Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
Der Mittelpunkt M M M der Kante A B ‾ \overline{A B} A B hat die Koordinaten M ( 4 ∣ 2 ∣ 0 ) M(4|2|0) M ( 4∣2∣0 ) .
m ⃗ = 1 2 ⋅ ( O A → + O A → ) = 1 2 ⋅ ( ( 4 0 0 ) + ( 4 4 0 ) ) = ( 4 2 0 ) ⇒ M ( 4 ∣ 2 ∣ 0 ) \vec m=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;M(4|2|0) m = 2 1 ⋅ ( O A + O A ) = 2 1 ⋅ 4 0 0 + 4 4 0 = 4 2 0 ⇒ M ( 4∣2∣0 )
Der Vektor P w M → = ( 4 2 0 ) − ( w 4 0 ) = ( 4 − w − 2 0 ) \overrightarrow{P_wM}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}w\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-w\\-2\\0\end{pmatrix} P w M = 4 2 0 − w 4 0 = 4 − w − 2 0 .
Der zweite Vektor ist P w H → = ( 0 0 4 ) − ( w 4 0 ) = ( − w − 4 4 ) \overrightarrow{P_wH}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}w\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-w\\-4\\4\end{pmatrix} P w H = 0 0 4 − w 4 0 = − w − 4 4
Der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden Vektoren soll größer als 7 0 ∘ 70^{\circ} 7 0 ∘ sein.
Für den Winkel 7 0 ∘ 70^\circ 7 0 ∘ zwischen den beiden Vektoren gilt:
cos 7 0 ∘ = P w M → ∘ P w M → ∣ P w M → ∣ ⋅ ∣ P w H → ∣ \cos70^{\circ}=\dfrac{\overrightarrow{P_wM}\circ\overrightarrow{P_wM}}{\left|\overrightarrow{P_wM}\right|\cdot \left|\overrightarrow{P_wH}\right|} cos 7 0 ∘ = P w M ⋅ P w H P w M ∘ P w M
Mit ∣ P w M → ∣ = ( 4 − w ) 2 + ( − 2 ) 2 + 0 2 = ( 4 − w ) 2 + 4 \left|\overrightarrow{P_wM}\right|=\sqrt{(4-w)^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{(4-w)^2+4} P w M = ( 4 − w ) 2 + ( − 2 ) 2 + 0 2 = ( 4 − w ) 2 + 4 und ∣ P w H → ∣ = ( − w ) 2 + ( − 4 ) 2 + 4 2 = w 2 + 32 \left|\overrightarrow{P_wH}\right|=\sqrt{(-w)^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{w^2+32} P w H = ( − w ) 2 + ( − 4 ) 2 + 4 2 = w 2 + 32 folgt dann:
cos 7 0 ∘ \displaystyle \cos70^{\circ} cos 7 0 ∘ = = = ( 4 − w − 2 0 ) ∘ ( − w − 4 4 ) ( 4 − w ) 2 + 4 ⋅ w 2 + 32 \displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}4-w\\-2\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-w\\-4\\4\end{pmatrix}}{\sqrt{(4-w)^2+4}\cdot \sqrt{w^2+32}} ( 4 − w ) 2 + 4 ⋅ w 2 + 32 4 − w − 2 0 ∘ − w − 4 4 = = = ( 4 − w ) ⋅ ( − w ) + ( − 2 ) ⋅ ( − 4 ) + 0 ( ( 4 − w ) 2 + 4 ) ⋅ ( w 2 + 32 ) \displaystyle \dfrac{(4-w)\cdot(-w)+(-2)\cdot(-4)+0}{\sqrt{((4-w)^2+4)\cdot (w^2+32)}} (( 4 − w ) 2 + 4 ) ⋅ ( w 2 + 32 ) ( 4 − w ) ⋅ ( − w ) + ( − 2 ) ⋅ ( − 4 ) + 0 = = = − 4 w + w 2 + 8 ( ( 4 − w ) 2 + 4 ) ⋅ ( w 2 + 32 ) \displaystyle \dfrac{-4w+w^2+8}{\sqrt{((4-w)^2+4)\cdot (w^2+32)}} (( 4 − w ) 2 + 4 ) ⋅ ( w 2 + 32 ) − 4 w + w 2 + 8
Der Winkel α = 7 0 ∘ \alpha = 70^{\circ} α = 7 0 ∘ ist im Bogenmaß gleich 7 18 ⋅ π \dfrac{7}{18}\cdot \pi 18 7 ⋅ π .
Dann erhält man die beiden Lösungen:
Also ist w 1 ≈ − 0 , 26 w_1\approx-0{,}26 w 1 ≈ − 0 , 26 und w 2 ≈ 2 , 96 w_2\approx2{,}96 w 2 ≈ 2 , 96 :
Es ist P w ( w ∣ 4 ∣ 0 ) P_w(w|4|0) P w ( w ∣4∣0 ) .
Für w = 0 w=0 w = 0 ist P w ( 0 ∣ 4 ∣ 0 ) = C P_w(0|4|0)=C P w ( 0∣4∣0 ) = C und für w = 4 w=4 w = 4 ist P w ( 4 ∣ 4 ∣ 0 ) = B P_w(4|4|0)=B P w ( 4∣4∣0 ) = B .
P w P_w P w liegt dann auf B C ‾ \overline{B C} BC , wenn 0 ≤ w ≤ 4 0\leq w\leq 4 0 ≤ w ≤ 4 gilt. (Die Lösung w 1 w_1 w 1 entfällt deshalb.)
Für w = 4 w=4 w = 4 erhält man für den eingeschlossenen Winkel:
cos α = ( 4 − 4 ) ⋅ ( − 4 ) + ( − 2 ) ⋅ ( − 4 ) + 0 ( ( 4 − 4 ) 2 + 4 ) ⋅ ( 4 2 + 32 ) = 8 4 ⋅ 48 = 8 192 \cos\alpha=\dfrac{(4-4)\cdot(-4)+(-2)\cdot(-4)+0}{\sqrt{((4-4)^2+4)\cdot (4^2+32)}}=\dfrac{8}{\sqrt{4\cdot 48}}=\dfrac{8}{\sqrt{}192} cos α = (( 4 − 4 ) 2 + 4 ) ⋅ ( 4 2 + 32 ) ( 4 − 4 ) ⋅ ( − 4 ) + ( − 2 ) ⋅ ( − 4 ) + 0 = 4 ⋅ 48 8 = 192 8
α = cos − 1 ( 8 192 ) ≈ 54 , 7 ∘ \alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{8}{\sqrt{192}}\right)\approx54{,}7^\circ α = cos − 1 ( 192 8 ) ≈ 54 , 7 ∘
Der eingeschlossenen Winkel ist also kleiner als 7 0 ∘ 70^\circ 7 0 ∘ .
Also ist der Winkel für 0 ≤ w < w 2 0\leq w< w_2 0 ≤ w < w 2 größer als 7 0 ∘ 70^\circ 7 0 ∘ .
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