Teil 1 Analysis

Symmetrieuntersuchung

Da alle Exponenten gerade sind, kann eine Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegen.

Eingeschränkte Definitionsmenge

Um final zu entscheiden, ob eine Symmetrie vorliegt, muss auch die Definitionsmenge passen.

Die Definitionsmenge $D_g=[-3;3]D\_g=[-3;3]$ ist gleichmäßig um den Ursprung verteilt.

Somit liegt tatsächlich eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor.

Ableitung bestimmen

Bestimme die Ableitungsfunktion von $g(x)=-\frac{1}{4}{x}^4+2x^{2}g(x)=-\backslash frac\; 1\; 4\; x^4+2x^2$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^3+4xg\text{'}(x)=-x^3+4x$

Nullstellen der Ableitung

Setze die Ableitung mit $00$ gleich:

Nach dem Satz vom Nullprodukt liegt die erste Nullstelle bei $x_1=0x\_1=0$

Untersuche den anderen Faktor weiter:

Die Funktion $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ ist vom Grad 3 und hat maximal 3 Nullstellen. Somit muss jede Nullstelle die Vielfachheit 1 haben, also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel sein.

An allen drei Nullstellen von $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ liegen also Extremstellen von $gg$.

Funktionsterm aufstellen

Es gibt verschiedene Wege, den Funktionsterm zu ermitteln. Hier wird die Produktform verwendet:

$f(x)=a(x-x_1)\cdot (x-x_2)f(x)=a(x-x\_1)\backslash cdot(x-x\_2)$

Die beiden Nullstellen $x_1=-2x\_1=-2$ und $x_2=2x\_2=2$ kannst du dem Graphen entnehmen.

$f(x)=a(x-(-2))(x-2)=a(x+2)(x-2)f(x)=a(x-(-2))(x-2)=a(x+2)(x-2)$

Um den Öffnungsfaktor a zu bestimmen, setze zum Beispiel den Punkt $P(0\mathrm{\mid }4)P(0|4)$ ein:

Multipliziere den fertigen Funktionsterm aus, damit du im nächsten Schritt gut integrieren kannst:

bestimmtes Integral

Bestimme den Flächeninhalt, indem du das bestimmte Integral für $x\in [-2;2]x\backslash in[-2;2]$ berechnest.

Monotonieverhalten

Immer, wenn $G_{f}G\_f$ unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von $G_{F}G\_F$. Ist er oberhalb der x-Achse, steigt $G_{F}G\_F$:

• $G_{F}G\_F$ fällt für und $x>2x>2$

• $G_{F}G\_F$ steigt für

Extremstellen

Aus dem Monotonieverhalten kannst du die Extremstellen bestimmen:

• Der Graph von $G_{F}G\_F$ wechselt bei $x=-2x=-2$ von fallend zu steigend: Dort liegt ein Tiefpunkt

• Der Graph $G_{F}G\_F$ wechselt bei $x=2x=2$ von steigend zu fallend: Dort liegt ein Hochpunkt

Globalverlauf von $G_{F}G\_F$

• Da $G_{f}G\_f$zu Beginn unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von $G_{F}G\_F$ für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash to\; -\backslash infty$. Er muss also von links oben kommen und es gilt $li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}F(x)=+\mathrm{\infty }lim\_\{x\backslash to-\backslash infty\}F(x)=+\backslash infty$.

• Für $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash to\; +\backslash infty$ ist der Graph von $ff$ erneut unterhalb der x-Achse, das heißt der Graph $G_{F}G\_F$ fällt für $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash to+\backslash infty$: $li{m}_{x\to +\mathrm{\infty }}F(x)=-\mathrm{\infty }lim\_\{x\backslash to+\backslash infty\}F(x)=-\backslash infty$.

Wendestelle

Die Wendestellen liegen bei den Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) der zweiten Ableitung. Dies sind zugleich die Extremstellen der 1. Ableitung.

Somit ist die Wendestelle bei $x=0x=0$.

Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)

Es gibt unendlich viele Stammfunktionen von f, wobei diese sich nur durch Verschiebung in y-Richtung unterscheiden. Eine mögliche Stammfunktion sieht so aus:

Asymptote $y_{0}y\_0$

Der Graph nähert sich auf der linken Seite der Asymptote $y_0=1y\_0=1$ an.

Parameter d

Setze den Punkt $P(0,5\mathrm{\mid }2)P(0\{,\}5|2)$ in $h(x)=e^{x+d}+1h(x)=e^\{x+d\}+1$ ein.

Verschiebung und Spiegelung von $G_{h}G\_h$

Skizziere den Graph der Funktion

$f(x)=2-h(x)=2-(e^{x-0,5}+1)=1-e^{x-0,5}f(x)=2-h(x)=2-(e^\{x-0\{,\}5\}+1)=1-e^\{x-0\{,\}5\}$

Er hat die gleiche Asymptote wie $G_{h}G\_h$ und wurde an $y_0=1y\_0=1$ gespiegelt:

Betrachtung der Teilflächen

Zeichne die Teilflächen von $x=-1x=-1$ bis $x=1x=1$ ein:

Da die linke Teilfläche, die oberhalb der x-Achse liegt, größer ist als die rechte, ist die Flächenbilanz positiv. Die Aussage ${\int }_{-1}^1(2-h(x))dx>0\backslash int\_\{-1\}^1(2-h(x))dx>0$ wahr.