Teil 1 Analysis

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier

Die Aufgaben in diesem Ordner sollen ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Formelsammlung bearbeitet werden.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto - \frac{1}{4} x^{4} + 2 x^{2}$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = [- 3; 3]$ . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.
1. Untersuchen Sie den Graphen der Funktion $g$ auf Symmetrie zum Koordinatensystem. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
  Symmetrieuntersuchung
  Da alle Exponenten gerade sind, kann eine Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegen.
  Eingeschränkte Definitionsmenge
  Um final zu entscheiden, ob eine Symmetrie vorliegt, muss auch die Definitionsmenge passen.
  Die Definitionsmenge $D_{g} = [- 3; 3]$ ist gleichmäßig um den Ursprung verteilt.
  Somit liegt tatsächlich eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor.
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  Du kannst die Symmetrie einer ganzrationalen Funktion untersuchen, indem du die Exponenten betrachtest oder -x in die Funktion einsetzt.
  Beachte die eingeschränkte Definitionsmenge!
2. Ermitteln Sie alle Extremstellen der Funktion $g$ . (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Ableitung bestimmen
  Bestimme die Ableitungsfunktion von $g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + 2 x^{2}$
  $g^{'} (x) = - x^{3} + 4 x$
  Nullstellen der Ableitung
  Setze die Ableitung mit $0$ gleich:
  $g^{'} (x)$ $=$ $0$
  $- x^{3} + 4 x$ $=$ $0$
  ↓
  Du kannst x ausklammern.
  $x (- x^{2} + 4)$ $=$ $0$
  Nach dem Satz vom Nullprodukt liegt die erste Nullstelle bei $x_{1} = 0$
  Untersuche den anderen Faktor weiter:
  $0$ $=$ $- x^{2} + 4$
  $x^{2}$ $=$ $4$
  ↓
  Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt.
  $x_{2}$ $=$ $2$
  $x_{3}$ $=$ $- 2$
  Die Funktion $g^{'}$ ist vom Grad 3 und hat maximal 3 Nullstellen. Somit muss jede Nullstelle die Vielfachheit 1 haben, also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel sein.
  An allen drei Nullstellen von $g^{'}$ liegen also Extremstellen von $g$ .
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  Um Extremstellen zu bestimmen, gehe wie folgt vor:
  Bilde die erste Ableitung
  Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung
  Weise nach, dass es sich um Nullstellen mit Vorzeichenwechsel handelt (sonst: Terrassenpunkte)
  Es ist nicht gefragt, die Art oder Lage der Extremstellen zu bestimmen!

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_{f}$ einer ganzrationalen Funktion $f$ zweiten Grades mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ .

Der Graph der Funktion f und die x-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)

Die Funktion F mit der Definitionsmenge $D_{F} = ℝ$ ist eine Stammfunktion von f. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{F}$ bezeichnet.
Beschreiben Sie den Globalverlauf des Graphen $G_{F}$ in Worten. Gehen Sie auch auf das Monotonieverhalten, die Lage und die Art der Extremstellen sowie auf die Lage der Wendestellen von $F$ ein. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Monotonieverhalten
Immer, wenn $G_{f}$ unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von $G_{F}$ . Ist er oberhalb der x-Achse, steigt $G_{F}$ :
$G_{F}$ fällt für $x < - 2$ und $x > 2$
$G_{F}$ steigt für $- 2 < x < 2$
Extremstellen
Aus dem Monotonieverhalten kannst du die Extremstellen bestimmen:
Der Graph von $G_{F}$ wechselt bei $x = - 2$ von fallend zu steigend: Dort liegt ein Tiefpunkt
Der Graph $G_{F}$ wechselt bei $x = 2$ von steigend zu fallend: Dort liegt ein Hochpunkt
Globalverlauf von $G_{F}$
Da $G_{f}$ zu Beginn unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von $G_{F}$ für $x \to - \infty$ . Er muss also von links oben kommen und es gilt $l i m_{x \to - \infty} F (x) = + \infty$ .
Für $x \to + \infty$ ist der Graph von $f$ erneut unterhalb der x-Achse, das heißt der Graph $G_{F}$ fällt für $x \to + \infty$ : $l i m_{x \to + \infty} F (x) = - \infty$ .
Wendestelle
Die Wendestellen liegen bei den Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) der zweiten Ableitung. Dies sind zugleich die Extremstellen der 1. Ableitung.
Somit ist die Wendestelle bei $x = 0$ .
Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)
Es gibt unendlich viele Stammfunktionen von f, wobei diese sich nur durch Verschiebung in y-Richtung unterscheiden. Eine mögliche Stammfunktion sieht so aus:
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Du sollst den Zusammenhang zwischen dem Graphen von $f$ und dem Graphen seiner Stammfunktion F finden.
Dabei beschreibt $f$ das Monotonieverhalten von $G_{f}$ .
Monotonie/Globalverlauf: Untersuche, wann $G_{f}$ oberhalb/unterhalb der x-Achse verläuft.
Extremstellen: Untersuche, wo $G_{f}$ Nullstellen hat.
Wendepunkte: Untersuche, wo $G_{f}$ Extremstellen hat.

