht bis die Fläche $C G H D$ in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt.
Geben Sie die Koordinaten eines Bildpunktes $F^{'}$ an. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung mittels Matrizen
Koordinaten eines Bildpunktes $F^{'}$ an
Die Drehung des Punktes $F$ kann mit einer Drehmatrix berechnet werden.
Der Drehwinkel ist entweder $α = 90^{\circ}$ oder $α = - 90^{\circ}$ .
Die Abbildungsgleichung für eine Drehung um die y-Achse ist dann:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{array}) = (\begin{array}{ccc} \cos α & 0 & \sin α \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin α & 0 & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})$
Mit $α = 90^{\circ}$ folgt dann:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})$
Für den Punkt $F (3 | 3 | 4)$ erhält man den gedrehten Punkt $F^{'}$ :
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ - 3 \end{array})$
Der Punkt $F^{'}$ hat die Koordinaten $F^{'} (4 | 3 | - 3)$ .
Eine zweite Lösung erhält man für $α = - 90^{\circ}$ . Dann hat der Punkt $F^{'}$ die Koordinaten $F^{'} (- 4 | 3 | 3)$ .
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Der Drehwinkel ist entweder $α = 90^{\circ}$ oder $α = - 90^{\circ}$ .
Die Abbildungsgleichung für eine Drehung um die y-Achse ist dann: $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{array}) = (\begin{array}{ccc} \cos α & 0 & \sin α \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin α & 0 & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})$
Der Mittelpunkt $M$ der Kante $A B$ und der Mittelpunkt $N$ der Kante $C G$ liegen auf der Gerade $j : \vec{x} = (\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ 3 \\ 4 \end{array})$ mit $t \in ℝ$ .
Die Punkte der Kante $B C$ lassen sich in der Form $P_{W} (w | 4 | 0)$ darstellen.
Für einen Punkt $P_{W}$ der Kante $B C$ schneidet die Gerade durch $H$ und $P_{W}$ die Gerade $j$ .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von $w$ . (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Wert von $w$
Erstelle die Gleichung der Geraden $g_{H P_{w}}$ durch die Punkte $H (0 | 0 | 4)$ und $P_{w} (w | 4 | 0)$ :
$g_{H P_{w}} : \vec{x} = \vec{O H} + r \cdot (\vec{O P_{w}} - \vec{O H}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} w \\ 4 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}))$
$g_{H P_{w}} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} w \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
Schneide $g_{H P_{w}}$ mit $j$ :
$(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ 3 \\ 4 \end{array})$ $=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} w \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
$(I I) : 2 + 3 t = 4 r$
$(I I I) : 4 t = 4 - 4 r$
Rechne:
$(I I) + (I I I) \Rightarrow 2 + 7 t = 4 \Rightarrow t = \frac{2}{7}$
Setze $t = \frac{2}{7}$ in $(I I)$ ein:
$2 + 3 \cdot \frac{2}{7} = 4 r \Rightarrow \frac{20}{7} = 4 r \Rightarrow r = \frac{5}{7}$
Setze $t = \frac{2}{7}$ und $r = \frac{5}{7}$ in $(I)$ ein:
$4 - 8 \cdot \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \cdot w \Rightarrow \frac{28 - 16}{7} = \frac{5}{7} \cdot w \Rightarrow w = \frac{12}{5}$
Für $w = \frac{12}{5}$ schneidet die Gerade durch $H$ und $P_{\frac{5}{7}}$ die Gerade $j$ .
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Erstelle die Gleichung der Geraden $g_{H P_{w}}$ durch die Punkte $H (0 | 0 | 4)$ und $P_{w} (w | 4 | 0)$ .
Schneide die Gleichung der Geraden $g_{H P_{w}}$ mit der Gleichung der Geraden $j$ .
Es gibt Punkte $P_{W}$ der Kante $B C$ , für die der von den Strecken $P_{W} M$ und $P_{W} H$ eingeschlossene Winkel größer als $70^{\circ}$ ist.
Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von $w$ . (5BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
Werte von $w$
Der Mittelpunkt $M$ der Kante $A B$ hat die Koordinaten $M (4 | 2 | 0)$ .
