Prüfungsteil 2 2022 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3: Parabel und Rechteck

Julia zeichnet mithilfe einer Geometriesoftware die Parabel $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=-0{,}5 x^{2}+5{,}5$ in ein Koordinatensystem (Abbildung 1).

Abbildung 1: Parabel und Rechteck — Abbildung 1: Parabel $f$ und Rechteck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

Bestätige durch eine Rechnung, dass der Punkt $A_{1} (3|1)$ auf der Parabel $f$ liegt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Nachweis
$f(x)=-0{,}5 x^{2}+5{,}5$
Setzte $x = 3$ in die Funktionsgleichung ein:
$f(3)=-0{,}5\cdot 3^2+5{,}5$
$f (3) = - 4,5 + 5,5$
$f (3) = 1$
Der Punkt $A_{1} = (3 ∣ 1)$ liegt auf der Parabel.
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Setze die x-Koordinate des Punktes $A_{1}$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob sich aus der Rechnung der richtige y-Wert ergibt.
Begründe mit den Eigenschaften dieser Parabel, dass der Punkt $B_{1}(-3 \mid 1)$ ebenfalls auf dem Graphen von $f$ liegt. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Begründung
Die Parabel ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Spiegelt man den Punkt $A_{1} (3 ∣ 1)$ an der $y$ -Achse, so erhält man den Punkt $B_{1} (- 3 ∣ 1)$ . Dieser liegt also ebenfalls auf dem Graphen von $f$ .
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Begründe mithilfe der Symmetrie der Parabel.
Die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ liegen auf der $x$ -Achse und bilden mit den Punkten $A_{1}$ und $B_{1}$ das Rechteck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .
Berechne den Umfang dieses Rechtecks. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Seitenlängen des Rechtecks
$U_{\text{Rechteck}}=2\cdot a+2\cdot b$
$a = 3 + 3 = 6$
$b = 1$
Umfang des Rechtecks
$U_{\text{Rechteck}}=2\cdot a+2\cdot b$
$U_{\text{Rechteck}}=12+2=14$
Der Umfang des Rechtecks beträgt $14 c m$ .
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Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks.
Berechne den Umfang des Rechtecks.
Ausgehend von anderen Punkten auf der Parabel $f$ kann man auf die gleiche Art weitere Rechtecke zeichnen.
(1) Zeichne den Punkt $A_{2}(1 \mid 5)$ in Abbildung 1 ein. (1 P)
(2) Ergänze die drei weiteren Punkte $B_{2}, C_{2}$ und $D_{2}$ und verbinde die vier Punkte zu dem Rechteck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Koordinatensystem
Skizze
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Mit dem Term $\text { (I) }$ kann man den Umfang für jedes dieser Rechtecke berechnen

$\text { (I) } 2 \cdot 2 x+2 \cdot\left(-0{,}5 x^{2}+5{,}5\right) \text {. }$

Dabei ist $x > 0$ und steht für die $x$ -Koordinate des zum Rechteck gehörenden Punktes $A_{1}, A_{2}$ usw.

Berechne mit dem Term $\text { (I) }$ den Umfang des Rechtecks, das durch den Punkt $A_2(1 \mid 5)$ festgelegt ist. (2 P)

Julia vereinfacht den Term $\text { (I) }$ zu $\text { (II) }$ $-x^{2}+4 x+11$
Zeige durch Termumformungen, dass die beiden Terme $\text { (I) }$ und $\text { (II) }$ gleichwertig sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen mit Klammern
Termumformung
$2 \cdot 2 x+2 \cdot\left(-0{,}5 x^{2}+5{,}5\right)$
$= 4 x - x^{2} + 11$
$= - x^{2} + 4 x + 11$
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Löse die Klammer auf.
Sortiere nach den Exponenten.

Julia stellt die folgende Gleichung auf:

$-x^{2}+4 x+11=14{,}75$

(1) Löse die Gleichung. (3 P)

(2) Erkläre das Ergebnis in Bezug auf die Rechtecke unter der Parabel $f$ . (1 P)

$\displaystyle U_{\text{Rechteck}}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot2x+2\cdot\left(-0{,}5x^2+5{,}5\right)$
	↓	Einsetzen der x-Koordinate
	$=$	$\displaystyle 2\cdot2\cdot1+2\cdot\left(-0{,}5\cdot1^2+5{,}5\right)$
	$=$	$\displaystyle 4+2\cdot\left(-0{,}5+5{,}5\right)$
	$=$	$\displaystyle 4+2\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 14$

$\displaystyle -x^2+4x+11$	$=$	$\displaystyle 14{,}75$	$\displaystyle -14{,}75$
$\displaystyle -x^2+4x-3{,}75$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle x^2-4x+3{,}75$	$=$	$\displaystyle 0$

Aufgabe 3: Parabel und Rechteck

Nachweis

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Begründung

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Seitenlängen des Rechtecks

Umfang des Rechtecks

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Skizze

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Berechnung

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Termumformung

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Umformung der Gleichung

Lösung der Gleichung mit der Mitternachtsformel

Erklärung des Ergebnisses

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