3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Lösen Sie die folgende Gleichung über der Grundmenge der reellen Zahlen.
$(e^{x})^{2} - 25 = 0$ (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
Ein möglicher Lösungsweg sieht so aus:
${(e^{x})}^{2} - 25$ $=$ $0$ $+ 25$
${(e^{x})}^{2}$ $=$ $25$
↓
Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt.
$e^{x}$ $=$ $\pm 5$
Betrachte zwei separate Gleichungen: $e^{x} = 5$ und $e^{x} = - 5$
Die Gleichung $e^{x} = - 5$ besitzt keine Lösung, denn $e^{x} > 0$ für alle $x \in ℝ$ .
Löse die andere Gleichung mit dem ln:
$e^{x}$ $=$ $5_{}$
↓
ln
$x$ $=$ $\ln (5)$
Ohne Taschenrechner kann das Ergebnis nur exakt und nicht gerundet bestimmt werden.
Es gibt verschiedene Arten. Verwende entweder Potenzgesetze oder ziehe frühzeitig die Wurzel.
4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_{h}$ einer Exponentialfunktion h mit der Definitionsmenge $D_{h} = ℝ$ . Der zugehörige Funktionsterm besitzt die Form $h (x) = e^{x + d} + y_{0}$ mit $d, y_{0} \in ℝ$ .
1. Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung nachvollziehbar die Werte der Parameter d und $y_{0}$ . (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Asymptote $y_{0}$
  Der Graph nähert sich auf der linken Seite der Asymptote $y_{0} = 1$ an.
  Parameter d
  Setze den Punkt $P (0,5 | 2)$ in $h (x) = e^{x + d} + 1$ ein.
  $2$ $=$ $e^{0,5 + d} + 1$ $- 1$
  $1$ $=$ $e^{0,5 + d}$
  ↓
  Verwende den natürlichen Logarithmus ln
  $\ln (1)$ $=$ $0,5 + d$
  ↓
  Es gilt $l n (1) = 0$
  $0$ $=$ $0,5 + d$ $- 0,5$
  $- 0,5$ $=$ $d$
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  Der Parameter $y_{0}$ beschreibt die Verschiebung in y-Richtung und die Lage der Asymptote.
  Den zusätzlich gegebenen Punkt kannst du einsetzen, um den Parameter d zu bestimmen.
2. Entscheiden Sie anhand des Graphen der Funktion h, ob die nachfolgende Aussage wahr oder falsch ist. Veranschaulichen Sie Ihre Überlegung dazu in der Abbildung unter 4.0
  $\int_{- 1}^{1} (2 - h (x)) d x > 0$
  (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Verschiebung und Spiegelung von $G_{h}$
  Skizziere den Graph der Funktion
  $f (x) = 2 - h (x) = 2 - (e^{x - 0,5} + 1) = 1 - e^{x - 0,5}$
  Er hat die gleiche Asymptote wie $G_{h}$ und wurde an $y_{0} = 1$ gespiegelt:
  Betrachtung der Teilflächen
  Zeichne die Teilflächen von $x = - 1$ bis $x = 1$ ein:
  Da die linke Teilfläche, die oberhalb der x-Achse liegt, größer ist als die rechte, ist die Flächenbilanz positiv. Die Aussage $\int_{- 1}^{1} (2 - h (x)) d x > 0$ wahr.
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  Überlege dir zuerst, wie die Funktion $f (x) = 2 - h (x)$ aussieht.
  Markiere anschließend die Teilflächen und untersuche, welche größer ist.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\int_{- 2}^{2} f (x) d x$	$=$	$\int_{- 2}^{2} (- x^{2} + 4) d x$
	↓	Bilde eine Stammfunktion
	$=$	${[- \frac{1}{3} x^{3} + 4 x]}_{- 2}^{2}$
	↓	Statt den Grenzen $x = - 2$ und $x = 2$ kann man aufgrund der Achsensymmetrie auch das Doppelte vom Integral $\int_{0}^{2} f (x) d x$ berechnen
	$=$	$2 \cdot {[- \frac{1}{3} x^{3} + 4 x]}_{0}^{2}$
	↓	Setze die obere Grenze und die untere Grenze ein und subtrahiere
	$=$	$2 \cdot ((- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2) - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0))$
	$=$	$2 \cdot (- \frac{8}{3} + 8)$
	$=$	$2 \cdot (\frac{24}{3} - \frac{8}{3})$
	$=$	$2 \cdot \frac{16}{3}$
	$=$	$\frac{32}{3}$