$\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O A} + \vec{O A}) = \frac{1}{2} \cdot ((\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array})) = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow M (4 | 2 | 0)$
Der Vektor $\vec{P_{w} M} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} w \\ 4 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 - w \\ - 2 \\ 0 \end{array})$ .
Der zweite Vektor ist $\vec{P_{w} H} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} w \\ 4 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - w \\ - 4 \\ 4 \end{array})$
Der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden Vektoren soll größer als $70^{\circ}$ sein.
Für den Winkel $70^{\circ}$ zwischen den beiden Vektoren gilt:
$\cos 70^{\circ} = \frac{\vec{P_{w} M} \circ \vec{P_{w} M}}{| \vec{P_{w} M} | \cdot | \vec{P_{w} H} |}$
Mit $| \vec{P_{w} M} | = \sqrt{(4 - w)^{2} + (- 2)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{(4 - w)^{2} + 4}$ und $| \vec{P_{w} H} | = \sqrt{(- w)^{2} + (- 4)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{w^{2} + 32}$ folgt dann:
$\cos 70^{\circ}$ $=$ $\frac{(\begin{array}{c} 4 - w \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - w \\ - 4 \\ 4 \end{array})}{\sqrt{(4 - w)^{2} + 4} \cdot \sqrt{w^{2} + 32}}$
$=$ $\frac{(4 - w) \cdot (- w) + (- 2) \cdot (- 4) + 0}{\sqrt{((4 - w)^{2} + 4) \cdot (w^{2} + 32)}}$
$=$ $\frac{- 4 w + w^{2} + 8}{\sqrt{((4 - w)^{2} + 4) \cdot (w^{2} + 32)}}$
Der Winkel $α = 70^{\circ}$ ist im Bogenmaß gleich $\frac{7}{18} \cdot π$ .
Dann erhält man die beiden Lösungen:
Also ist $w_{1} \approx - 0,26$ und $w_{2} \approx 2,96$ :
Es ist $P_{w} (w | 4 | 0)$ .
Für $w = 0$ ist $P_{w} (0 | 4 | 0) = C$ und für $w = 4$ ist $P_{w} (4 | 4 | 0) = B$ .
$P_{w}$ liegt dann auf $B C$ , wenn $0 \leq w \leq 4$ gilt. (Die Lösung $w_{1}$ entfällt deshalb.)
Für $w = 4$ erhält man für den eingeschlossenen Winkel:
$\cos α = \frac{(4 - 4) \cdot (- 4) + (- 2) \cdot (- 4) + 0}{\sqrt{((4 - 4)^{2} + 4) \cdot (4^{2} + 32)}} = \frac{8}{\sqrt{4 \cdot 48}} = \frac{8}{\sqrt{} 192}$
$α = \cos^{- 1} (\frac{8}{\sqrt{192}}) \approx {54,7}^{\circ}$
Der eingeschlossenen Winkel ist also kleiner als $70^{\circ}$ .
Also ist der Winkel für $0 \leq w < w_{2}$ größer als $70^{\circ}$ .
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Bestimme die Koordinaten des Punktes $M$ .
Berechne die Vektoren $\vec{P_{w} M}$ und $\vec{P_{w} H}$ .
Für den Winkel $70^{\circ}$ zwischen den beiden Vektoren gilt: $\cos 70^{\circ} = \frac{\vec{P_{w} M} \circ \vec{P_{w} M}}{| \vec{P_{w} M} | \cdot | \vec{P_{w} H} |}$
Bestimme in dieser Gleichung $w$ .
$P_{w}$ liegt dann auf $B C$ , wenn $0 \leq w \leq 4$ gilt.
Berechne für $w = 4$ den eingeschlossenen Winkel und schließe dann auf den Winkel für das berechnete $w$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\cos 70^{\circ}$	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 4 - w \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - w \\ - 4 \\ 4 \end{array})}{\sqrt{(4 - w)^{2} + 4} \cdot \sqrt{w^{2} + 32}}$
	$=$	$\frac{(4 - w) \cdot (- w) + (- 2) \cdot (- 4) + 0}{\sqrt{((4 - w)^{2} + 4) \cdot (w^{2} + 32)}}$
	$=$	$\frac{- 4 w + w^{2} + 8}{\sqrt{((4 - w)^{2} + 4) \cdot (w^{2} + 32)}}$

Aufgabe 3B

Länge der Strecke DF

Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke DF

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Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Pyramidenspitze S(0|0|16)

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Volumen des Stumpfs

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Koordinaten eines Bildpunktes F′ an

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Wert von w

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Werte von w

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Länge der Strecke $D F$

Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $D F$

Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Pyramidenspitze $S (0 | 0 | 16)$

Koordinaten eines Bildpunktes $F^{'}$ an

Wert von $w$

Werte von $w$