Teil 1 Analysis - lernen mit Serlo!

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_h$ einer Exponentialfunktion h mit der Definitionsmenge $D_h=\R$ . Der zugehörige Funktionsterm besitzt die Form $h(x)=e^{x+d}+y_0$ mit $d,y_0\in\R$ .

Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung nachvollziehbar die Werte der Parameter d und $y_0$ . (3 BE)

Entscheiden Sie anhand des Graphen der Funktion h, ob die nachfolgende Aussage wahr oder falsch ist. Veranschaulichen Sie Ihre Überlegung dazu in der Abbildung unter 4.0
$\int_{-1}^1(2-h(x))dx>0$
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Verschiebung und Spiegelung von $G_h$
Skizziere den Graph der Funktion
$f(x)=2-h(x)=2-(e^{x-0{,}5}+1)=1-e^{x-0{,}5}$
Er hat die gleiche Asymptote wie $G_h$ und wurde an $y_0=1$ gespiegelt:
Betrachtung der Teilflächen
Zeichne die Teilflächen von $x=-1$ bis $x=1$ ein:
Da die linke Teilfläche, die oberhalb der x-Achse liegt, größer ist als die rechte, ist die Flächenbilanz positiv. Die Aussage $\int_{-1}^1(2-h(x))dx>0$ wahr.
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Überlege dir zuerst, wie die Funktion $f(x)=2-h(x)$ aussieht.
Markiere anschließend die Teilflächen und untersuche, welche größer ist.

$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle e^{0{,}5+d}+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle e^{0{,}5+d}$
	↓	Verwende den natürlichen Logarithmus ln
$\displaystyle \ln\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5+d$
	↓	Es gilt $ln(1)=0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0{,}5+d$	$\displaystyle -0{,}5$
$\displaystyle -0{,}5$	$=$	$\displaystyle d$

Asymptote y0y_0y0​

Parameter d

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Verschiebung und Spiegelung von GhG_hGh​

Betrachtung der Teilflächen

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Asymptote $y_0$

Verschiebung und Spiegelung von $G_h$