Teil 1 Analysis

Symmetrieuntersuchung

Eingeschränkte Definitionsmenge

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ableitung bestimmen

Nullstellen der Ableitung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Funktionsterm aufstellen

bestimmtes Integral

Hast du eine Frage oder Feedback?

Monotonieverhalten

Extremstellen

Globalverlauf von $G_{F}$

Wendestelle

Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Asymptote $y_{0}$

Parameter d

Hast du eine Frage oder Feedback?

Verschiebung und Spiegelung von $G_{h}$

Betrachtung der Teilflächen

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$g^{'} (x)$	$=$	$0$
$- x^{3} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Du kannst x ausklammern.
$x (- x^{2} + 4)$	$=$	$0$

$0$	$=$	$- x^{2} + 4$
$x^{2}$	$=$	$4$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt.
$x_{2}$	$=$	$2$
$x_{3}$	$=$	$- 2$

$f (0)$	$=$	$4$
$a (0 + 2) (0 - 2)$	$=$	$4$
$a \cdot (- 4)$	$=$	$4$	$: (- 4)$
$a$	$=$	$- 1$

$f (x)$	$=$	$- 1 (x + 2) (x - 2)$
	$=$	$- 1 (x^{2} - 4)$
	$=$	$- x^{2} + 4$

${(e^{x})}^{2} - 25$	$=$	$0$	$+ 25$
${(e^{x})}^{2}$	$=$	$25$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt.
$e^{x}$	$=$	$\pm 5$

$2$	$=$	$e^{0,5 + d} + 1$	$- 1$
$1$	$=$	$e^{0,5 + d}$
	↓	Verwende den natürlichen Logarithmus ln
$\ln (1)$	$=$	$0,5 + d$
	↓	Es gilt $l n (1) = 0$
$0$	$=$	$0,5 + d$	$- 0,5$
$- 0,5$	$=$	$d$

Teil 1 Analysis

Symmetrieuntersuchung

Eingeschränkte Definitionsmenge

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ableitung bestimmen

Nullstellen der Ableitung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Funktionsterm aufstellen

bestimmtes Integral

Hast du eine Frage oder Feedback?

Monotonieverhalten

Extremstellen

Globalverlauf von GF

Wendestelle

Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Asymptote y0

Parameter d

Hast du eine Frage oder Feedback?

Verschiebung und Spiegelung von Gh

Betrachtung der Teilflächen

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Globalverlauf von $G_{F}$

Asymptote $y_{0}$

Verschiebung und Spiegelung von $G_{h}$