Länge der Strecke $\overline{D F}$

Der Vektor $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}$

$\left|\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{3^2+3^2+4^2}=\sqrt{34}$

Die Länge der Strecke $\overline{D F}$ beträgt $\sqrt{34}$.

Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{D F}$

$\vec m=\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5\\1{,}5\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;M(1{,}5|1{,}5|2)$

Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{D F}$ sind $M(1{,}5|1{,}5|2)$.

Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Pyramidenspitze $S(0|0| 16)$

Die Punkte $A$ und $E$ liegen auf der Geraden:

$g_{AE}:\;\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot(\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OA})=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)$

$g_{AE}:\;\vec x=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}$

Die Punkte $D$ und $H$ liegen auf der $x_3$-Achse. Hier muss auch der Punkt $S$ liegen.

$\Rightarrow\;S(0|0|s)$

Der Wert von $s$ ist die $x_3$-Koordinate von S.

Weiterhin muss $S$ auch auf der Geraden $g$ liegen.

Damit folgt der Ansatz zur Berechnung der Pyramidenspitze:

$\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\s\end{pmatrix}$

Mit diesem Ansatz werden die Koordinaten der Pyramidenspitze berechnet.

Volumen des Stumpfs

Für das Volumen eines Pyramidenstumpfes gilt:

$V_{\text{Stumpf}}=\dfrac{h}{3}\cdot(A_G+\sqrt{A_G \cdot A_D}+A_D)$

Die $x_3$-Koordinate des Punktes $H$ ist $4\;\Rightarrow\;h=4$

$A_G=4^2$ und $A_D=3^2$

$\Rightarrow\;V_{\text{Stumpf}}=\dfrac{4}{3}\cdot(16+\sqrt{16 \cdot 9}+9)=\dfrac{4}{3}\cdot(25+4\cdot 3)=\dfrac{148}{3}$

Das Volumen des Stumpfs beträgt $\dfrac{148}{3}$.

Koordinaten eines Bildpunktes $F^{\prime}$ an

Die Drehung des Punktes $F$ kann mit einer Drehmatrix berechnet werden.

Der Drehwinkel ist entweder $\alpha =90^\circ$ oder $\alpha =-90^\circ$.

Die Abbildungsgleichung für eine Drehung um die y-Achse ist dann:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{\alpha}&0& \sin{\alpha}\\0&1&0\\-\sin{\alpha} &0& \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

Mit $\alpha =90^\circ$ folgt dann:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1 \\0&1&0\\-1 &0& 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

Für den Punkt $F(3|3|4)$ erhält man den gedrehten Punkt $F'$:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1 \\0&1&0\\-1 &0& 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\-3\end{pmatrix}$

Der Punkt $F'$ hat die Koordinaten $F'(4|3|-3)$.

Eine zweite Lösung erhält man für $\alpha =-90^\circ$. Dann hat der Punkt $F'$ die Koordinaten $F'(-4|3|3)$.

Wert von $w$

Erstelle die Gleichung der Geraden $g_{HP_w}$ durch die Punkte $H(0|0|4)$ und $P_w(w|4|0)$:

$g_{HP_w}:\;\vec x=\overrightarrow{OH}+r\cdot(\overrightarrow{OP_w}-\overrightarrow{OH})=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}w\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right)$

$g_{HP_w}:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}w\\4\\-4\end{pmatrix}$

Schneide $g_{HP_w}$ mit $j$:

$\mathrm{(II)}:\;2+3t=4r$

$\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;\;4t=4-4r$

Rechne:

$\mathrm{(II)}+\mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;2+7t=4\;\Rightarrow\;t=\dfrac{2}{7}$

Setze $t=\dfrac{2}{7}$ in $\mathrm{(II)}$ ein:

$2+3\cdot \dfrac{2}{7}=4r\;\Rightarrow\;\dfrac{20}{7}=4r\;\Rightarrow\;r=\dfrac{5}{7}$

Setze $t=\dfrac{2}{7}$ und $r= \dfrac{5}{7}$ in $\mathrm{(I)}$ ein:

$4-8\cdot \dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}\cdot w\;\Rightarrow\;\dfrac{28-16}{7}=\dfrac{5}{7}\cdot w\;\Rightarrow\;w=\dfrac{12}{5}$

Für $w=\dfrac{12}{5}$ schneidet die Gerade durch $H$ und $P_{\frac{5}{7}}$ die Gerade $j$.

Werte von $w$

Der Mittelpunkt $M$ der Kante $\overline{A B}$ hat die Koordinaten $M(4|2|0)$.

$\vec m=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;M(4|2|0)$

Der Vektor $\overrightarrow{P_wM}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}w\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-w\\-2\\0\end{pmatrix}$.

Der zweite Vektor ist $\overrightarrow{P_wH}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}w\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-w\\-4\\4\end{pmatrix}$

Der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden Vektoren soll größer als $70^{\circ}$ sein.

Für den Winkel $70^\circ$ zwischen den beiden Vektoren gilt:

$\cos70^{\circ}=\dfrac{\overrightarrow{P_wM}\circ\overrightarrow{P_wM}}{\left|\overrightarrow{P_wM}\right|\cdot \left|\overrightarrow{P_wH}\right|}$

Mit $\left|\overrightarrow{P_wM}\right|=\sqrt{(4-w)^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{(4-w)^2+4}$ und $\left|\overrightarrow{P_wH}\right|=\sqrt{(-w)^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{w^2+32}$ folgt dann:

Der Winkel $\alpha = 70^{\circ}$ ist im Bogenmaß gleich $\dfrac{7}{18}\cdot \pi$.

Dann erhält man die beiden Lösungen:

Also ist $w_1\approx-0{,}26$ und $w_2\approx2{,}96$:

Es ist $P_w(w|4|0)$.

Für $w=0$ ist $P_w(0|4|0)=C$ und für $w=4$ ist $P_w(4|4|0)=B$.

$P_w$ liegt dann auf $\overline{B C}$, wenn $0\leq w\leq 4$ gilt. (Die Lösung $w_1$ entfällt deshalb.)

Für $w=4$ erhält man für den eingeschlossenen Winkel:

$\cos\alpha=\dfrac{(4-4)\cdot(-4)+(-2)\cdot(-4)+0}{\sqrt{((4-4)^2+4)\cdot (4^2+32)}}=\dfrac{8}{\sqrt{4\cdot 48}}=\dfrac{8}{\sqrt{}192}$

$\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{8}{\sqrt{192}}\right)\approx54{,}7^\circ$

Der eingeschlossenen Winkel ist also kleiner als $70^\circ$.

Also ist der Winkel für $0\leq w< w_2$ größer als $70^\circ$.